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Articulo de referencia

Cociente de Fermat

En teoría de números , el cociente de Fermat de un entero a con respecto a un primo impar p se define como [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] q pag ( a ) = a pag − 1 − 1 pag , {\displaysty...

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En teoría de números , el cociente de Fermat de un entero a con respecto a un primo impar p se define como [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]

qpag(a)=apag−1−1pag,{\displaystyle q_{p}(a)={\frac {a^{p-1}-1}{p}},}

o

δpag(a)=a−apagpag{\displaystyle \delta _{p}(a)={\frac {aa^{p}}{p}}}.

Este artículo trata sobre lo primero; para lo segundo, véase p -derivación . El cociente recibe su nombre de Pierre de Fermat .

Si la base a es coprima con el exponente p, entonces el pequeño teorema de Fermat dice que q p ( a ) será un entero. Si la base a también es un generador del grupo multiplicativo de enteros módulo p , entonces q p ( a ) será un número cíclico y p será un primo repteno completo .

Propiedades

De la definición, es obvio que

qpag(1)≡0(modpag)qpag(−a)≡qpag(a)(modpag)(desde 2∣pag−1){\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(1)&\equiv 0&&{\pmod {p}}\\q_{p}(-a)&\equiv q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\quad ({\text{ya que }}2\mid p-1)\end{aligned}}}

En 1850, Gotthold Eisenstein demostró que si a y b son ambos coprimos con p , entonces: [ 5 ]

qpag(ab)≡qpag(a)+qpag(b)(modpag)qpag(ar)≡rqpag(a)(modpag)qpag(pag∓a)≡qpag(a)±1a(modpag)qpag(pag∓1)≡±1(modpag){\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}(ab)&\equiv q_{p}(a)+q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(a^{r})&\equiv rq_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp a)&\equiv q_{p}(a)\pm {\tfrac {1}{a}}&&{\pmod {p}}\\q_{p}(p\mp 1)&\equiv \pm 1&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}

Eisenstein comparó las dos primeras de estas congruencias con propiedades de los logaritmos . Estas propiedades implican

qpag(1a)≡−qpag(a)(modpag)qpag(ab)≡qpag(a)−qpag(b)(modpag){\displaystyle {\begin{aligned}q_{p}\!\left({\tfrac {1}{a}}\right)&\equiv -q_{p}(a)&&{\pmod {p}}\\q_{p}\!\left({\tfrac {a}{b}}\right)&\equiv q_{p}(a)-q_{p}(b)&&{\pmod {p}}\end{aligned}}}

En 1895, Dmitry Mirimanoff señaló que una iteración de las reglas de Eisenstein da el corolario : [ 6 ]

qpag(a+nortepag)≡qpag(a)−norte⋅1a(modpag).{\displaystyle q_{p}(a+np)\equiv q_{p}(a)-n\cdot {\tfrac {1}{a}}{\pmod {p}}.}

De esto se deduce que: [ 7 ]

qpag(a+nortepag2)≡qpag(a)(modpag).{\displaystyle q_{p}(a+np^{2})\equiv q_{p}(a){\pmod {p}}.}

Fórmula de Lerch

M. Lerch demostró en 1905 que [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]

∑j=1pag−1qpag(j)≡Wpag(modpag).{\displaystyle \sum _{j=1}^{p-1}q_{p}(j)\equiv W_{p}{\pmod {p}}.}

AquíWpag{\displaystyle W_{p}}es el cociente de Wilson .

Valores especiales

Eisenstein descubrió que el cociente de Fermat en base 2 podía expresarse en términos de la suma de los recíprocos módulo p de los números que se encuentran en la primera mitad del intervalo {1, ..., p − 1}:

−2qpag(2)≡∑k=1pag−121k(modpag).{\displaystyle -2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}

Autores posteriores demostraron que el número de términos necesarios en dicha representación podía reducirse de 1/2 a 1/4, 1/5 o incluso 1/6:

−3qpag(2)≡∑k=1⌊pag4⌋1k(modpag).{\displaystyle -3q_{p}(2)\equiv \sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{4}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}[ 11 ]
4qpag(2)≡∑k=⌊pag10⌋+1⌊2pag10⌋1k+∑k=⌊3pag10⌋+1⌊4pag10⌋1k(modpag).{\displaystyle 4q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+\sum _{k=\lfloor {\frac {3p}{10}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {4p}{10}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}[ 12 ]
2qpag(2)≡∑k=⌊pag6⌋+1⌊pag3⌋1k(modpag).{\displaystyle 2q_{p}(2)\equiv \sum _{k=\lfloor {\frac {p}{6}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}[ 13 ] [ 14 ]

La serie de Eisenstein también tiene una conexión cada vez más compleja con los cocientes de Fermat con otras bases, siendo los primeros ejemplos:

−3qpag(3)≡2∑k=1⌊pag3⌋1k(modpag).{\displaystyle -3q_{p}(3)\equiv 2\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{3}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}[ 15 ]
−5qpag(5)≡4∑k=1⌊pag5⌋1k+2∑k=⌊pag5⌋+1⌊2pag5⌋1k(modpag).{\displaystyle -5q_{p}(5)\equiv 4\sum _{k=1}^{\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}+2\sum _{k=\lfloor {\frac {p}{5}}\rfloor +1}^{\lfloor {\frac {2p}{5}}\rfloor }{\frac {1}{k}}{\pmod {p}}.}[ 16 ]

Números primos de Wieferich generalizados

Si q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) entonces a p −1 ≡ 1 (mod p 2 ). Los primos para los que esto es cierto para a = 2 se llaman primos de Wieferich . En general, se les llama primos de Wieferich en base a. Las soluciones conocidas de q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) para valores pequeños de a son: [ 2 ]

Para obtener más información, consulte [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] y [ 20 ] .

Las soluciones más pequeñas de q p ( a ) ≡ 0 (mod p ) con a = n son:

2, 1093, 11, 1093, 2, 66161, 5, 3, 2, 3, 71, 2693, 2, 29, 29131, 1093, 2, 5, 3, 281, 2, 13, 13, 5, 2, 3, 11, 3, 2, 7, 7, 5, 2, 46145917691, 3, 66161, 2, 17, 8039, 11, 2, 23, 5, 3, 2, 3, ... (secuencia A039951 en el OEIS )

Un par ( p , r ) de números primos tales que q p ( r ) ≡ 0 (mod p ) y q r ( p ) ≡ 0 (mod r ) se denomina par de Wieferich .

Referencias

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Cociente de Fermat" . MundoMatemático .
  2. 1 2 "El glosario principal: cociente de Fermat" . t5k.org . Consultado el 16 de marzo de 2024 .
  3. ↑ Paulo Ribenboim , 13 Lecciones sobre el último teorema de Fermat (1979), especialmente págs. 152, 159-161.
  4. ↑ Paulo Ribenboim , Mis números, mis amigos: Conferencias populares sobre teoría de números (2000), pág. 216.
  5. ↑ Gotthold Eisenstein , "Neue Gattung zahlentheoret. Funktionen, die v. 2 Elementen abhangen und durch gewisse lineare Funktional-Gleichungen definirt werden", Bericht über die zur Bekanntmachung geeigneten Verhandlungen der Königl. Preuss. Akademie der Wissenschaften zu Berlín 1850, 36-42
  6. ^ Dmitry Mirimanoff , "Sur la congruence ( r p − 1 − 1): p = q r (mod p )," Journal für die reine und angewandte Mathematik 115 (1895): 295-300
  7. ↑ Paul Bachmann , Niedere Zahlentheorie , 2 vols. (Leipzig, 1902), 1:159.
  8. ^ Lerch, Mathías (1905). "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten"apag−1−1pag=q(a){\displaystyle {\frac {a^{p-1}-1}{p}}=q(a)}". Mathematische Annalen . 60 : 471– 490. doi : 10.1007/bf01561092 . hdl : 10338.dmlcz/120531 . S2CID 123353041 . 
  9. ^ Sondow, Jonathan (2014). "Cocientes de Lerch, primos de Lerch, cocientes de Fermat-Wilson y primos de Wieferich-non-Wilson 2, 3, 14771". arXiv : 1110.3113 [ matemáticas.NT ].
  10. ↑ Sondow, Jonathan; MacMillan, Kieren (2011). "Reducción de la ecuación de Erdős-Moser"1norte+2norte+⋯+knorte=(k+1)norte{\displaystyle 1^{n}+2^{n}+\cdots +k^{n}=(k+1)^{n}}módulok{\displaystyle k}yk2{\displaystyle k^{2}}". arXiv : 1011.2154 [ matemáticas.NT ].
  11. ↑ James Whitbread Lee Glaisher , "Sobre los residuos de r p − 1 al módulo p 2 , p 3 , etc.", Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics 32 (1901): 1-27.
  12. ↑ Ladislav Skula , "Una nota sobre algunas relaciones entre sumas especiales de recíprocos módulo p ", Mathematica Slovaca 58 (2008): 5-10.
  13. ↑ Emma Lehmer, "Sobre congruencias que involucran números de Bernoulli y los cocientes de Fermat y Wilson", Annals of Mathematics 39 (1938): 350–360, pp. 356 y ss.
  14. ↑ Karl Dilcher y Ladislav Skula , "Un nuevo criterio para el primer caso del último teorema de Fermat", Mathematics of Computation 64 (1995): 363-392.
  15. ↑ James Whitbread Lee Glaisher , "Un teorema general de congruencia relacionado con la función bernoulliana", Actas de la Sociedad Matemática de Londres 33 (1900-1901): 27-56, págs. 49-50.
  16. ↑ Mathias Lerch , "Zur Theorie des Fermatschen Quotienten…", Mathematische Annalen 60 (1905): 471-490.
  17. ↑ Números primos de Wieferich a bases de hasta 1052
  18. ↑ "Wieferich.txt primos a bases hasta 10125" . Archivado del original el 29/07/2014 . Recuperado el 22/07/2014 .
  19. ↑ Wieferich primo en bases primas hasta 1000 Archivado el 09-08-2014 en Wayback Machine
  20. ↑ Primos de Wieferich con nivel >= 3
  • Gottfried Helms. Cocientes de Fermat/Euler ( a p -1 – 1)/ p k con k arbitrario .
  • Richard Fischer. Cocientes de Fermat B^(P-1) == 1 (mod P^2) .