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Articulo de referencia

Ley de desplazamiento de Wien

Radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diferentes temperaturas. Cada curva de temperatura alcanza su máximo en una longitud de onda distinta, y la ley ...

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Radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda para diferentes temperaturas. Cada curva de temperatura alcanza su máximo en una longitud de onda distinta, y la ley de Wien describe el desplazamiento de dicho máximo.
Existen diversas maneras de asociar una longitud de onda o frecuencia característica con el espectro de emisión del cuerpo negro de Planck. Cada una de estas métricas varía de forma similar con la temperatura, un principio conocido como la ley de desplazamiento de Wien. Para las distintas versiones de esta ley, la constante de proporcionalidad difiere; por lo tanto, para una temperatura dada, no existe una longitud de onda o frecuencia característica única.

En física , la ley de desplazamiento de Wien establece que la curva de radiación de cuerpo negro, para diferentes temperaturas, presenta un pico en distintas longitudes de onda , inversamente proporcionales a la temperatura. Este desplazamiento es consecuencia directa de la ley de radiación de Planck , que describe el brillo o la intensidad espectral de la radiación de cuerpo negro en función de la longitud de onda a cualquier temperatura dada. Sin embargo, Wien fue descubierta por el físico alemán Wilhelm Wien varios años antes de que Max Planck desarrollara esa ecuación más general, y describe el desplazamiento total del espectro de la radiación de cuerpo negro hacia longitudes de onda más cortas a medida que aumenta la temperatura.

Formalmente, la versión en longitud de onda de la ley de desplazamiento de Wien establece que la radiancia espectral de la radiación de cuerpo negro por unidad de longitud de onda alcanza su máximo en la longitud de onda.λcima{\displaystyle \lambda _{\text{pico}}}dado por: λcima=bT{\displaystyle \lambda _{\text{pico}}={\frac {b}{T}}} donde T es la temperatura absoluta y b es una constante de proporcionalidad llamada constante de desplazamiento de Wien , igual a2,897 771 955 ... × 10 −3  m⋅K , [ 1 ] [ 2 ] o b ≈ 2898 μm ⋅K .

Existe una relación inversa entre la longitud de onda y la temperatura. Por lo tanto, a mayor temperatura, menor es la longitud de onda de la radiación térmica. A menor temperatura, mayor es la longitud de onda de la radiación térmica. En el caso de la radiación visible, los objetos calientes emiten luz más azul que los objetos fríos. Si se considera el pico de emisión de un cuerpo negro por unidad de frecuencia o por ancho de banda proporcional, se debe utilizar una constante de proporcionalidad diferente. Sin embargo, la forma de la ley permanece invariable: la longitud de onda máxima es inversamente proporcional a la temperatura, y la frecuencia máxima es directamente proporcional a la temperatura.

Existen otras formulaciones de la ley de desplazamiento de Wien, parametrizadas en relación con otras magnitudes. En estas formulaciones alternativas, la forma de la relación es similar, pero la constante de proporcionalidad, b , difiere.

La ley de desplazamiento de Wien puede denominarse "ley de Wien", término que también se utiliza para la aproximación de Wien .

En la "ley de desplazamiento de Wien", la palabra desplazamiento se refiere a cómo aparecen desplazados (desplazados) los gráficos de intensidad-longitud de onda para diferentes temperaturas.

Ejemplos

Los herreros trabajan el hierro cuando está lo suficientemente caliente como para emitir radiación térmica claramente visible .
El color de una estrella está determinado por su temperatura, según la ley de Wien. En la constelación de Orión , se pueden comparar Betelgeuse ( T  ≈  3800  K, arriba a la izquierda), Rigel ( T  =  12100  K, abajo a la derecha), Bellatrix ( T  =  22000  K, arriba a la derecha) y Mintaka ( T  =  31800  K, la más a la derecha de las 3 "estrellas del cinturón" en el centro).

La ley de desplazamiento de Wien es relevante para algunas experiencias cotidianas:

  • Un trozo de metal calentado con un soplete primero se pone al rojo vivo, ya que las longitudes de onda visibles más largas aparecen rojas; luego, a medida que aumenta la temperatura, adquiere un tono rojo anaranjado, y a temperaturas muy elevadas se describe como "al rojo vivo", pues las longitudes de onda cada vez más cortas predominan en el espectro de emisión del cuerpo negro . Incluso antes de alcanzar la temperatura al rojo vivo, la emisión térmica se produce principalmente en longitudes de onda infrarrojas más largas , que no son visibles; sin embargo, esa radiación puede percibirse al calentar la piel cercana.
  • Se pueden observar fácilmente cambios en el color de una bombilla incandescente (que produce luz mediante radiación térmica) al variar la temperatura de su filamento con un regulador de intensidad . A medida que la luz se atenúa y la temperatura del filamento disminuye, la distribución del color se desplaza hacia longitudes de onda más largas y la luz se ve más rojiza, además de más tenue.
  • Una hoguera de leña a 1500  K emite una radiación máxima de aproximadamente 2000  nanómetros. El 98 % de esta radiación se encuentra en longitudes de onda superiores a 1000  nm, y solo una pequeña proporción en longitudes de onda visibles (390-700  nanómetros). Por consiguiente, una hoguera puede mantener el calor, pero es una fuente de luz visible de baja calidad.
  • La temperatura efectiva del Sol es de 5778  kelvin. Aplicando la ley de Wien, se encuentra una emisión máxima por nanómetro (de longitud de onda) a una longitud de onda de aproximadamente 500  nm, en la porción verde del espectro cerca de la máxima sensibilidad del ojo humano. [ 3 ] [ 4 ] Por otro lado, en términos de potencia por unidad de frecuencia óptica, la emisión máxima del Sol se encuentra en 343  THz o una longitud de onda de 883  nm en el infrarrojo cercano. En términos de potencia por porcentaje de ancho de banda, el pico se encuentra en aproximadamente 635  nm, una longitud de onda roja. Aproximadamente la mitad de la radiación solar se encuentra en longitudes de onda menores a 710  nm, cerca del límite de la visión humana. De esta, aproximadamente el 12% se encuentra en longitudes de onda menores a 400  nm, longitudes de onda ultravioleta, que son invisibles para el ojo humano sin ayuda. Una gran cantidad de la radiación solar cae en el espectro visible, relativamente pequeño , y atraviesa la atmósfera. [ 5 ]
  • Sin embargo, la preponderancia de la emisión en el rango visible no es el caso en la mayoría de las estrellas . La supergigante caliente Rigel emite el 60% de su luz en el ultravioleta, mientras que la supergigante fría Betelgeuse emite el 85% de su luz en longitudes de onda infrarrojas. Con ambas estrellas prominentes en la constelación de Orión , se puede apreciar fácilmente la diferencia de color entre la azul-blanca Rigel ( T  =  12100  K) y la roja Betelgeuse ( T  ≈  3800  K). [ 6 ] Si bien pocas estrellas son tan calientes como Rigel, las estrellas más frías que el Sol o incluso tan frías como Betelgeuse son muy comunes.
  • Los mamíferos con una temperatura cutánea de unos 300  K emiten radiación máxima alrededor de los 10  μm en el infrarrojo lejano. Por lo tanto, este es el rango de longitudes de onda infrarrojas que deben detectar las víboras y las cámaras infrarrojas pasivas .
  • Al comparar el color aparente de las fuentes de luz (incluidas las luces fluorescentes , la iluminación LED , los monitores de ordenador y los flashes fotográficos ), es habitual citar la temperatura de color . Aunque los espectros de dichas luces no se describen con precisión mediante la curva de radiación de cuerpo negro, se indica una temperatura de color (la temperatura de color correlacionada ) para la cual la radiación de cuerpo negro se asemejaría más al color subjetivo de esa fuente. Por ejemplo, la luz fluorescente blanco-azulada que a veces se usa en una oficina puede tener una temperatura de color de 6500  K, mientras que el tono rojizo de una luz incandescente atenuada puede tener una temperatura de color (y una temperatura real del filamento) de 2000  K. Cabe señalar que la descripción informal del primer color (azulado) como "frío" y del segundo (rojizo) como "cálido" es exactamente lo opuesto al cambio de temperatura real que implica la radiación de cuerpo negro.

Descubrimiento

La ley recibe su nombre de Wilhelm Wien , quien la derivó en 1893 basándose en un argumento termodinámico. [ 7 ] Wien consideró la expansión adiabática de una cavidad que contenía ondas de luz en equilibrio térmico . Utilizando el principio de Doppler , demostró que, bajo una expansión o contracción lenta, la energía de la luz que se refleja en las paredes cambia exactamente de la misma manera que la frecuencia. Un principio general de la termodinámica es que un estado de equilibrio térmico, cuando se expande muy lentamente, permanece en equilibrio térmico.

El propio Wien dedujo esta ley teóricamente en 1893, siguiendo el razonamiento termodinámico de Boltzmann. Anteriormente había sido observada, al menos semicuantitativamente, por el astrónomo estadounidense Samuel Langley . Este desplazamiento ascendente enνpagmiak{\displaystyle \nu _{\mathrm {pico} }}conT{\displaystyle T}Es algo familiar para todos: cuando se calienta una plancha en el fuego, la primera radiación visible (a unos 900 K) es de color rojo intenso, la luz visible de menor frecuencia. Un aumento adicional enT{\displaystyle T}hace que el color cambie a naranja, luego a amarillo y finalmente a azul a temperaturas muy altas (10 000 K o más) para las cuales el pico de intensidad de radiación se ha desplazado más allá del visible hacia el ultravioleta. [ 8 ]

El principio adiabático permitió a Wien concluir que, para cada modo, la energía/frecuencia invariante adiabática es solo una función de la otra invariante adiabática, la frecuencia/temperatura. A partir de esto, derivó la "versión fuerte" de la ley de desplazamiento de Wien: la afirmación de que la radiancia espectral del cuerpo negro es proporcional aν3F(ν/T){\displaystyle \nu ^{3}F(\nu /T)}para alguna función F de una sola variable. Una variante moderna de la derivación de Wien se puede encontrar en el libro de texto de Gregory Wannier [ 9 ] y en un artículo de Edgar Buckingham [ 10 ] .

La consecuencia es que la forma de la función de radiación de cuerpo negro (que aún no se comprendía) cambiaría proporcionalmente en frecuencia (o inversamente proporcionalmente en longitud de onda) con la temperatura. Cuando Max Planck formuló posteriormente la función de radiación de cuerpo negro correcta, no incluyó explícitamente la constante de Wien.b{\displaystyle b}Más bien, la constante de Planckh{\displaystyle h}fue creada e introducida en su nueva fórmula. A partir de la constante de Planckh{\displaystyle h}y la constante de Boltzmannk{\displaystyle k}, la constante de Wienb{\displaystyle b}se puede obtener.

El valor máximo difiere según la parametrización.

Los resultados de las tablas anteriores resumen los resultados de otras secciones de este artículo. Los percentiles corresponden a los percentiles del espectro de cuerpo negro de Planck. [ 11 ] Solo el 25 por ciento de la energía en el espectro de cuerpo negro está asociada con longitudes de onda más cortas que el valor dado por la versión de longitud de onda pico de la ley de Wien.

Espectro de cuerpo negro de Planck parametrizado por longitud de onda, ancho de banda fraccional (longitud de onda logarítmica o frecuencia logarítmica) y frecuencia, para una temperatura de 6000 K.

Nótese que, para una temperatura dada, diferentes parametrizaciones implican diferentes longitudes de onda máximas. En particular, la curva de intensidad por unidad de frecuencia alcanza su máximo en una longitud de onda diferente a la de la curva de intensidad por unidad de longitud de onda. [ 12 ]

Por ejemplo, usandoT{\displaystyle T}= 6000  K (5730  °C; 10340  °F) y parametrización por longitud de onda, la longitud de onda para la máxima radiancia espectral esλ{\displaystyle \lambda }= 482,962 nm con frecuencia correspondienteν{\displaystyle \nu }= 620,737 THz . Para la misma temperatura, pero parametrizando por frecuencia, la frecuencia para la radiancia espectral máxima esν{\displaystyle \nu }= 352,735 THz con longitud de onda correspondienteλ{\displaystyle \lambda }= 849,907 nm .

Estas funciones son funciones de densidad de radiancia , que a su vez son funciones de densidad de probabilidad escaladas para expresarlas en unidades de radiancia. La función de densidad presenta diferentes formas según la parametrización, dependiendo del estiramiento o compresión relativa del eje de abscisas, que mide el cambio en la densidad de probabilidad en relación con un cambio lineal en un parámetro dado. Dado que la longitud de onda y la frecuencia tienen una relación recíproca, representan cambios significativamente no lineales en la densidad de probabilidad entre sí.

La radiancia total es la integral de la distribución sobre todos los valores positivos, y es invariante para una temperatura dada bajo cualquier parametrización. Además, para una temperatura dada, la radiancia que consiste en todos los fotones entre dos longitudes de onda debe ser la misma independientemente de la distribución que se utilice. Es decir, integrando la distribución de longitud de onda desdeλ1{\displaystyle \lambda _{1}}aλ2{\displaystyle \lambda _{2}}dará como resultado el mismo valor que integrar la distribución de frecuencia entre las dos frecuencias que corresponden aλ1{\displaystyle \lambda _{1}}yλ2{\displaystyle \lambda _{2}}, es decir, dedo/λ2{\displaystyle c/\lambda _ {2}}ado/λ1{\displaystyle c/\lambda _ {1}}. [ 13 ] Sin embargo, la forma de la distribución depende de la parametrización, y para una parametrización diferente la distribución normalmente tendrá una densidad máxima diferente, como demuestran estos cálculos. [ 12 ]

El punto clave de la ley de Wien, sin embargo, es que cualquier marcador de longitud de onda, incluyendo la longitud de onda mediana (o, alternativamente, la longitud de onda por debajo de la cual se produce un porcentaje específico de la emisión), es proporcional al inverso de la temperatura. Es decir, la forma de la distribución para una parametrización dada se escala y se traslada en función de la temperatura, y puede calcularse una vez para una temperatura canónica, para luego desplazarla y escalarla adecuadamente y obtener la distribución para otra temperatura. Esto es consecuencia de la formulación contundente de la ley de Wien.

Formulación dependiente de la frecuencia

Para el flujo espectral considerado por unidad de frecuenciadν{\displaystyle d\nu }(en hercios ), la ley de desplazamiento de Wien describe una emisión máxima en la frecuencia óptica.νcima{\displaystyle \nu _{\text{pico}}}dado por: [ 14 ]νcima=incógnitahkT≈(5.879×1010 Hz/K)⋅T{\displaystyle \nu _{\text{pico}}={x \over h}k\,T\approx (5.879\times 10^{10}\ \mathrm {Hz/K} )\cdot T} o equivalentemente hνcima=incógnitakT≈(2.431×10−4 miV/K)⋅T{\displaystyle h\nu _{\text{pico}}=x\,k\,T\approx (2.431\times 10^{-4}\ \mathrm {eV/K} )\cdot T} dóndeincógnita{\displaystyle x}=2,821 439 372 122 078 893 ... [ 15 ] es una constante resultante de la ecuación de maximización, k es la constante de Boltzmann , h es la constante de Planck y T es la temperatura absoluta. Con la emisión ahora considerada por unidad de frecuencia, este pico ahora corresponde a una longitud de onda aproximadamente un 76 % mayor que el pico considerado por unidad de longitud de onda. Las matemáticas relevantes se detallan en la siguiente sección.

Derivación de la ley de Planck

Parametrización por longitud de onda

La ley de Planck para el espectro de radiación de cuerpo negro predice la ley de desplazamiento de Wien y puede utilizarse para evaluar numéricamente la constante que relaciona la temperatura y el valor del parámetro máximo para cualquier parametrización particular. Comúnmente se utiliza una parametrización de longitud de onda y, en ese caso, la radiancia espectral del cuerpo negro (potencia por área emisora ​​por ángulo sólido ) es: túλ(λ,T)=2hdo2λ51mihdo/λkT−1.{\displaystyle u_{\lambda }(\lambda ,T)={2hc^{2} \over \lambda ^{5}}{1 \over e^{hc/\lambda kT}-1}.}

Diferenciandotú(λ,T){\displaystyle u(\lambda ,T)}con respecto aλ{\displaystyle \lambda }y al igualar la derivada a cero se obtiene: ∂tú∂λ=2hdo2(hdokTλ7mihdo/λkT(mihdo/λkT−1)2−1λ65mihdo/λkT−1)=0,{\displaystyle {\partial u \over \partial \lambda }=2hc^{2}\left({hc \over kT\lambda ^{7}}{e^{hc/\lambda kT} \over \left(e^{hc/\lambda kT}-1\right)^{2}}-{1 \over \lambda ^{6}}{5 \over e^{hc/\lambda kT}-1}\right)=0,} que se puede simplificar para dar: hdoλkTmihdo/λkTmihdo/λkT−1−5=0.{\displaystyle {hc \over \lambda kT}{e^{hc/\lambda kT} \over e^{hc/\lambda kT}-1}-5=0.}

Al definir: incógnita≡hdoλkT,{\displaystyle x\equiv {hc \over \lambda kT},} La ecuación se convierte en una ecuación con una sola variable x : incógnitamiincógnitamiincógnita−1−5=0.{\displaystyle {xe^{x} \over e^{x}-1}-5=0.} lo cual es equivalente a: incógnita=5(1−mi−incógnita).{\displaystyle x=5(1-e^{-x})\,.}

Esta ecuación se resuelve mediante incógnita=5+W0(−5mi−5){\displaystyle x=5+W_{0}(-5e^{-5})} dóndeW0{\displaystyle W_{0}}es la rama principal de la función W de Lambert y daincógnita={\displaystyle x=}4.965 114 231 744 276 303 ... . [ 16 ] Resolviendo para la longitud de ondaλ{\displaystyle \lambda }en milímetros, y usando kelvins para la temperatura se obtiene: [ 17 ] [ 2 ]

λpagmiak=hdo/incógnitakT={\displaystyle \lambda _{\mathrm {pico} }=hc/xkT=\;}(2,897 771 955 185 172 661 ...  mm⋅K )/T{\displaystyle /T}.

Parametrización por frecuencia

Otra parametrización común es mediante la frecuencia . La derivación que produce el valor máximo del parámetro es similar, pero comienza con la forma de la ley de Planck como una función de la frecuencia.ν{\displaystyle \nu }: túν(ν,T)=2hν3do21mihν/kT−1.{\displaystyle u_{\nu }(\nu ,T)={2h\nu ^{3} \over c^{2}}{1 \over e^{h\nu /kT}-1}.}

El proceso anterior, utilizando esta ecuación, produce: −hνkTmihν/kTmihν/kT−1+3=0.{\displaystyle -{h\nu \over kT}{e^{h\nu /kT} \over e^{h\nu /kT}-1}+3=0.} El resultado final es: incógnita=3(1−mi−incógnita).{\displaystyle x=3(1-e^{-x})\,.} Esto se resuelve de manera similar con la función W de Lambert: [ 18 ]incógnita=3+W0(−3mi−3){\displaystyle x=3+W_{0}(-3e^{-3})} donaciónincógnita{\displaystyle x}=2.821 439 372 122 078 893 ... . [ 15 ]

Resolver paraν{\displaystyle \nu }produce: [ 14 ]

νpagmiak=incógnitakT/h={\displaystyle \nu _{\mathrm {pico} }=xkT/h=}(0,058 789 257 576 468 249 46 ...  THz⋅K −1 )⋅T{\displaystyle \cdot T}.

Parametrización mediante el logaritmo de la longitud de onda o la frecuencia.

Utilizando la ecuación implícitaincógnita=4(1−mi−incógnita){\displaystyle x=4(1-e^{-x})}produce el pico en la función de densidad de radiancia espectral expresada en el parámetro radiancia por ancho de banda proporcional . (Es decir, la densidad de irradiancia por ancho de banda de frecuencia proporcional a la frecuencia misma, que se puede calcular considerando intervalos infinitesimales deln⁡ν{\displaystyle \ln \nu }(o equivalentementeln⁡λ{\displaystyle \ln \lambda }) en lugar de la frecuencia misma.) Esta es quizás una forma más intuitiva de presentar la "longitud de onda de emisión máxima". Eso produceincógnita{\displaystyle x}=3.920 690 394 872 886 343 ... . [ 19 ]

Energía media de los fotones como caracterización alternativa

Otra forma de caracterizar la distribución de la radiancia es mediante la energía media del fotón [ 12 ].⟨mifoto⟩=π430ζ(3)kT≈(3.7294×10−23J/K)⋅T,{\displaystyle \langle E_{\textrm {phot}}\rangle ={\frac {\pi ^{4}}{30\,\zeta (3)}}k\,T\approx (\mathrm {3.7294\times 10^{-23}\,J/K} )\cdot T\;,} dóndeζ{\displaystyle \zeta }es la función zeta de Riemann . La longitud de onda correspondiente a la energía media del fotón viene dada por λ⟨mi⟩≈(0,53265dometro⋅K)/T.{\displaystyle \lambda _{\langle E\rangle }\approx (\mathrm {0.532\,65\,cm{\cdot }K} )/T\,.}

Crítica

Marr y Wilkin (2012) sostienen que la enseñanza generalizada de la ley de desplazamiento de Wien en los cursos introductorios es indeseable y que sería mejor reemplazarla por material alternativo. Argumentan que enseñar esta ley es problemático porque:

  1. La curva de Planck es demasiado amplia como para que el pico destaque o se considere significativo;
  2. La ubicación del pico depende de la parametrización, y citan varias fuentes que coinciden en que "la designación de cualquier pico de la función no es significativa y, por lo tanto, debería restarse importancia";
  3. En la práctica, esta ley no se utiliza para determinar temperaturas, sino que se recurre directamente a la función de Planck .

Sugieren que la energía promedio de los fotones se presente en lugar de la ley de desplazamiento de Wien, por ser un indicador físicamente más significativo de los cambios que ocurren con la variación de la temperatura. En relación con esto, recomiendan que el número promedio de fotones por segundo se analice en relación con la ley de Stefan-Boltzmann . Recomiendan que el espectro de Planck se represente gráficamente como una "distribución de densidad de energía espectral por ancho de banda fraccional", utilizando una escala logarítmica para la longitud de onda o la frecuencia. [ 12 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ "Valor CODATA 2022: constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Wien" . Referencia del NIST sobre constantes, unidades e incertidumbre . NIST . Mayo de 2024. Consultado el 18 de mayo de 2024 .
  2. 1 2 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A081819 (Expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de longitud de onda de Wien)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.  
  3. ↑ Walker, J. Fundamentos de Física, 8.ª ed., John Wiley and Sons, 2008, pág. 891. ISBN 9780471758013.
  4. ↑ Feynman, R; Leighton, R; Sands, M. The Feynman Lectures on Physics, vol. 1, pp. 35-2 – 35-3. ISBN 0201510030.
  5. ↑ Arrojando luz sobre el ritmo
  6. ↑ Neuhäuser, R; Torres, G; Mugrauer, M; Neuhäuser, DL; Chapman, J; Luge, D; Cosci, M (29 de julio de 2022). "Evolución del color de Betelgeuse y Antares a lo largo de dos milenios, derivada de registros históricos, como una nueva restricción sobre la masa y la edad" . Monthly Notices of the Royal Astronomical Society . 516 (1): 693–719 . arXiv : 2207.04702 . doi : 10.1093/mnras/stac1969 . ISSN 0035-8711 . 
  7. ↑ Mehra, J.; Rechenberg , H. (1982). El desarrollo histórico de la teoría cuántica . Nueva York: Springer-Verlag. Capítulo 1. ISBN 978-0-387-90642-3.
  8. ↑ "1.1: La radiación de cuerpo negro no puede explicarse clásicamente" . 18 de marzo de 2020.
  9. ↑ Wannier, GH (1987) [1966]. Física estadística . Dover Publications . Capítulo 10.2. ISBN 978-0-486-65401-0OCLC 15520414​​ 
  10. ↑ Buckingham, E. (1912). "Sobre la deducción de la ley de desplazamiento de Wien" (PDF) . Boletín de la Oficina de Normas . 8 (3): 545– 557. doi : 10.6028/bulletin.196 . Archivado del original (PDF) el 6 de diciembre de 2020. Recuperado el 18 de octubre de 2020 .
  11. ↑ Lowen, AN; Blanch, G. (1940). "Tablas de las funciones de radiación y fotones de Planck". Journal of the Optical Society of America . 30 (2): 70. Bibcode : 1940JOSA...30...70L . doi : 10.1364/JOSA.30.000070 .
  12. 1 2 3 4 Marr, Jonathan M.; Wilkin, Francis P. (2012). "Una mejor presentación de la ley de radiación de Planck" . American Journal of Physics . 80 (5): 399. arXiv : 1109.3822 . Bibcode : 2012AmJPh..80..399M . doi : 10.1119/1.3696974 . S2CID 10556556 . 
  13. ↑ King, Frank (2003). "Probabilidad 2003-04, Capítulo 11, TRANSFORMACIÓN DE FUNCIONES DE DENSIDAD" . Universidad de Cambridge.
  14. 1 2 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A357838 (Expansión decimal de la constante de la ley de desplazamiento de frecuencia de Wien)" . La enciclopedia en línea de secuencias enteras . Fundación OEIS.  
  15. 1 2 Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A194567" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.  
  16. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A094090" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.  
  17. ↑ Das, Biman (2002). "Obtención de la ley de desplazamiento de Wien a partir de la ley de radiación de Planck" . The Physics Teacher . 40 (3): 148– 149. Bibcode : 2002PhTea..40..148D . doi : 10.1119/1.1466547 .
  18. ↑ Williams, Brian Wesley (2014). "Una forma matemática específica para la ley de desplazamiento de Wien cuando ν max / T = constante" . Journal of Chemical Education . 91 (5): 623. Bibcode : 2014JChEd..91..623W . doi : 10.1021/ed400827f .
  19. ↑ Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A256501" . La enciclopedia en línea de secuencias de enteros . Fundación OEIS.  

Lecturas adicionales

  • Soffer, BH; Lynch, DK (1999). "Algunas paradojas, errores y resoluciones sobre la optimización espectral de la visión humana" . American Journal of Physics . 67 (11): 946– 953. Bibcode : 1999AmJPh..67..946S . doi : 10.1119/1.19170 . S2CID 16025855 . 
  • Heald, MA (2003). "¿Dónde está el 'pico de Wien'?". American Journal of Physics . 71 (12): 1322– 1323. Bibcode : 2003AmJPh..71.1322H . doi : 10.1119/1.1604387 .
  • El mundo de la física de Eric Weisstein