Método de Wiener-Hopf

El método de Wiener-Hopf es una técnica matemática ampliamente utilizada en matemáticas aplicadas . Inicialmente, Norbert Wiener y Eberhard Hopf lo desarrollaron para resolver sistemas de ecuaciones integrales , pero su uso se ha extendido a la resolución de ecuaciones diferenciales parciales bidimensionales con condiciones de contorno mixtas en la misma frontera. En general, el método funciona aprovechando las propiedades analíticas complejas de las funciones transformadas. Normalmente, se utiliza la transformada de Fourier estándar , pero existen ejemplos con otras transformadas, como la transformada de Mellin .

En general, las ecuaciones gobernantes y las condiciones de contorno se transforman, y estas transformaciones se utilizan para definir un par de funciones complejas (típicamente denotadas con los subíndices '+' y '−') que son respectivamente analíticas en las mitades superior e inferior del plano complejo, y cuyo crecimiento no es más rápido que el de los polinomios en estas regiones. Estas dos funciones también coincidirán en alguna región del plano complejo , típicamente, una franja delgada que contiene la recta real . La continuación analítica garantiza que estas dos funciones definen una única función analítica en todo el plano complejo, y el teorema de Liouville implica que esta función es un polinomio desconocido , que suele ser cero o constante. El análisis de las condiciones en los bordes y vértices del contorno permite determinar el grado de este polinomio.

La ecuación fundamental que aparece en el método de Wiener-Hopf tiene la forma

${\displaystyle A(\alpha )\Xi _ {+}(\alpha )+B(\alpha )\Psi _ {-}(\alpha )+C(\alpha )=0,}$

dónde${\displaystyle A}$,${\displaystyle B}$,${\displaystyle C}$son funciones holomorfas conocidas , las funciones${\displaystyle \Xi _ {+}(\alpha )}$,${\displaystyle \Psi _ {-}(\alpha )}$son desconocidos y la ecuación se cumple en una tira${\displaystyle \tau _{-}<{\mathfrak {Estoy}}(\alpha )<\tau _{+}}$en el complejo${\displaystyle \alpha }$avión . Encontrar${\displaystyle \Xi _ {+}(\alpha )}$,${\displaystyle \Psi _ {-}(\alpha )}$es lo que se denomina el problema de Wiener-Hopf . ^{[ 1 ]}

El paso clave en muchos problemas de Wiener-Hopf es descomponer una función arbitraria.${\displaystyle \Phi }$en dos funciones${\displaystyle \Phi _{\pm }}$con las propiedades deseadas descritas anteriormente. En general, esto se puede hacer escribiendo

${\displaystyle \Phi _{+}(\alpha )={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{1}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }}}$

y

${\displaystyle \Phi _{-}(\alpha )=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{C_{2}}\Phi (z){\frac {dz}{z-\alpha }},}$

donde los contornos${\displaystyle C_{1}}$y${\displaystyle C_{2}}$son paralelas a la línea real, pero pasan por encima y por debajo del punto.${\displaystyle z=\alpha }$, respectivamente. ^{[ 2 ]}

De manera similar, las funciones escalares arbitrarias pueden descomponerse en un producto de funciones +/−, es decir${\displaystyle K(\alpha )=K_{+}(\alpha )K_{-}(\alpha )}$, tomando primero el logaritmo y luego realizando una descomposición en suma. Las descomposiciones en producto de funciones matriciales (que se presentan en sistemas multimodales acoplados, como las ondas elásticas) son considerablemente más problemáticas, ya que el logaritmo no está bien definido y se espera que cualquier descomposición no sea conmutativa. Khrapkov obtuvo una pequeña subclase de descomposiciones conmutativas y también se han desarrollado varios métodos aproximados.

Consideremos la ecuación diferencial parcial lineal.

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}f(x,y)=0,}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{xy}}$es un operador lineal que contiene derivadas con respecto a x e y , sujeto a las condiciones mixtas en y  =  0, para alguna función prescrita g ( x ) ,

${\displaystyle f=g(x){\text{ para }}x\leq 0,\quad f_{y}=0{\text{ cuando }}x>0}$

y decae en el infinito, es decir, f  →  0 como${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\rightarrow \infty }$.

Al aplicar una transformada de Fourier con respecto a x, se obtiene la siguiente ecuación diferencial ordinaria.

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}{\widehat {f}}(k,y)-P(k,y){\widehat {f}}(k,y)=0,}$

dónde${\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{y}}$es un operador lineal que contiene únicamente derivadas de y , P ( k,y ) es una función conocida de y y k y

${\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}$

Si una solución particular de esta ecuación diferencial ordinaria que satisface la disminución necesaria en el infinito se denota como F ( k , y ) , una solución general se puede escribir como

${\displaystyle {\widehat {f}}(k,y)=C(k)F(k,y),}$

donde C ( k ) es una función desconocida que se determinará mediante las condiciones de contorno en y =0.

La idea clave es dividir${\displaystyle {\widehat {f}}}$en dos funciones separadas,${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}}$y${\displaystyle {\widehat {f}}_{-}}$que son analíticas en las mitades inferior y superior del plano complejo, respectivamente,

${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,y)=\int _{0}^{\infty }f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x,}$

${\displaystyle {\widehat {f}}_{-}(k,y)=\int _{-\infty }^{0}f(x,y)e^{-ikx}\,{\textrm {d}}x.}$

Las condiciones de contorno dan entonces

${\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}_{-}(k,0)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}(k,0)=C(k)F(k,0)}$

y, al tomar derivadas con respecto a${\displaystyle y}$,

${\displaystyle {\widehat {f}}'_{-}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)+{\widehat {f}}'_{+}(k,0)={\widehat {f}}'(k,0)=C(k)F'(k,0).}$

Eliminando${\displaystyle C(k)}$rendimientos

${\displaystyle {\widehat {g\,}}(k)+{\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K(k),}$

dónde

${\displaystyle K(k)={\frac {F'(k,0)}{F(k,0)}}.}$

Ahora${\displaystyle K(k)}$puede descomponerse en el producto de funciones${\displaystyle K^{-}}$y${\displaystyle K^{+}}$que son analíticas en los semiplanos superior e inferior respectivamente.

Para ser precisos,${\displaystyle K(k)=K^{+}(k)K^{-}(k),}$dónde

${\displaystyle \log K^{-}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k>0,}$

${\displaystyle \log K^{+}=-{\frac {1}{2\pi i}}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\log(K(z))}{z-k}}\,{\textrm {d}}z,\quad \operatorname {Im} k<0.}$

(Tenga en cuenta que esto a veces implica escalado)${\displaystyle K}$de modo que tiende a${\displaystyle 1}$como${\displaystyle k\rightarrow \infty }$.) También descomponemos${\displaystyle K^{+}{\widehat {g\,}}}$en la suma de dos funciones${\displaystyle G^{+}}$y${\displaystyle G^{-}}$que son analíticas en los semiplanos inferior y superior respectivamente, es decir,

${\displaystyle K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)=G^{+}(k)+G^{-}(k).}$

Esto se puede hacer de la misma manera que factorizamos.${\displaystyle K(k).}$ Como consecuencia,

${\displaystyle G^{+}(k)+K_{+}(k){\widehat {f}}_{+}(k,0)={\widehat {f}}'_{-}(k,0)/K_{-}(k)-G^{-}(k).}$

Ahora bien, como el lado izquierdo de la ecuación anterior es analítico en el semiplano inferior, mientras que el lado derecho es analítico en el semiplano superior , la continuación analítica garantiza la existencia de una función entera que coincide con los lados izquierdo o derecho en sus respectivos semiplanos. Además, como se puede demostrar que las funciones a ambos lados de la ecuación anterior decaen para valores grandes de k , una aplicación del teorema de Liouville muestra que esta función entera es idénticamente cero, por lo tanto

${\displaystyle {\widehat {f}}_{+}(k,0)=-{\frac {G^{+}(k)}{K^{+}(k)}},}$

y entonces

${\displaystyle C(k)={\frac {K^{+}(k){\widehat {g\,}}(k)-G^{+}(k)}{K^{+}(k)F(k,0)}}.}$

• Filtro de salchicha
• problema de Riemann-Hilbert

• "Categoría:Wiener-Hopf - WikiWaves" . wikiwaves.org . Consultado el 19 de mayo de 2020 .
• "Método de Wiener-Hopf" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Fornberg, Bengt (2020). Variables complejas y funciones analíticas  : una introducción ilustrada . Piret, Cécile. Filadelfia. ISBN 978-1-61197-597-0OCLC 1124781689​​ {{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace )
• Noble, Ben (1958). Métodos basados ​​en la técnica de Wiener-Hopf para la solución de ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York, NY: Taylor & Francis US. ISBN 978-0-8284-0332-0.{{cite book}}: Incompatibilidad de ISBN/Fecha ( ayuda )