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La eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales

« La eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales » fue el título de la Conferencia Richard Courant de 1959 sobre Ciencias Matemáticas, impartida en la Univ...

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« La eficacia irrazonable de las matemáticas en las ciencias naturales » fue el título de la Conferencia Richard Courant de 1959 sobre Ciencias Matemáticas, impartida en la Universidad de Nueva York por el físico Eugene Wigner y publicada en Communication in Pure and Applied Mathematics en 1960. [ 1 ] En ella, Wigner observa que los conceptos matemáticos puros que se han desarrollado y estudiado independientemente de la física, a menudo para que los matemáticos puedan demostrar su «ingenio y sentido de la belleza formal», [ 2 ] encuentran, sin embargo, aplicaciones frecuentes en la física. La estructura matemática de la física teórica suele indicar el camino hacia nuevos avances en dicha teoría y posee un poder predictivo empírico para describir la naturaleza. Albert Einstein y el filósofo Alfred North Whitehead habían pensado previamente que el éxito de las matemáticas abstractas en la ciencia física era un misterio que requería explicación, pero la conferencia de Wigner se convirtió en la formulación clásica del problema. [ 3 ]

Observaciones y argumentos

Wigner sostiene que los conceptos matemáticos tienen aplicabilidad mucho más allá del contexto en el que fueron desarrollados originalmente. Escribe: «Es importante señalar que la formulación matemática de la experiencia, a menudo rudimentaria, del físico conduce, en un número sorprendente de casos, a una descripción asombrosamente precisa de una amplia gama de fenómenos». [ 4 ] Añade que la observación «las leyes de la naturaleza están escritas en el lenguaje de las matemáticas », formulada correctamente por Galileo hace trescientos años, «es ahora más cierta que nunca».

El primer ejemplo de Wigner es la ley de gravitación formulada por Isaac Newton . Originalmente utilizada para modelar la caída libre de cuerpos en la superficie de la Tierra, esta ley se extendió, basándose en lo que Wigner denomina "observaciones muy escasas" [ 4 ], para describir el movimiento de los planetas, donde "ha demostrado ser precisa más allá de toda expectativa razonable" [ 5 ] . Wigner afirma que "Newton  ... observó que la parábola de la trayectoria de una roca lanzada sobre la Tierra y el círculo de la trayectoria de la Luna en el cielo son casos particulares del mismo objeto matemático, una elipse, y postuló la ley universal de gravitación sobre la base de una única coincidencia numérica, en aquel entonces muy aproximada".

El segundo ejemplo de Wigner proviene de la mecánica cuántica : Max Born «observó que algunas reglas de cálculo, dadas por Heisenberg , eran formalmente idénticas a las reglas de cálculo con matrices, establecidas mucho tiempo atrás por matemáticos. Born, Jordan y Heisenberg propusieron entonces reemplazar por matrices las variables de posición y momento de las ecuaciones de la mecánica clásica. Aplicaron las reglas de la mecánica matricial a algunos problemas altamente idealizados y los resultados fueron bastante satisfactorios. Sin embargo, en aquel momento no existía evidencia racional de que su mecánica matricial resultara correcta en condiciones más realistas». Pero Wolfgang Pauli descubrió que su trabajo describía con precisión el átomo de hidrógeno : «Esta aplicación dio resultados que concordaban con la experiencia». El átomo de helio , con dos electrones, es más complejo, pero «no obstante, el cálculo del nivel de energía más bajo del helio, realizado hace unos meses por Kinoshita en Cornell y por Bazley en la Oficina de Estándares, concuerda con los datos experimentales dentro de la precisión de las observaciones, que es de una parte en diez millones. Sin duda, en este caso obtuvimos información de las ecuaciones que no habíamos incluido». Lo mismo ocurre con los espectros atómicos de los elementos más pesados.

El último ejemplo de Wigner proviene de la electrodinámica cuántica : «Mientras que la teoría de la gravitación de Newton aún tenía conexiones evidentes con la experiencia, esta última solo se incorporó a la formulación de la mecánica matricial en la forma refinada o sublimada de las prescripciones de Heisenberg. La teoría cuántica del desplazamiento de Lamb , tal como la concibió Bethe y la estableció Schwinger , es una teoría puramente matemática, y la única contribución directa del experimento fue demostrar la existencia de un efecto medible. La concordancia con el cálculo es superior a una parte en mil».

Otros ejemplos

Existen otros ejemplos además de los mencionados por Wigner. Otro ejemplo frecuentemente citado son las ecuaciones de Maxwell , desarrolladas para modelar los fenómenos eléctricos y magnéticos elementales conocidos a mediados del siglo XIX. Estas ecuaciones también describen las ondas de radio, descubiertas por David Edward Hughes en 1879, aproximadamente en la época de la muerte de James Clerk Maxwell . Asimismo, cabe mencionar la Teoría de la Relatividad General de Einstein , que no habría sido posible sin el desarrollo del Análisis Tensorial por parte de grandes matemáticos como Gauss , Riemann , Christoffel , Ricci-Curbastro , Tullio Levi-Civita y otros.

Respuestas

Las respuestas recibidas por la tesis incluyen:

  • Richard Hamming en ciencias de la computación, "La irrazonable eficacia de las matemáticas". [ 6 ]
  • Arthur Lesk en biología molecular, "La eficacia irrazonable de las matemáticas en la biología molecular". [ 7 ]
  • Peter Norvig en inteligencia artificial, "La eficacia irrazonable de los datos" [ 8 ]
  • Max Tegmark en física, "El universo matemático". [ 9 ]
  • Ivor Grattan-Guinness en matemáticas, "Resolviendo el misterio de Wigner: La eficacia razonable (aunque quizás limitada) de las matemáticas en las ciencias naturales". [ 10 ]
  • Vela Velupillai en economía, "La ineficacia irrazonable de las matemáticas en economía". [ 11 ]
  • Terrence Joseph Sejnowski en Inteligencia Artificial: La irrazonable efectividad del aprendizaje profundo en la inteligencia artificial". [ 12 ]

Richard Hamming

El matemático y laureado con el Premio Turing, Richard Hamming, reflexionó y amplió el libro de Wigner, *Eficacia irrazonable *, en 1980, analizando cuatro "explicaciones parciales" para el mismo, [ 6 ] y concluyendo que eran insatisfactorias. Estas fueron:

1. Los humanos ven lo que buscan . La creencia de que la ciencia se basa en la experimentación es solo parcialmente cierta. Hamming ofrece cuatro ejemplos de fenómenos físicos no triviales que, según él, surgieron de las herramientas matemáticas empleadas y no de las propiedades intrínsecas de la realidad física.

  • Hamming propone que Galileo descubrió la ley de la caída de los cuerpos no mediante la experimentación, sino mediante un pensamiento simple, aunque cuidadoso. [ 13 ] Hamming imagina que Galileo realizó el siguiente experimento mental (el experimento, que Hamming denomina "razonamiento escolástico", se describe en el libro de Galileo Sobre el movimiento ):

Supongamos que un cuerpo en caída se rompe en dos pedazos. Por supuesto, ambos pedazos disminuirían su velocidad inmediatamente. Pero supongamos además que un pedazo toca al otro. ¿Se convertirían entonces en un solo pedazo y ambos acelerarían? Supongamos que ato los dos pedazos. ¿Con qué fuerza debo atarlos para que se conviertan en un solo pedazo? ¿Con un hilo fino? ​​¿Una cuerda? ¿Pegamento? ¿Cuándo dos pedazos son uno? [ 14 ]

Sencillamente, no hay manera de que un cuerpo en caída libre pueda «responder» a tales «preguntas» hipotéticas. Por lo tanto, Galileo habría concluido que «los cuerpos en caída libre no necesitan saber nada si todos caen con la misma velocidad, a menos que intervenga otra fuerza». Tras plantear este argumento, Hamming encontró una discusión relacionada en Pólya (1963: 83-85). [ 15 ] El relato de Hamming no revela conocimiento del debate académico del siglo XX sobre lo que Galileo hizo exactamente.

2. Los humanos crean y seleccionan las matemáticas que se ajustan a una situación . Las matemáticas disponibles no siempre funcionan. Por ejemplo, cuando los simples escalares resultaron poco adecuados para comprender las fuerzas, primero se inventaron los vectores y luego los tensores .

3. Las matemáticas solo abarcan una parte de la experiencia humana . Gran parte de la experiencia humana no se enmarca dentro de la ciencia ni de las matemáticas, sino en la filosofía del valor , que incluye la ética , la estética y la filosofía política . Afirmar que el mundo puede explicarse mediante las matemáticas equivale a un acto de fe.

4. La evolución ha preparado a los humanos para pensar matemáticamente . Las primeras formas de vida debieron contener las semillas de la capacidad humana para crear y seguir largas cadenas de razonamiento preciso.

Max Tegmark

El físico Max Tegmark argumentó que la eficacia de las matemáticas para describir la realidad física externa se debe a que el mundo físico es una estructura matemática abstracta. [ 9 ] [ 17 ] Esta teoría, conocida como la hipótesis del universo matemático , refleja ideas previamente planteadas por Peter Atkins . [ 18 ] Sin embargo, Tegmark afirma explícitamente que «la verdadera estructura matemática isomorfa a nuestro mundo, si es que existe, aún no se ha encontrado». Más bien, las teorías matemáticas en física tienen éxito porque se aproximan a matemáticas más complejas y predictivas. Según Tegmark, «Nuestras teorías exitosas no son matemáticas que se aproximan a la física, sino matemáticas simples que se aproximan a matemáticas más complejas».

Ivor Grattan-Guinness

Ivor Grattan-Guinness consideró que la eficacia en cuestión era eminentemente razonable y explicable en términos de conceptos como analogía, generalización y metáfora. Subraya que Wigner ignora en gran medida «la eficacia de las ciencias naturales en matemáticas, puesto que gran parte de las matemáticas se ha visto motivada por interpretaciones científicas». [ 10 ]

Michael Atiyah

Michael Atiyah cambió el panorama con su ensayo «La eficacia irrazonable de la física en las matemáticas». Argumentó que el conjunto de herramientas de la física permite a un profesional como Edward Witten ir más allá de las matemáticas estándar, en particular la geometría de las 4-variedades . Las herramientas de un físico se citan como la teoría cuántica de campos , la relatividad especial , la teoría de gauge no abeliana , el espín , la quiralidad , la supersimetría y la dualidad electromagnética . [ 19 ]

Versiones anteriores del argumento

Se sabía que el erudito alemán Moritz Drobisch veneraba el «fundamento matemático» de la mayoría de las ciencias, ya que ponía a los estudiantes en la posición de «asombrarse ante la coherencia teleológica» y «reconocer una sabiduría sobrehumana y ordenadora cuyos propósitos [...] comprenderán gradualmente». [ 20 ] En este sentido, [ 21 ] afirmó acerca de la astronomía :

El orden armonioso en el que los cuerpos celestes describen sus órbitas, la regularidad eternamente constante, toca una fibra sensible en nuestro interior y nos eleva —lejos de simplemente dejar que el mecanismo muerto del azar se desenrolle ante nosotros— a la noción del ser supremo y sabio. [ 22 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Wigner, EP (1960). "La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales. Conferencia Richard Courant sobre ciencias matemáticas impartida en la Universidad de Nueva York, 11 de mayo de 1959" . Communications on Pure and Applied Mathematics . 13 (1): 1– 14. Bibcode : 1960CPAM...13....1W . doi : 10.1002/cpa.3160130102 . S2CID 6112252. Archivado del original el 12 de febrero de 2021. 
  2. ↑ Wigner 1960 , pág. 3 
  3. ↑ Cain, AJ (2024). Forma y número: una historia de la belleza matemática . Lisboa: AJC. pp. 925–927 . 
  4. 1 2 Wigner 1960 , §¿Es realmente sorprendente el éxito de las teorías físicas? pág. 8
  5. ↑ Wigner 1960 , pág. 9 
  6. 1 2 Hamming, RW (1980). "La irrazonable eficacia de las matemáticas" . The American Mathematical Monthly . 87 (2): 81– 90. doi : 10.2307/2321982 . hdl : 10945/55827 . JSTOR 2321982. Archivado del original el 22 de junio de 2022. Recuperado el 30 de julio de 2021 . 
  7. ↑ Lesk, AM (2000). "La irrazonable eficacia de las matemáticas en la biología molecular". The Mathematical Intelligencer . 22 (2): 28– 37. doi : 10.1007/BF03025372 . S2CID 120102813 . 
  8. ↑ Halevy, A. ; Norvig, P. ; Pereira, F. (2009). "La irrazonable efectividad de los datos" (PDF) . IEEE Intelligent Systems . 24 (2): 8– 12. Bibcode : 2009IISys..24b...8H . doi : 10.1109/MIS.2009.36 . S2CID 14300215 . Archivado (PDF) del original el 09-08-2022 . Recuperado el 04-09-2015 . 
  9. 1 2 Tegmark, Max (2008). "El universo matemático". Fundamentos de la física . 38 (2): 101– 150. arXiv : 0704.0646 . Bibcode : 2008FoPh...38..101T . doi : 10.1007/s10701-007-9186-9 . S2CID 9890455 . 
  10. 1 2 Grattan-Guinness, I. (2008). "Resolviendo el misterio de Wigner: La eficacia razonable (aunque quizás limitada) de las matemáticas en las ciencias naturales". The Mathematical Intelligencer . 30 (3): 7– 17. doi : 10.1007/BF02985373 . S2CID 123174309 . 
  11. ↑ Velupillai, KV (2005). "La ineficacia irrazonable de las matemáticas en la economía". Cambridge Journal of Economics . 29 (6): 849– 872. CiteSeerX 10.1.1.194.6586 . doi : 10.1093/cje/bei084 . 
  12. ↑ Sejnowski, Terrence J. (2020). "La irrazonable efectividad del aprendizaje profundo en inteligencia artificial" . Proc. Natl. Acad. Sci. USA . 117 (48): 30033– 30038. arXiv : 2002.04806 . Bibcode : 2020PNAS..11730033S . doi : 10.1073 / pnas.1907373117 . PMC 7293599. PMID 32457138 .  
  13. ↑ "La irrazonable eficacia de las matemáticas - RW Hamming - Algunas explicaciones parciales" . ned.ipac.caltech.edu . Consultado el 6 de enero de 2024 .
  14. ↑ Van Helden, Albert (1995). "Sobre el movimiento" . El proyecto Galileo . Archivado del original el 21 de diciembre de 2017. Recuperado el 16 de octubre de 2013 .
  15. ↑ Pólya, George ; Bowden, Leon ; School Mathematics Study Group (1963). Métodos matemáticos en la ciencia; un curso de conferencias . Estudios en matemáticas. Vol. 11. Stanford: School Mathematics Study Group. OCLC 227871299 .  {{cite book}}: CS1 mantenimiento: ubicación del editor ( enlace )
  16. ↑ Folland, Gerald B.; Sitaram, Alladi (1997). "El principio de incertidumbre: una revisión matemática". Journal of Fourier Analysis and Applications . 3 (3): 207– 238. Bibcode : 1997JFAA....3..207F . doi : 10.1007/BF02649110 . S2CID 121355943 . 
  17. ↑ Tegmark, Max (2014). Nuestro universo matemático . Knopf. ISBN 978-0-307-59980-3.
  18. ↑ Atkins, Peter (1992). La creación revisitada . WHFreeman. ISBN 978-0-7167-4500-6.
  19. ↑ Atiyah, Michael (2002). «La irrazonable eficacia de la física en las matemáticas». En Fokas, AS (ed.). Aspectos destacados de la física matemática . Sociedad Matemática Americana . págs. 25–38 . ISBN  0-8218-3223-9OCLC 50164838​​ 
  20. ↑ Drobisch, Filología 1832, págs. 24 y siguientes.
  21. ↑ "Entre "Bildung" y "Wissenschaft": el ideal alemán de educación científica del siglo XIX - EGO" . EGO | Europäische Geschichte Online (en alemán) . Consultado el 10 de mayo de 2025 .
  22. ↑ Drobisch, Filología 1832, p. 22.

Lecturas adicionales

  • Bangu, Sorin (2012). La aplicabilidad de las matemáticas en la ciencia: indispensabilidad y ontología . Nuevas direcciones en la filosofía de la ciencia. Londres: Plagrave MacMillan. ISBN 978-0230285200.
  • Cain, AJ (2024). "Eficacia irrazonable: la belleza y el problema de la aplicabilidad de las matemáticas a la naturaleza" . Forma y número: una historia de la belleza matemática . Lisboa: AJC. pp. 925–942 . 
  • Colyvan, Mark (Primavera de 2015). «Argumentos de indispensabilidad en la filosofía de las matemáticas» . En Zalta, Edward N. (ed.). Enciclopedia de filosofía de Stanford . Laboratorio de investigación en metafísica, Universidad de Stanford. Archivado del original el 24 de mayo de 2011. Consultado el 17 de febrero de 2011 .
  • Kasman, Alex (abril de 2003). " Eficacia irrazonable" . Math Horizons Magazine . 10 (4): 29– 31. doi : 10.1080/10724117.2003.12023669 . S2CID 218542870. Archivado del original el 26 de junio de 2010. Recuperado el 30 de septiembre de 2010 . , una pieza de "ficción matemática".
  • Sarukkai, Sundar (10 de febrero de 2005). "Revisando la 'eficacia irrazonable' de las matemáticas". Current Science . 88 (3): 415– 423. JSTOR 24110208 . 
  • Steiner, Mark (1998). La aplicabilidad de las matemáticas como problema filosófico . Cambridge, Mass.: Harvard University Press. ISBN 978-0-674-04097-7.
  • Wolchover, Natalie (9 de diciembre de 2019). "Por qué las leyes de la física son inevitables" . Quanta Magazine . Archivado del original el 12 de diciembre de 2019. Recuperado el 12 de diciembre de 2019 .
  • Texto completo de "La irrazonable eficacia de las matemáticas en las ciencias naturales" .