La fórmula de Margrabe

En finanzas matemáticas , la fórmula de Margrabe ^{[ 1 ]} es una fórmula de valoración de opciones aplicable a una opción para intercambiar un activo de riesgo por otro activo de riesgo al vencimiento. Fue derivada por William Margrabe ^{[ 2 ]} en 1978. El artículo de Margrabe ha sido citado en más de 2000 artículos posteriores. ^{[ 3 ]}

Supongamos que S ₁ (t) y S ₂ (t) son los precios de dos activos de riesgo en el tiempo t , y que cada uno tiene un rendimiento de dividendo continuo constante q _i . La opción, C , que deseamos valorar da al comprador el derecho, pero no la obligación, de intercambiar el segundo activo por el primero en el momento del vencimiento T . En otras palabras, su pago, C(T) , es max(0, S ₁ (T) - S ₂ (T)) .

Si las volatilidades de S _i ' s son σ _i , entonces${\displaystyle \textstyle \sigma ={\sqrt {\sigma _{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{2}\rho }}}$donde ρ es el coeficiente de correlación de Pearson de los movimientos brownianos de los S _i .

La fórmula de Margrabe establece que el precio justo para la opción en el momento 0 es:

${\displaystyle e^{-q_{1}T}S_{1}(0)N(d_{1})-e^{-q_{2}T}S_{2}(0)N(d_{2})}$

dónde:

${\displaystyle q_{1},q_{2}}$son las tasas de dividendos esperadas de los precios${\displaystyle S_{1},S_{2}}$bajo la medida neutral al riesgo apropiada,

${\displaystyle N}$denota la función de distribución acumulativa para una distribución normal estándar ,

${\displaystyle d_{1}=(\ln(S_{1}(0)/S_{2}(0))+(q_{2}-q_{1}+\sigma ^{2}/2)T)/\sigma {\sqrt {T}}}$,

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}$.

El modelo de mercado de Margrabe solo presupone la existencia de dos activos de riesgo, cuyos precios, como es habitual, se supone que siguen un movimiento browniano geométrico . Las volatilidades de estos movimientos brownianos no tienen por qué ser constantes, pero es importante que la volatilidad de S ₁ /S ₂ , σ , sea constante. En particular, el modelo no presupone la existencia de un activo libre de riesgo (como un bono cupón cero ) ni ningún tipo de tasa de interés . El modelo no requiere una medida de probabilidad neutral al riesgo equivalente, sino una medida equivalente bajo S ₂ .

La fórmula se demuestra rápidamente reduciendo la situación a una en la que podemos aplicar la fórmula de Black-Scholes .

• Primero, consideremos ambos activos valorados en unidades de S ₂ (esto se denomina 'usar S ₂ como numerario '); esto significa que una unidad del primer activo ahora vale S ₁ /S ₂ unidades del segundo activo, y una unidad del segundo activo vale 1.
• Bajo este cambio de numerario de precios, el segundo activo ahora es un activo libre de riesgo y su tasa de dividendo q ₂ es la tasa de interés. El pago de la opción, revalorizada bajo este cambio de numerario, es max(0, S ₁ (T)/S ₂ (T) - 1) .
• Así, la opción original se ha convertido en una opción de compra sobre el primer activo (con su precio de referencia) con un precio de ejercicio de 1 unidad del activo libre de riesgo. Cabe destacar que la tasa de dividendo q1 del primer activo permanece invariable incluso con el cambio de precio _.
• Aplicando la fórmula de Black-Scholes con estos valores como entradas apropiadas, por ejemplo, valor inicial del activo S ₁ (0)/S ₂ (0) , tasa de interés q ₂ , volatilidad σ , etc., obtenemos el precio de la opción bajo el método de precios de numerario.
• _{Dado que el precio de la} opción resultante está en unidades de S² , al multiplicarlo por S² (0) se deshará el cambio de numerario y obtendremos el precio en nuestra moneda original, que es la fórmula anterior. Alternativamente, se puede demostrar mediante el teorema de Girsanov .

Notas

Referencia primaria

• William Margrabe, "El valor de una opción para intercambiar un activo por otro" , Journal of Finance , vol. 33, n.º 1, (marzo de 1978), págs.  177-186.

Discusión

• Mark Davis, Imperial College London, Opciones Multiactivos
• Rolf Poulsen, Universidad de Gotemburgo, La fórmula de Margrabe