Conjetura de Witten

En geometría algebraica , la conjetura de Witten es una conjetura sobre los números de intersección de clases estables en el espacio de módulos de curvas , introducida por Edward Witten en el artículo Witten ( 1991 ) y generalizada en Witten (1993) . La conjetura original de Witten fue demostrada por Maxim Kontsevich en el artículo Kontsevich (1992) . 

La motivación de Witten para la conjetura radicaba en que dos modelos diferentes de gravedad cuántica bidimensional deberían tener la misma función de partición . La función de partición para uno de estos modelos se puede describir en términos de números de intersección en la pila de módulos de curvas algebraicas , y la función de partición para el otro es el logaritmo de la función τ de la jerarquía de KdV . La identificación de estas funciones de partición da lugar a la conjetura de Witten de que cierta función generadora formada a partir de números de intersección debería satisfacer las ecuaciones diferenciales de la jerarquía de KdV.

Supongamos que M _{g , n} es la pila de módulos de superficies de Riemann compactas de género g con n puntos marcados distintos x ₁ ,..., x _n , y M _{g , n} es su compactificación de Deligne-Mumford. Hay n haces de líneas L _i en M _{g , n} , cuya fibra en un punto de la pila de módulos viene dada por el espacio cotangente de una superficie de Riemann en el punto marcado x _i . El índice de intersección 〈τ _{d 1} , ..., τ _{d n}〉 ​​es el índice de intersección de Π c ₁ ( L _i ) ^{d _i} en M _{g , n} donde Σ d _i = dim M _{g , n} = 3 g – 3 + n , y 0 si no existe tal g , donde c ₁ es la primera clase de Chern de un haz de líneas. Función generadora de Witten

${\displaystyle F(t_{0},t_{1},\ldots )=\sum \langle \tau _{0}^{k_{0}}\tau _{1}^{k_{1}}\cdots \rangle \prod _{i\geq 0}{\frac {t_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}={\frac {t_{0}^{3}}{6}}+{\frac {t_{1}}{24}}+{\frac {t_{0}t_{2}}{24}}+{\frac {t_{1}^{2}}{24}}+{\frac {t_{0}^{2}t_{3}}{48}}+\cdots }$

codifica todos los índices de intersección como sus coeficientes.

La conjetura de Witten afirma que la función de partición Z = exp F es una función τ para la jerarquía de KdV ; en otras palabras, satisface una cierta serie de ecuaciones diferenciales parciales correspondientes a la base.${\displaystyle \{L_{-1},L_{0},L_{1},\ldots \}}$del álgebra de Virasoro .

Kontsevich utilizó una descripción combinatoria de los espacios de módulos en términos de grafos de cintas para demostrar que

${\displaystyle \sum _{d_{1}+\cdots +d_{n}=3g-3+n}\langle \tau _{d_{1}},\ldots ,\tau _{d_{n}}\rangle \prod _{1\leq i\leq n}{\frac {(2d_{i}-1)!!}{\lambda _{i}^{2d_{i}+1}}}=\sum _{\Gamma \in G_{g,n}}{\frac {2^{-|X_{0}|}}{|{\text{Aut}}\Gamma |}}\prod _{e\in X_{1}}{\frac {2}{\lambda (e)}}}$

Aquí, la suma de la derecha se realiza sobre el conjunto G _{g , n} de grafos de cinta X de superficies de Riemann compactas de género g con n puntos marcados. El conjunto de aristas e y puntos de X se denota por X ₀ y X ₁ . La función λ se considera una función de los puntos marcados a los números reales, y se extiende a las aristas del grafo de cinta al establecer λ de una arista igual a la suma de λ en los dos puntos marcados correspondientes a cada lado de la arista.

Mediante técnicas de diagramas de Feynman, esto implica que F ( t ₀ ,...) es una expansión asintótica de

${\displaystyle \log \int \exp(i{\text{tr}}X^{3}/6)d\mu }$

cuando Λ tiende a infinito, donde Λ y Χ son matrices hermíticas definidas positivas de N por N , y t _i viene dado por

${\displaystyle t_{i}={\frac {-{\text{tr }}\Lambda ^{-1-2i}}{1\times 3\times 5\times \cdots \times (2i-1)}}}$

y la medida de probabilidad μ en las matrices hermíticas definidas positivas viene dada por

${\displaystyle d\mu =c_{\Lambda }\exp(-{\text{tr}}X^{2}\Lambda /2)dX}$

donde c _Λ es una constante de normalización. Esta medida tiene la propiedad de que

${\displaystyle \int X_{ij}X_{kl}d\mu =\delta _{il}\delta _{jk}{\frac {2}{\Lambda _{i}+\Lambda _{j}}}}$

lo que implica que su expansión en términos de diagramas de Feynman es la expresión de F en términos de gráficos de cinta.

A partir de esto dedujo que exp F es una función τ para la jerarquía KdV, demostrando así la conjetura de Witten.

La conjetura de Witten es un caso especial de una relación más general entre sistemas integrables de EDP hamiltonianas y la geometría de ciertas familias de teorías de campos topológicas bidimensionales (axiomatizadas en la forma de las llamadas teorías de campos cohomológicas por Kontsevich y Manin), que fue explorada y estudiada sistemáticamente por B. Dubrovin y Y. Zhang, A. Givental, C. Teleman y otros.

La conjetura de Virasoro es una generalización de la conjetura de Witten.

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• Kazarian, ME; Lando, Sergei K. (2007), "Una demostración algebraico-geométrica de la conjetura de Witten", Journal of the American Mathematical Society , 20 (4): 1079– 1089, arXiv : math/0601760 , Bibcode : 2007JAMS...20.1079K , doi : 10.1090/S0894-0347-07-00566-8 , ISSN 0894-0347 , MR 2328716  
• Kontsevich, Maxim (1992), "Teoría de la intersección en el espacio de módulos de curvas y la función de Airy matricial" , Communications in Mathematical Physics , 147 (1): 1–23 , Bibcode : 1992CMaPh.147....1K , doi : 10.1007/BF02099526 , ISSN 0010-3616 , MR 1171758  
• Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K. (2004), Grafos en superficies y sus aplicaciones (PDF) , Enciclopedia de Ciencias Matemáticas, vol.  141, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-00203-1, MR 2036721 
• Witten, Edward (1991), "Gravedad bidimensional y teoría de la intersección en el espacio de módulos", Surveys in differential geometry (Cambridge, MA, 1990) , vol.  1, Bethlehem, PA: Lehigh Univ., pp. 243–310 , ISBN  978-0-8218-0168-0, MR 1144529 
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