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En la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística , el índice de Witten a la temperatura inversa β se define como una modificación de la función de partición estándar :

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]}$

Nótese el operador (-1) ^F , donde F es el operador del número fermiónico . Esto es lo que lo diferencia de la función de partición ordinaria . A veces se le denomina asimetría espectral .

En una teoría supersimétrica , cada autovalor de energía no nula contiene un número igual de estados bosónicos y fermiónicos. Por ello, el índice de Witten es independiente de la temperatura y representa el número de estados de vacío bosónicos de energía cero menos el número de estados de vacío fermiónicos de energía cero. En particular, si la supersimetría se rompe espontáneamente , no existen estados fundamentales de energía cero y, por lo tanto, el índice de Witten es igual a cero.

El índice de Witten del modelo sigma supersimétrico en una variedad viene dado por la característica de Euler de la variedad . ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\textrm {Tr}}[(-1)^{F}e^{-\beta H}]=\sum _{p\in \mathbb {Z} }(-1)^{p}b_{p}=\chi (M)\ .}$

Es un ejemplo de una cantidad cuasi-topológica, que es una cantidad que depende solo de los términos F y no de los términos D en el lagrangiano . Un invariante más refinado en teorías bidimensionales, construido utilizando solo la parte que se mueve hacia la derecha del operador del número fermiónico junto con una familia de variaciones de dos parámetros, es el género elíptico .

• Teoría supersimétrica de la dinámica estocástica

• Edward Witten, Restricciones sobre la ruptura de la supersimetría , Nucl. Phys. B202 (1982) 253-316