Trabajo (física)

En ciencia, el trabajo es la energía transferida hacia o desde un objeto mediante la aplicación de una fuerza a lo largo de un desplazamiento . En su forma más simple, para una fuerza constante alineada con la dirección del movimiento, el trabajo es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia recorrida. Se dice que una fuerza realiza trabajo positivo si tiene una componente en la dirección del desplazamiento del punto de aplicación . Una fuerza realiza trabajo negativo si tiene una componente opuesta a la dirección del desplazamiento en el punto de aplicación de la fuerza. ^{[ 1 ]}

Por ejemplo, cuando se sostiene una pelota en el aire y luego se deja caer, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria sobre ella durante la caída es positivo e igual al peso de la pelota (una fuerza) multiplicado por la distancia al suelo (un desplazamiento). Si la pelota se lanza hacia arriba, el trabajo realizado por la fuerza gravitatoria es negativo e igual al peso multiplicado por el desplazamiento hacia arriba.

Tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores . El trabajo realizado viene dado por el producto escalar de ambos vectores, cuyo resultado es un escalar . Cuando la fuerza $F$ es constante y el ángulo $θ$ entre la fuerza y el desplazamiento $s$ también es constante, entonces el trabajo realizado viene dado por: $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} =Fs\cos {\theta }$

Si la fuerza y/o el desplazamiento son variables, entonces el trabajo viene dado por la integral de línea :

${\begin{aligned}W&=\int \mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} \\&=\int \mathbf {F} \cdot {\frac {d\mathbf {s} }{dt}}dt\\&=\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt\end{aligned}}$

dónde $d\mathbf {s}$ es el cambio infinitesimal en el vector de desplazamiento, $dt$ es el incremento infinitesimal de tiempo, y $\mathbf {v}$ representa el vector velocidad. La primera ecuación representa la fuerza en función de la posición y la segunda y tercera ecuaciones representan la fuerza en función del tiempo.

El trabajo es una magnitud escalar , ^{[ 2 ]} por lo que solo tiene magnitud y no dirección. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro, o de una forma a otra. La unidad del SI para el trabajo es el julio (J), la misma unidad que para la energía.

Historia

La comprensión de la física en la antigua Grecia se limitaba a la estática de las máquinas simples (el equilibrio de fuerzas) y no incluía la dinámica ni el concepto de trabajo. Durante el Renacimiento, la dinámica de las Potencias Mecánicas , como se denominaban las máquinas simples , comenzó a estudiarse desde el punto de vista de hasta dónde podían levantar una carga, además de la fuerza que podían aplicar, lo que finalmente condujo al nuevo concepto de trabajo mecánico. La teoría dinámica completa de las máquinas simples fue desarrollada por el científico italiano Galileo Galilei en 1600 en Le Meccaniche ( Sobre la Mecánica ), en la que demostró la similitud matemática subyacente de las máquinas como amplificadores de fuerza. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]} Fue el primero en explicar que las máquinas simples no crean energía, sino que solo la transforman. ^{[ 3 ]}

Primeros conceptos de trabajo

Aunque el término trabajo no se utilizó formalmente hasta 1826, existían conceptos similares antes de esa fecha. Entre los primeros nombres para el mismo concepto se incluían momento de actividad, cantidad de acción, fuerza viva latente, efecto dinámico, eficiencia e incluso fuerza . ^{[ 5 ]} En 1637, el filósofo francés René Descartes escribió: ^{[ 6 ]}

Levantar 100 libras con un pie dos veces es lo mismo que levantar 200 libras con un pie, o 100 libras con dos pies.

— René Descartes, Carta a Huygens

En 1686, el filósofo alemán Gottfried Leibniz escribió: ^{[ 7 ]}

La misma fuerza ["trabajo" en términos modernos] es necesaria para elevar el cuerpo A de 1 libra (libra) a una altura de 4 yardas (cúbito), que la que se necesita para elevar el cuerpo B de 4 libras a una altura de 1 yarda.

— Gottfried Leibniz, Brevis demostratio

En 1759, John Smeaton describió una magnitud que denominó "potencia" para "significar el ejercicio de fuerza, gravedad, impulso o presión, como para producir movimiento". Smeaton continúa diciendo que esta magnitud se puede calcular si "el peso levantado se multiplica por la altura a la que se puede elevar en un tiempo determinado", lo que hace que esta definición sea notablemente similar a la de Coriolis . ^{[ 8 ]}

Etimología y uso moderno

El término trabajo (o trabajo mecánico ), y el uso del principio trabajo-energía en mecánica, fue introducido a finales de la década de 1820 de forma independiente por el matemático francés Gaspard-Gustave Coriolis y el profesor francés de mecánica aplicada Jean-Victor Poncelet . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}^{[ 11 ]} Ambos científicos buscaban una visión de la mecánica adecuada para estudiar la dinámica y la potencia de las máquinas, por ejemplo, las máquinas de vapor que extraían cubos de agua de las minas de mineral inundadas. Según René Dugas, ingeniero e historiador francés, es a Salomón de Caux a quien debemos el término trabajo en el sentido en que se usa ahora en mecánica. ^{[ 12 ]} El concepto de trabajo virtual , y el uso de métodos variacionales en mecánica, precedió a la introducción del "trabajo mecánico", pero originalmente se denominaba "momento virtual". Se le cambió el nombre una vez que se adoptó la terminología de Poncelet y Coriolis. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]}

Unidades

La unidad de trabajo del SI es el julio (J), que recibe su nombre del físico inglés James Prescott Joule (1818-1889). Según la Oficina Internacional de Pesas y Medidas, se define como "el trabajo realizado cuando el punto de aplicación de una unidad MKS de fuerza [newton] se desplaza una distancia de 1 metro en la dirección de la fuerza". ^{[ 15 ]}

El newton-metro (N⋅m), dimensionalmente equivalente, se utiliza a veces como unidad de medida del trabajo, pero puede confundirse con la unidad de medida del par . El Sistema Internacional de Unidades (SI) desaconseja el uso de N⋅m , ya que puede generar confusión sobre si la magnitud expresada en newton-metros es una medida de par o una medida de trabajo. ^{[ 16 ]}

Otra unidad de medida del trabajo es el pie-libra , que proviene del sistema de medición inglés. Como su nombre indica, es el producto de las libras (unidad de fuerza) y los pies (unidad de desplazamiento). Un julio equivale aproximadamente a 0,7376 pies-libra. ^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

Las unidades de trabajo que no pertenecen al SI incluyen el erg , el pie-libra, el pie-libraal , el kilovatio-hora , el litro-atmósfera y el caballo de fuerza-hora . Debido a que el trabajo tiene la misma dimensión física que el calor , ocasionalmente se utilizan como unidades de medida unidades que normalmente se reservan para el calor o el contenido energético, como el termia , la BTU y la caloría .

Trabajo y energía

El trabajo $W$ realizado por una fuerza constante de magnitud $F$ sobre un punto que se mueve un desplazamiento $s$ en línea recta en la dirección de la fuerza es el producto $W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s}$

Por ejemplo, si una fuerza de 10 newtons ( $F = 10 N$ ) actúa a lo largo de un punto que se desplaza 2 metros ( $s = 2 m$ ), entonces $W = Fs = (10 N) (2 m) = 20 J.$ Esto equivale aproximadamente al trabajo realizado al levantar un objeto de 1 kg desde el suelo hasta por encima de la cabeza de una persona, venciendo la fuerza de la gravedad.

El trabajo se duplica tanto si se levanta el doble de peso a la misma distancia como si se levanta el mismo peso al doble de distancia.

El trabajo está estrechamente relacionado con la energía . La energía comparte la misma unidad de medida que el trabajo (julios) porque la energía del objeto que realiza el trabajo se transfiere a los demás objetos con los que interactúa durante la realización del trabajo. ^{[ 18 ]} El principio de trabajo-energía establece que un aumento en la energía cinética de un cuerpo rígido se debe a una cantidad igual de trabajo positivo realizado por la fuerza resultante que actúa sobre él. Por el contrario, una disminución en la energía cinética se debe a una cantidad igual de trabajo negativo realizado por la fuerza resultante. Así, si el trabajo neto es positivo, la energía cinética de la partícula aumenta en la cantidad del trabajo. Si el trabajo neto es negativo, la energía cinética de la partícula disminuye en la cantidad del trabajo. ^{[ 19 ]}

A partir de la segunda ley de Newton , se puede demostrar que el trabajo sobre un cuerpo libre (sin campos), rígido (sin grados de libertad internos), es igual al cambio en la energía cinética $E k$ correspondiente a la velocidad lineal y la velocidad angular de ese cuerpo, $W=\Delta E_{\text{k}}.$ El trabajo de las fuerzas generadas por una función potencial se conoce como energía potencial y se dice que las fuerzas son conservativas . Por lo tanto, el trabajo sobre un objeto que simplemente se desplaza en un campo de fuerza conservativo , sin cambio de velocidad ni rotación, es igual a menos el cambio de energía potencial $E p$ del objeto. $W=-\Delta E_{\text{p}}.$ Estas fórmulas demuestran que el trabajo es la energía asociada a la acción de una fuerza, por lo que el trabajo posee las dimensiones físicas y las unidades de energía. Los principios de trabajo y energía aquí expuestos son idénticos a los principios de trabajo y energía eléctrica.

Fuerzas de restricción

Las fuerzas de restricción determinan el desplazamiento del objeto en el sistema, limitándolo a un rango determinado. Por ejemplo, en el caso de una pendiente con gravedad, el objeto se adhiere a la pendiente y, al estar sujeto a una cuerda tensa, no puede moverse hacia afuera para tensarla aún más. Esto elimina cualquier desplazamiento en esa dirección; es decir, la velocidad en la dirección de la restricción se limita a cero, de modo que las fuerzas de restricción no realizan trabajo sobre el sistema.

Para un sistema mecánico , ^{[ 20 ]} las fuerzas de restricción eliminan el movimiento en las direcciones que caracterizan la restricción. Por lo tanto, el trabajo virtual realizado por las fuerzas de restricción es cero, un resultado que solo es cierto si se excluyen las fuerzas de fricción. ^{[ 21 ]}

Las fuerzas de restricción fijas y sin fricción no realizan trabajo sobre el sistema, ^{[ 22 ]} ya que el ángulo entre el movimiento y las fuerzas de restricción es siempre de 90° . ^{[ 22 ]} Ejemplos de restricciones sin trabajo son: interconexiones rígidas entre partículas, movimiento de deslizamiento sobre una superficie sin fricción y contacto rodante sin deslizamiento. ^{[ 23 ]}

Por ejemplo, en un sistema de poleas como la máquina de Atwood , las fuerzas internas sobre la cuerda y la polea de soporte no realizan trabajo sobre el sistema. Por lo tanto, solo es necesario calcular el trabajo correspondiente a las fuerzas gravitatorias que actúan sobre los cuerpos. Otro ejemplo es la fuerza centrípeta ejercida hacia adentro por una cuerda sobre una bola en movimiento circular uniforme lateralmente, que restringe el movimiento de la bola a un movimiento circular, limitando su alejamiento del centro del círculo. Esta fuerza no realiza trabajo porque es perpendicular a la velocidad de la bola.

La fuerza magnética sobre una partícula cargada es $F = q v \times B$ , donde $q$ es la carga, $v$ es la velocidad de la partícula y $B$ es el campo magnético . El resultado del producto vectorial siempre es perpendicular a ambos vectores originales, por lo que $F ⊥ v$ . El producto escalar de dos vectores perpendiculares siempre es cero, por lo que el trabajo $W = F \cdot v = 0$ , y la fuerza magnética no realiza trabajo. Puede cambiar la dirección del movimiento, pero nunca la velocidad.

Cálculo matemático

Para objetos en movimiento, la cantidad de trabajo/tiempo (potencia) se integra a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza. Por lo tanto, en cualquier instante, la tasa de trabajo realizado por una fuerza (medida en julios/segundo o vatios ) es el producto escalar de la fuerza (un vector) y el vector de velocidad del punto de aplicación. Este producto escalar de fuerza y velocidad se conoce como potencia instantánea . Del mismo modo que las velocidades se pueden integrar en el tiempo para obtener una distancia total, según el teorema fundamental del cálculo , el trabajo total a lo largo de una trayectoria es de manera similar la integral temporal de la potencia instantánea aplicada a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación. ^{[ 24 ]}

El trabajo es el resultado de una fuerza sobre un punto que sigue una curva $X$ , con una velocidad $v$ , en cada instante. La pequeña cantidad de trabajo $δW$ que ocurre durante un instante de tiempo $dt$ se calcula como $\delta W=\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt$ donde $F \cdot v$ es la potencia sobre el instante $dt$ . La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del punto produce el trabajo, $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\tfrac {d\mathbf {s} }{dt}}\,dt=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} ,$ donde C es la trayectoria desde x ( t ₁ ) hasta x ( t ₂ ). Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria de la partícula y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria .

Si la fuerza siempre está dirigida a lo largo de esta línea, y la magnitud de la fuerza es $F$ , entonces esta integral se simplifica a $W=\int _{C}F\,ds$ donde $s$ es el desplazamiento a lo largo de la línea. Si $F$ es constante, además de estar dirigida a lo largo de la línea, entonces la integral se simplifica aún más a $W=\int _{C}F\,ds=F\int _{C}ds=Fs$ donde s es el desplazamiento del punto a lo largo de la línea.

Este cálculo puede generalizarse para una fuerza constante que no está dirigida a lo largo de la línea seguida por la partícula. En este caso, el producto escalar $F \cdot d s = F cos θ ds$ , donde $θ$ es el ángulo entre el vector de fuerza y la dirección del movimiento, ^{[ 24 ]} es decir $W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} =Fs\cos \theta .$

Cuando un componente de fuerza es perpendicular al desplazamiento del objeto (como cuando un cuerpo se mueve en una trayectoria circular bajo una fuerza central ), no se realiza trabajo, ya que el coseno de 90° es cero. ^{[ 19 ]} Por lo tanto, la gravedad no puede realizar trabajo sobre un planeta con una órbita circular (esto es ideal, ya que todas las órbitas son ligeramente elípticas). Asimismo, no se realiza trabajo sobre un cuerpo que se mueve circularmente a velocidad constante mientras está sujeto a una fuerza mecánica, como cuando se mueve a velocidad constante en una centrífuga ideal sin fricción.

Trabajo realizado por una fuerza variable

Calcular el trabajo como "fuerza por segmento de trayectoria recta" solo se aplicaría en las circunstancias más simples, como se indicó anteriormente. Si la fuerza cambia, o si el cuerpo se mueve a lo largo de una trayectoria curva, posiblemente rotando y no necesariamente rígido, entonces solo la trayectoria del punto de aplicación de la fuerza es relevante para el trabajo realizado, y solo la componente de la fuerza paralela a la velocidad del punto de aplicación realiza trabajo (trabajo positivo cuando está en la misma dirección y negativo cuando está en la dirección opuesta a la velocidad). Esta componente de la fuerza se puede describir mediante la magnitud escalar llamada componente tangencial escalar ( $F cos(θ)$ , donde $θ$ es el ángulo entre la fuerza y la velocidad). Y entonces la definición más general de trabajo se puede formular de la siguiente manera:

El área bajo la curva da el trabajo realizado por $F (x)$ .

El trabajo realizado por una fuerza variable es la integral de línea de su componente tangencial escalar a lo largo de la trayectoria de su punto de aplicación.

Si la fuerza varía (por ejemplo, al comprimir un resorte), necesitamos usar cálculo para hallar el trabajo realizado. Si la fuerza, como variable de $x$ $,$ $está$ dada por $F (x)$ , entonces el trabajo realizado por la fuerza a lo largo del eje x desde $x₁$ hasta $x₂$ es:

W=\lim _{\Delta \mathbf {x} \to 0}\sum _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} \Delta \mathbf {x} =\int _{x_{1}}^{x_{2}}\mathbf {F(x)} d\mathbf {x} .

Por lo tanto, el trabajo realizado para una fuerza variable puede expresarse como una integral definida de fuerza sobre desplazamiento. ^{[ 25 ]}

Si el desplazamiento como variable de tiempo viene dado por $∆ x (t)$ , entonces el trabajo realizado por la fuerza variable desde $t 1$ hasta $t 2$ es:

W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} (t)\cdot \mathbf {v} (t)dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}P(t)dt.

Por lo tanto, el trabajo realizado para una fuerza variable puede expresarse como una integral definida de potencia en función del tiempo.

Par motor y rotación

Un par de fuerzas resulta de fuerzas iguales y opuestas que actúan sobre dos puntos diferentes de un cuerpo rígido. La suma (resultante) de estas fuerzas puede anularse, pero su efecto sobre el cuerpo es el par o torque T. El trabajo del torque se calcula como $\delta W=\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt,$ donde $T \cdot ω$ es la potencia sobre el instante $dt$ . La suma de estas pequeñas cantidades de trabajo sobre la trayectoria del cuerpo rígido produce el trabajo, $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt.$ Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria del cuerpo rígido con una velocidad angular $ω$ que varía con el tiempo y, por lo tanto, se dice que depende de la trayectoria .

Si el vector de velocidad angular mantiene una dirección constante, entonces toma la forma, ${\boldsymbol {\omega }}={\dot {\phi }}\mathbf {S},$ dónde $\phi$ es el ángulo de rotación alrededor del vector unitario constante $S.$ En este caso, el trabajo del torque se convierte en: $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} {\frac {d\phi }{dt}}dt=\int _{C}\mathbf {T} \cdot \mathbf {S} \,d\phi ,$ donde $C$ es la trayectoria desde $\phi (t_{1})$ a $\phi (t_{2})$ Esta integral depende de la trayectoria de rotación. $\phi (t)$ y, por lo tanto, depende de la trayectoria.

Si el par $\tau$ está alineado con el vector de velocidad angular de modo que, $\mathbf {T} =\tau \mathbf {S} ,$ y tanto el par como la velocidad angular son constantes, entonces el trabajo toma la forma, ^{[ 2 ]} $W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\tau {\dot {\phi }}\,dt=\tau (\phi _{2}-\phi _{1}).$

Este resultado se puede entender de forma más sencilla considerando que el par surge de una fuerza de magnitud constante $F$ , aplicada perpendicularmente a un brazo de palanca a una distancia $r$ como se muestra en la figura. Esta fuerza actuará a lo largo de la distancia a lo largo del arco circular. $l=s=r\phi$ , por lo tanto, el trabajo realizado es $W=Fs=Fr\phi .$ Introduzca el par $τ = Fr$ , para obtener $W=Fr\phi =\tau \phi ,$ como se presentó anteriormente.

Obsérvese que solo la componente del par en la dirección del vector de velocidad angular contribuye al trabajo.

Trabajo y energía potencial

El producto escalar de una fuerza $F$ y la velocidad $v$ de su punto de aplicación define la potencia aplicada a un sistema en un instante dado. La integración de esta potencia a lo largo de la trayectoria del punto de aplicación, $C = x (t)$ , define el trabajo realizado por la fuerza sobre el sistema.

Dependencia de trayectoria

Por lo tanto, el trabajo realizado por una fuerza $F$ sobre un objeto que se desplaza a lo largo de una curva $C$ viene dado por la integral de línea : $W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt,$ donde $dx (t)$ define la trayectoria $C$ y $v$ es la velocidad a lo largo de esta trayectoria. En general, esta integral requiere que la trayectoria a lo largo de la cual se define la velocidad, por lo que se dice que la evaluación del trabajo depende de la trayectoria.

La derivada temporal de la integral del trabajo produce la potencia instantánea, ${\frac {dW}{dt}}=P(t)=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$

Independencia de trayectoria

Si el trabajo realizado por una fuerza aplicada es independiente de la trayectoria, entonces el trabajo realizado por la fuerza, según el teorema del gradiente , define una función potencial que se evalúa al inicio y al final de la trayectoria del punto de aplicación. Esto significa que existe una función potencial $U (x)$ que puede evaluarse en los dos puntos $x (t1)$ y $x ($ $t2$ $) para obtener el trabajo sobre cualquier trayectoria entre estos dos puntos. Es tradición definir esta función con un signo negativo$ $,$ de modo que el trabajo positivo es una reducción en el potencial, es decir $,$ $W=\int _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =\int _{\mathbf {x} (t_{1})}^{\mathbf {x} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =U(\mathbf {x} (t_{1}))-U(\mathbf {x} (t_{2})).$

La función $U (x)$ se denomina energía potencial asociada a la fuerza aplicada. Se dice que la fuerza derivada de dicha función potencial es conservativa . Ejemplos de fuerzas que poseen energía potencial son la gravedad y las fuerzas elásticas.

En este caso, el gradiente de trabajo produce $\nabla W=-\nabla U=-\left({\frac {\partial U}{\partial x}},{\frac {\partial U}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial z}}\right)=\mathbf {F} ,$ y se dice que la fuerza F es "derivable de un potencial". ^{[ 26 ]}

Debido a que el potencial $U$ define una fuerza $F$ en cada punto $x$ del espacio, el conjunto de fuerzas se denomina campo de fuerza . La potencia aplicada a un cuerpo por un campo de fuerza se obtiene a partir del gradiente del trabajo, o potencial, en la dirección de la velocidad $V$ del cuerpo, es decir, $P(t)=-\nabla U\cdot \mathbf {v} =\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} .$

Trabajo por gravedad

La gravedad $F = mg$ realiza un trabajo $W = mgh$ a lo largo de cualquier trayectoria descendente.

En ausencia de otras fuerzas, la gravedad produce una aceleración constante hacia abajo en todo objeto en movimiento libre. Cerca de la superficie terrestre, la aceleración debida a la gravedad es $g$ $= 9,8 m\cdots⁻²$ y la fuerza gravitatoria sobre un objeto de masa m es $F g = m g$ . Es conveniente imaginar que esta fuerza gravitatoria se concentra en el centro de masa del objeto.

Si un objeto con peso $mg$ se desplaza hacia arriba o hacia abajo una distancia vertical $y 2 - y 1$ , el trabajo $W$ realizado sobre el objeto es:

$W=F_{g}(y_{2}-y_{1})=F_{g}\Delta y=mg\Delta y$

donde $F g$ es el peso ( libra-fuerza en unidades imperiales y newtons en unidades del SI), y $Δ y$ es el cambio de altura $y$ . Nótese que el trabajo realizado por la gravedad depende únicamente del movimiento vertical del objeto. La presencia de fricción no afecta el trabajo realizado sobre el objeto por su peso.

Gravedad en el espacio 3D

La fuerza de gravedad ejercida por una masa $M$ sobre otra masa $m$ viene dada por $\mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}=-{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} ,$

donde $r$ es el vector de posición de $M$ a $m$ y $r̂$ es el vector unitario en la dirección de $r$ .

$Sea m$ la masa que se mueve a la velocidad $v$ ; entonces el trabajo de la gravedad sobre esta masa cuando se mueve desde la posición $r (t 1)$ a $r (t 2)$ viene dado por $W=-\int _{\mathbf {r} (t_{1})}^{\mathbf {r} (t_{2})}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} =-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GMm}{r^{3}}}\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} \,dt.$

Nótese que la posición y la velocidad de la masa $m$ vienen dadas por $\mathbf {r} =r\mathbf {e} _{r},\qquad \mathbf {v} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t},$

donde $e r$ y $e t$ son los vectores unitarios radial y tangencial dirigidos con respecto al vector de $M$ a $m$ , y utilizamos el hecho de que $d\mathbf {e} _{r}/dt={\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}.$ Utilice esto para simplificar la fórmula del trabajo de gravedad a $W=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}(r\mathbf {e} _{r})\cdot \left({\dot {r}}\mathbf {e} _{r}+r{\dot {\theta }}\mathbf {e} _{t}\right)dt=-\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {GmM}{r^{3}}}r{\dot {r}}dt={\frac {GMm}{r(t_{2})}}-{\frac {GMm}{r(t_{1})}}.$

Este cálculo utiliza el hecho de que ${\frac {d}{dt}}r^{-1}=-r^{-2}{\dot {r}}=-{\frac {\dot {r}}{r^{2}}}.$

La función

$U=-{\frac {GMm}{r}}$

es la función potencial gravitatoria, también conocida como energía potencial gravitatoria . El signo negativo sigue la convención de que se obtiene trabajo a partir de una pérdida de energía potencial.

Trabajo por un resorte

Consideremos un resorte que ejerce una fuerza horizontal $F = (- kx, 0, 0)$ proporcional a su deflexión en la dirección x, independientemente de cómo se mueva el cuerpo. El trabajo de este resorte sobre un cuerpo que se mueve a lo largo del espacio con la curva $X (t) = (x (t), y (t), z (t))$ , se calcula utilizando su velocidad, $v = (v x, v y, v z)$ , para obtener $W=\int _{0}^{t}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=-\int _{0}^{t}kxv_{x}dt=-{\frac {1}{2}}kx^{2}.$ $Para mayor comodidad , supongamos$ $que$ el contacto con el resorte ocurre en $t = 0$ , entonces la integral del producto de la distancia $x$ y la velocidad en x, $xv x dt$ , sobre el tiempo $t$ es $1 / 2 x 2.$ El trabajo es el producto de la distancia por la fuerza del resorte, que también depende de la distancia; de ahí el resultado $x 2 .$

Trabajo mediante gas

La obra $W$ La acción realizada por un cuerpo de gas sobre su entorno es:

$W=\int _{a}^{b}P\,dV$

donde $P$ es la presión, $V$ es el volumen, y $a$ y $b$ son los volúmenes inicial y final.

Principio de trabajo y energía

El principio de trabajo y energía cinética (también conocido como principio de trabajo-energía ) establece que el trabajo realizado por todas las fuerzas que actúan sobre una partícula (el trabajo de la fuerza resultante) es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. ^{[ 27 ]} Es decir, el trabajo W realizado por la fuerza resultante sobre una partícula es igual al cambio en la energía cinética de la partícula. $E_{\text{k}}$ , ^{[ 2 ]}

$W=\Delta E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}$

dónde $v_{1}$ y $v_{2}$ son las velocidades de la partícula antes y después de que se realiza el trabajo, y $m$ es su masa .

La derivación del principio de trabajo-energía comienza con la segunda ley del movimiento de Newton y la fuerza resultante sobre una partícula. El cálculo del producto escalar de la fuerza por la velocidad de la partícula evalúa la potencia instantánea añadida al sistema. ^{[ 28 ]} (Las restricciones definen la dirección del movimiento de la partícula al asegurar que no haya componente de velocidad en la dirección de la fuerza de restricción. Esto también significa que las fuerzas de restricción no se suman a la potencia instantánea). La integral temporal de esta ecuación escalar produce trabajo a partir de la potencia instantánea y energía cinética a partir del producto escalar de la aceleración por la velocidad. El hecho de que el principio de trabajo-energía elimine las fuerzas de restricción subyace a la mecánica lagrangiana . ^{[ 29 ]}

Esta sección se centra en el principio de trabajo-energía aplicado a la dinámica de partículas. En sistemas más generales, el trabajo puede modificar la energía potencial de un dispositivo mecánico, la energía térmica de un sistema térmico o la energía eléctrica de un dispositivo eléctrico. El trabajo transfiere energía de un lugar a otro o de una forma a otra.

Derivación para una partícula que se mueve a lo largo de una línea recta.

En el caso de que la fuerza resultante $F$ sea constante tanto en magnitud como en dirección, y paralela a la velocidad de la partícula, la partícula se mueve con aceleración constante $a$ a lo largo de una línea recta. ^{[ 30 ]} La relación entre la fuerza neta y la aceleración viene dada por la ecuación $F = ma$ ( segunda ley de Newton ), y el desplazamiento de la partícula $s$ puede expresarse mediante la ecuación

$s={\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}$

lo cual se deduce de $v_{2}^{2}=v_{1}^{2}+2as$ (véase Ecuaciones de movimiento ).

El trabajo de la fuerza neta se calcula como el producto de su magnitud y el desplazamiento de la partícula. Sustituyendo las ecuaciones anteriores, se obtiene:

$W=Fs=mas=ma{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2a}}={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}$

Otra derivación: por $W=Fs=mas=m{\frac {v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}{2s}}s={\frac {1}{2}}mv_{2}^{2}-{\frac {1}{2}}mv_{1}^{2}=\Delta E_{\text{k}}$

En el caso general de movimiento rectilíneo, cuando la fuerza neta $F$ no es constante en magnitud, pero sí en dirección y paralela a la velocidad de la partícula, el trabajo debe integrarse a lo largo de la trayectoria de la partícula:

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}F\,v\,dt=\int _{t_{1}}^{t_{2}}ma\,v\,dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}v\,{\frac {dv}{dt}}\,dt=m\int _{v_{1}}^{v_{2}}v\,dv={\tfrac {1}{2}}m\left(v_{2}^{2}-v_{1}^{2}\right).$

Derivación general del principio trabajo-energía para una partícula

Para cualquier fuerza neta que actúe sobre una partícula que se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, se puede demostrar que su trabajo es igual al cambio en la energía cinética de la partícula mediante una simple derivación análoga a la ecuación anterior. Esto se conoce como el principio de trabajo-energía .

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}\,dt={\frac {m}{2}}\int _{v_{1}^{2}}^{v_{2}^{2}}dv^{2}={\frac {mv_{2}^{2}}{2}}-{\frac {mv_{1}^{2}}{2}}=\Delta E_{\text{k}}$

La identidad ${\textstyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {v} ={\frac {1}{2}}{\frac {dv^{2}}{dt}}}$ requiere algo de álgebra. De la identidad ${\textstyle v^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$ y definición ${\textstyle \mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}}$ sigue

${\frac {dv^{2}}{dt}}={\frac {d(\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} )}{dt}}={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} +\mathbf {v} \cdot {\frac {d\mathbf {v} }{dt}}=2{\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\cdot \mathbf {v} =2\mathbf {a} \cdot \mathbf {v} .$

La parte restante de la derivación anterior es simplemente cálculo, igual que en el caso rectilíneo precedente.

Derivación para una partícula en movimiento restringido

En dinámica de partículas, la fórmula que relaciona el trabajo aplicado a un sistema con su cambio de energía cinética se obtiene como la primera integral de la segunda ley del movimiento de Newton . Es útil observar que la fuerza resultante utilizada en las leyes de Newton se puede separar en fuerzas aplicadas a la partícula y fuerzas impuestas por las restricciones a su movimiento. Cabe destacar que el trabajo de una fuerza de restricción es cero; por lo tanto, en el principio de trabajo-energía solo se debe considerar el trabajo de las fuerzas aplicadas.

Para ver esto, consideremos una partícula P que sigue la trayectoria $X (t)$ con una fuerza $F$ actuando sobre ella. Aislamos la partícula de su entorno para exponer las fuerzas de restricción $R$ , entonces la Ley de Newton toma la forma

$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }},$

donde $m$ es la masa de la partícula.

Formulación vectorial

Nótese que n puntos sobre un vector indican su enésima derivada temporal . El producto escalar de cada lado de la ley de Newton con el vector velocidad produce

$\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}=m{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$

porque las fuerzas de restricción son perpendiculares a la velocidad de la partícula. Integre esta ecuación a lo largo de su trayectoria desde el punto $X (t 1)$ hasta el punto $X (t 2)$ para obtener

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt.$

El lado izquierdo de esta ecuación es el trabajo de la fuerza aplicada al actuar sobre la partícula a lo largo de la trayectoria desde el tiempo $t 1$ hasta el tiempo $t 2.$ Esto también se puede escribir como

$W=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt=\int _{\mathbf {X} (t_{1})}^{\mathbf {X} (t_{2})}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {X} .$

Esta integral se calcula a lo largo de la trayectoria $X (t)$ de la partícula y, por lo tanto, depende de la trayectoria.

El lado derecho de la primera integral de las ecuaciones de Newton se puede simplificar utilizando la siguiente identidad.

${\frac {1}{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})={\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }},$

(ver regla del producto para la derivación). Ahora se integra explícitamente para obtener el cambio en la energía cinética,

$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\ddot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}({\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }})dt={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{2})-{\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}(t_{1})={\frac {1}{2}}m\Delta \mathbf {v} ^{2},$

donde la energía cinética de la partícula se define por la cantidad escalar,

$K={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}={\frac {1}{2}}m{\mathbf {v} ^{2}}$

Componentes tangenciales y normales

Es útil descomponer los vectores de velocidad y aceleración en componentes tangenciales y normales a lo largo de la trayectoria $X (t)$ , de tal manera que

${\dot {\mathbf {X} }}=v\mathbf {T} \quad {\text{and}}\quad {\ddot {\mathbf {X} }}={\dot {v}}\mathbf {T} +v^{2}\kappa \mathbf {N} ,$

dónde

$v=|{\dot {\mathbf {X} }}|={\sqrt {{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}}}.$

Entonces, el producto escalar de la velocidad por la aceleración en la segunda ley de Newton toma la forma

$\Delta K=m\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\dot {v}}v\,dt={\frac {m}{2}}\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\frac {d}{dt}}v^{2}\,dt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}),$

donde la energía cinética de la partícula se define por la cantidad escalar,

$K={\frac {m}{2}}v^{2}={\frac {m}{2}}{\dot {\mathbf {X} }}\cdot {\dot {\mathbf {X} }}.$

El resultado es el principio de trabajo-energía para la dinámica de partículas,

$W=\Delta K.$

Esta deducción puede generalizarse a sistemas de cuerpos rígidos arbitrarios.

Moverse en línea recta (derrapar hasta detenerse)

Consideremos el caso de un vehículo que se mueve a lo largo de una trayectoria horizontal recta bajo la acción de una fuerza motriz y la gravedad que suman $F.$ Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera definen $R$ , y tenemos

$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.$

Para mayor comodidad, supongamos que la trayectoria es a lo largo del eje X, de modo que $X = (d, 0)$ y la velocidad es $V = (v, 0)$ , entonces $R \cdot V = 0$ , y $F \cdot V = F x v$ , donde F _x es la componente de F a lo largo del eje X, por lo que

$F_{x}v=m{\dot {v}}v.$

La integración de ambas partes produce $\int _{t_{1}}^{t_{2}}F_{x}vdt={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).$ Si $F x$ es constante a lo largo de la trayectoria, entonces la integral de la velocidad es distancia, por lo tanto

$F_{x}(d(t_{2})-d(t_{1}))={\frac {m}{2}}v^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}v^{2}(t_{1}).$

Como ejemplo, consideremos un automóvil que derrapa hasta detenerse, donde k es el coeficiente de fricción y w es el peso del automóvil. Entonces, la fuerza a lo largo de la trayectoria es $F x = - kw$ . La velocidad v del automóvil se puede determinar a partir de la longitud $s$ del derrape utilizando el principio de trabajo-energía,

$kws={\frac {w}{2g}}v^{2},\quad {\text{or}}\quad v={\sqrt {2ksg}}.$

Esta fórmula utiliza el hecho de que la masa del vehículo es $m = w / g$ .

Deslizarse por una superficie inclinada (carrera contra la gravedad)

Lotus tipo 119B de carreras de gravedad en la celebración del 60 aniversario de Lotus.

Consideremos el caso de un vehículo que parte del reposo y se desliza por una superficie inclinada (como una carretera de montaña). El principio de trabajo y energía ayuda a calcular la distancia mínima que recorre el vehículo para alcanzar una velocidad $V$ , por ejemplo, de 60 mph (27 m/s) . La resistencia a la rodadura y la resistencia del aire ralentizan el vehículo, por lo que la distancia real será mayor que si se despreciaran estas fuerzas.

$Sea X (t)$ la trayectoria del vehículo que sigue la carretera, la cual es una curva en el espacio tridimensional. La fuerza que actúa sobre el vehículo y lo empuja por la carretera es la fuerza constante de gravedad $F = (0, 0, w)$ , mientras que la fuerza que ejerce la carretera sobre el vehículo es la fuerza de restricción $R.$ La segunda ley de Newton produce:

$\mathbf {F} +\mathbf {R} =m{\ddot {\mathbf {X} }}.$

El producto escalar de esta ecuación con la velocidad, $V = (v x, v y, v z)$ , produce

$wv_{z}=m{\dot {V}}V,$

donde $V$ es la magnitud de $V.$ Las fuerzas de restricción entre el vehículo y la carretera se cancelan en esta ecuación porque $R \cdot V = 0$ , lo que significa que no realizan trabajo. Integramos ambos lados para obtener

$\int _{t_{1}}^{t_{2}}wv_{z}dt={\frac {m}{2}}V^{2}(t_{2})-{\frac {m}{2}}V^{2}(t_{1}).$

La fuerza de peso $w$ es constante a lo largo de la trayectoria y la integral de la velocidad vertical es la distancia vertical; por lo tanto,

$w\Delta z={\frac {m}{2}}V^{2}.$

Recordemos que $V (t 1) = 0$ . Nótese que este resultado no depende de la forma de la carretera que sigue el vehículo.

Para determinar la distancia a lo largo de la carretera, supongamos que la pendiente descendente es del 6%, lo que corresponde a una carretera empinada. Esto significa que la altitud disminuye 6 pies por cada 100 pies recorridos; para ángulos tan pequeños, las funciones seno y tangente son aproximadamente iguales. Por lo tanto, la distancia $s$ en pies cuesta abajo en una pendiente del 6% para alcanzar la velocidad $V$ es al menos

$s={\frac {\Delta z}{0.06}}=8.3{\frac {V^{2}}{g}},\quad {\text{or}}\quad s=8.3{\frac {88^{2}}{32.2}}\approx 2000\mathrm {ft} .$

Esta fórmula utiliza el hecho de que el peso del vehículo es $w = mg$ .

Trabajo de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido

El trabajo de las fuerzas que actúan en varios puntos de un cuerpo rígido se puede calcular a partir del trabajo de una fuerza resultante y un momento de torsión . Para ver esto, supongamos que las fuerzas $F 1, F 2, ..., F n$ actúan sobre los puntos $X 1, X 2, ..., X n$ en un cuerpo rígido.

Las trayectorias de $X i, i = 1, ..., n$ se definen por el movimiento del cuerpo rígido. Este movimiento viene dado por el conjunto de rotaciones $[A (t)]$ y la trayectoria $d (t)$ de un punto de referencia en el cuerpo. Sean las coordenadas $x i i = 1, ..., n$ las que definen estos puntos en el sistema de referencia $M$ del cuerpo rígido en movimiento , de modo que las trayectorias trazadas en el sistema de referencia fijo $F$ vienen dadas por

$\mathbf {X} _{i}(t)=[A(t)]\mathbf {x} _{i}+\mathbf {d} (t)\quad i=1,\ldots ,n.$

La velocidad de los puntos $X i$ a lo largo de sus trayectorias es

$\mathbf {V} _{i}={\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }},$

donde $ω$ es el vector de velocidad angular obtenido de la matriz antisimétrica.

$[\Omega ]={\dot {A}}A^{\mathsf {T}},$

conocida como matriz de velocidad angular.

La pequeña cantidad de trabajo realizado por las fuerzas sobre los pequeños desplazamientos $δ r i$ se puede determinar aproximando el desplazamiento por $δ r = v δt$ por lo tanto

$\delta W=\mathbf {F} _{1}\cdot \mathbf {V} _{1}\delta t+\mathbf {F} _{2}\cdot \mathbf {V} _{2}\delta t+\ldots +\mathbf {F} _{n}\cdot \mathbf {V} _{n}\delta t$

o

$\delta W=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\cdot ({\boldsymbol {\omega }}\times (\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} )+{\dot {\mathbf {d} }})\delta t.$

Esta fórmula se puede reescribir para obtener

$\delta W=\left(\sum _{i=1}^{n}\mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\dot {\mathbf {d} }}\delta t+\left(\sum _{i=1}^{n}\left(\mathbf {X} _{i}-\mathbf {d} \right)\times \mathbf {F} _{i}\right)\cdot {\boldsymbol {\omega }}\delta t=\left(\mathbf {F} \cdot {\dot {\mathbf {d} }}+\mathbf {T} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\right)\delta t,$

donde $F$ y $T$ son la fuerza resultante y el par aplicado en el punto de referencia $d$ del marco móvil $M$ en el cuerpo rígido.

Referencias

↑ NCERT (2020). "Libro de Física" (PDF) . ncert.nic.in . Consultado el 24 de noviembre de 2021 .
1 2 3 Hugh D. Young y Roger A. Freedman (2008). Física universitaria (12.ª ed.). Addison-Wesley. pág. 329. ISBN 978-0-321-50130-1.
1 2 Krebs, Robert E. (2004). Experimentos, invenciones y descubrimientos revolucionarios de la Edad Media . Greenwood. pág. 163. ISBN 978-0-313-32433-8. Consultado el 21 de mayo de 2008 .
↑ Stephen, Donald; Cardwell, Lowell (2001). Ruedas, relojes y cohetes: una historia de la tecnología . EE. UU.: WW Norton & Company. págs. 85–87 . ISBN 978-0-393-32175-3.
↑ Mendelson, Kenneth S. (13 de febrero de 2003). "Significados físicos y coloquiales del término 'trabajo'"" . American Journal of Physics . 71 (3): 279– 281. Bibcode : 2003AmJPh..71..279M . doi : 10.1119/1.1522707 . ISSN 0002-9505 .
↑ Descartes, R. (2013) [Carta a Huygens, 5 de octubre de 1637]. Bennett, J. (ed.). Correspondencia selecta de Descartes (PDF) . pág. 50.
↑ Iltis, C. (1971). "Leibniz y la controversia de la vis viva" (PDF) . Isis . 62 (1): 21–35 (específicamente pág. 24). doi : 10.1086/350705 . S2CID 143652761 .
↑ Smeaton, John (1759). "Investigación experimental sobre las fuerzas naturales del agua y el viento para hacer girar molinos y otras máquinas que dependen de un movimiento circular" . Philosophical Transactions of the Royal Society . 51 : 105. doi : 10.1098/rstl.1759.0019 . S2CID 186213498 .
↑ Coriolis, Gustave (1829). Cálculo del efecto de las máquinas, o consideraciones sobre el uso de las máquinas y su evaluación . París: Carilian-Goeury, Librería.
^ Poncelet, Jean-Victor (1839). Introducción a la mecánica industrial, física o experimental .
↑ Grattan-Guinness, Ivor (1984). "Trabajo para los trabajadores: Avances en mecánica de la ingeniería e instrucción en Francia, 1800–1830" . Annals of Science . 41 (1): 1– 33. doi : 10.1080/00033798400200101 . Recuperado el 21 de diciembre de 2024 .
↑ Dugas, R. (1955). Historia de la mecánica . Suiza: Éditions du Griffon. pág. 128.
^ Poncelet, Jean Víctor (1826). Curso de mecánica aplicado aux máquinas .
↑ Coriolis, Gustave (1829). Cálculo del efecto de las máquinas, o consideraciones sobre el uso de las máquinas y su evaluación . Carilian-Goeury, Libraire (París).
↑ "Resolución 2 (1946)" . BIPM . Consultado el 7 de marzo de 2025 .
↑ «Unidades con nombres y símbolos especiales; unidades que incorporan nombres y símbolos especiales» . Sistema Internacional de Unidades (SI) (8.ª ed.). Oficina Internacional de Pesas y Medidas . 2006. Archivado del original el 20 de abril de 2013. Consultado el 27 de octubre de 2012 .
↑ Shortley, G., Williams, D. Elementos de física: Para estudiantes de ciencias e ingeniería . ISBN 978-0-13-268375-3.
1 2 McGrath, Kimberley A., ed. (5 de mayo de 2010). El mundo de la física (1.ª ed.). Detroit: Gale. Trabajo y energía potencial. ISBN 978-0-7876-3651-7.
1 2 Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2011). Fundamentos de física (9.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 154. ISBN 9780470469118.
↑ Goldstein, Herbert (2002). Mecánica clásica (3.ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9OCLC 47056311
↑ Rogalski, Mircea S. (2018). Física universitaria avanzada (2.ª ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781351991988.
1 2 "Las Lecciones de Física de Feynman Vol. I Cap. 14: Trabajo y Energía Potencial (conclusión)" . feynmanlectures.caltech.edu .
↑ Greenwood, Donald T. (1997). Dinámica clásica . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 9780486138794.
1 2 Resnick, Robert, Halliday, David (1966), Física , Sección 1–3 (Vol. I y II, Edición combinada), Wiley International Edition, Número de catálogo de la Biblioteca del Congreso 66-11527
↑ "MindTap - Cengage Learning" . ng.cengage.com . Consultado el 16 de octubre de 2023 .
↑ Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . University Science Books. ISBN 978-1-891389-22-1.
↑ Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010). Mecánica de la ingeniería: Dinámica – Versión SI . Vol. 2 (3.ª ed.). Cengage Learning. pág. 654. ISBN 9780495295631.
↑ Paul, Burton (1979). Cinemática y dinámica de maquinaria plana . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-516062-6.
↑ Whittaker, ET (1904). Un tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Cambridge University Press.
↑ "Principio de trabajo y energía" . Western Washington University. Archivado del original el 30 de mayo de 2012. Consultado el 6 de agosto de 2012 .

Bibliografía

Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Física para científicos e ingenieros (6.ª ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-40842-7.
Tipler, Paul (1991). Física para científicos e ingenieros: Mecánica (3.ª ed., edición ampliada ). WH Freeman. ISBN 0-87901-432-6.

Enlaces externos

Principio de trabajo y energía

[:1-1] NCERT (2020). "Libro de Física" (PDF) . ncert.nic.in . Consultado el 24 de noviembre de 2021 .

[Young-2] 1 2 3 Hugh D. Young y Roger A. Freedman (2008). Física universitaria (12.ª ed.). Addison-Wesley. pág. 329. ISBN 978-0-321-50130-1.

[Krebs-3] 1 2 Krebs, Robert E. (2004). Experimentos, invenciones y descubrimientos revolucionarios de la Edad Media . Greenwood. pág. 163. ISBN 978-0-313-32433-8. Consultado el 21 de mayo de 2008 .

[Stephen-4] Stephen, Donald; Cardwell, Lowell (2001). Ruedas, relojes y cohetes: una historia de la tecnología . EE. UU.: WW Norton & Company. págs. 85–87 . ISBN 978-0-393-32175-3.

[5] Mendelson, Kenneth S. (13 de febrero de 2003). "Significados físicos y coloquiales del término 'trabajo'"" . American Journal of Physics . 71 (3): 279– 281. Bibcode : 2003AmJPh..71..279M . doi : 10.1119/1.1522707 . ISSN 0002-9505 .

[6] Descartes, R. (2013) [Carta a Huygens, 5 de octubre de 1637]. Bennett, J. (ed.). Correspondencia selecta de Descartes (PDF) . pág. 50.

[7] Iltis, C. (1971). "Leibniz y la controversia de la vis viva" (PDF) . Isis . 62 (1): 21–35 (específicamente pág. 24). doi : 10.1086/350705 . S2CID 143652761 .

[8] Smeaton, John (1759). "Investigación experimental sobre las fuerzas naturales del agua y el viento para hacer girar molinos y otras máquinas que dependen de un movimiento circular" . Philosophical Transactions of the Royal Society . 51 : 105. doi : 10.1098/rstl.1759.0019 . S2CID 186213498 .

[9] Coriolis, Gustave (1829). Cálculo del efecto de las máquinas, o consideraciones sobre el uso de las máquinas y su evaluación . París: Carilian-Goeury, Librería.

[10] Poncelet, Jean-Victor (1839). Introducción a la mecánica industrial, física o experimental .

[11] Grattan-Guinness, Ivor (1984). "Trabajo para los trabajadores: Avances en mecánica de la ingeniería e instrucción en Francia, 1800–1830" . Annals of Science . 41 (1): 1– 33. doi : 10.1080/00033798400200101 . Recuperado el 21 de diciembre de 2024 .

[12] Dugas, R. (1955). Historia de la mecánica . Suiza: Éditions du Griffon. pág. 128.

[13] Poncelet, Jean Víctor (1826). Curso de mecánica aplicado aux máquinas .

[14] Coriolis, Gustave (1829). Cálculo del efecto de las máquinas, o consideraciones sobre el uso de las máquinas y su evaluación . Carilian-Goeury, Libraire (París).

[15] "Resolución 2 (1946)" . BIPM . Consultado el 7 de marzo de 2025 .

[16] «Unidades con nombres y símbolos especiales; unidades que incorporan nombres y símbolos especiales» . Sistema Internacional de Unidades (SI) (8.ª ed.). Oficina Internacional de Pesas y Medidas . 2006. Archivado del original el 20 de abril de 2013. Consultado el 27 de octubre de 2012 .

[17] Shortley, G., Williams, D. Elementos de física: Para estudiantes de ciencias e ingeniería . ISBN 978-0-13-268375-3.

[:0-18] 1 2 McGrath, Kimberley A., ed. (5 de mayo de 2010). El mundo de la física (1.ª ed.). Detroit: Gale. Trabajo y energía potencial. ISBN 978-0-7876-3651-7.

[walker-19] 1 2 Walker, Jearl; Halliday, David; Resnick, Robert (2011). Fundamentos de física (9.ª ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 154. ISBN 9780470469118.

[goldstein-20] Goldstein, Herbert (2002). Mecánica clásica (3.ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. ISBN 978-0-201-65702-9OCLC 47056311

[21] Rogalski, Mircea S. (2018). Física universitaria avanzada (2.ª ed.). Boca Raton: Chapman and Hall/CRC. ISBN 9781351991988.

[Feynman-22] 1 2 "Las Lecciones de Física de Feynman Vol. I Cap. 14: Trabajo y Energía Potencial (conclusión)" . feynmanlectures.caltech.edu .

[23] Greenwood, Donald T. (1997). Dinámica clásica . Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 9780486138794.

[Resnick-24] 1 2 Resnick, Robert, Halliday, David (1966), Física , Sección 1–3 (Vol. I y II, Edición combinada), Wiley International Edition, Número de catálogo de la Biblioteca del Congreso 66-11527

[25] "MindTap - Cengage Learning" . ng.cengage.com . Consultado el 16 de octubre de 2023 .

[26] Taylor, John R. (2005). Mecánica clásica . University Science Books. ISBN 978-1-891389-22-1.

[27] Pytel, Andrew; Kiusalaas, Jaan (2010). Mecánica de la ingeniería: Dinámica – Versión SI . Vol. 2 (3.ª ed.). Cengage Learning. pág. 654. ISBN 9780495295631.

[28] Paul, Burton (1979). Cinemática y dinámica de maquinaria plana . Prentice-Hall. ISBN 978-0-13-516062-6.

[29] Whittaker, ET (1904). Un tratado sobre la dinámica analítica de partículas y cuerpos rígidos . Cambridge University Press.

[30] "Principio de trabajo y energía" . Western Washington University. Archivado del original el 30 de mayo de 2012. Consultado el 6 de agosto de 2012 .

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]