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Articulo de referencia

Problema de Yamabe

El problema de Yamabe se refiere a una conjetura en el campo matemático de la geometría diferencial , que fue resuelta en la década de 1980. Es una afirmación sobre la curvatura...

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El problema de Yamabe se refiere a una conjetura en el campo matemático de la geometría diferencial , que fue resuelta en la década de 1980. Es una afirmación sobre la curvatura escalar de las variedades riemannianas :

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana cerrada y suave. Entonces existe una función positiva y suave f en M tal que la métrica riemanniana fg tiene curvatura escalar constante.

Al calcular una fórmula que relaciona la curvatura escalar de fg con la de g , esta afirmación se puede reformular de la siguiente forma:

Sea ( M , g ) una variedad riemanniana suave y cerrada. Entonces existe una función φ positiva y suave en M , y un número c , tal que

4(norte−1)norte−2Δgramoφ+Rgramoφ+doφ(norte+2)/(norte−2)=0.{\displaystyle {\frac {4(n-1)}{n-2}}\Delta ^{g}\varphi +R^{g}\varphi +c\varphi ^{(n+2)/(n-2)}=0.}

Aquí n denota la dimensión de M , R g denota la curvatura escalar de g , y ∆ g denota el operador de Laplace-Beltrami de g .

El matemático Hidehiko Yamabe , en su artículo Yamabe (1960) , formuló las afirmaciones anteriores como teoremas y proporcionó una demostración; sin embargo, Trudinger (1968) descubrió un error en su demostración. El problema de determinar si dichas afirmaciones son verdaderas o falsas se conoció como el problema de Yamabe. El trabajo conjunto de Yamabe, Trudinger, Thierry Aubin y Richard Schoen ofreció una solución afirmativa al problema en 1984.

Actualmente se considera un problema clásico del análisis geométrico , cuya demostración requiere nuevos métodos en los campos de la geometría diferencial y las ecuaciones diferenciales parciales . Un punto decisivo en la resolución final del problema por parte de Schoen fue la aplicación del teorema de la energía positiva de la relatividad general , un teorema matemático puramente geométrico-diferencial demostrado por primera vez (de forma provisional) en 1979 por Schoen y Shing-Tung Yau .

Trabajos más recientes de Simon Brendle , Marcus Khuri, Fernando Codá Marques y Schoen abordan el conjunto de todas las funciones f positivas y suaves tales que, para una variedad riemanniana dada ( M , g ) , la métrica fg tiene curvatura escalar constante. Además, el problema de Yamabe, planteado en contextos similares, como en el caso de variedades riemannianas completas no compactas, aún no se comprende del todo.

El problema de Yamabe en casos especiales

Aquí nos referimos a una "solución del problema de Yamabe" en una variedad riemanniana.(METRO,gramo¯){\displaystyle (M,{\overline {g}})}como una métrica riemanniana g en M para la cual existe una función suave positivaφ:METRO→R,{\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}congramo=φ−2gramo¯.{\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}.}

En una variedad de Einstein cerrada

Dejar(METRO,gramo¯){\displaystyle (M,{\overline {g}})}Sea una variedad riemanniana suave. Consideremos una función suave positiva.φ:METRO→R,{\displaystyle \varphi :M\to \mathbb {R} ,}de modo quegramo=φ−2gramo¯{\displaystyle g=\varphi ^{-2}{\overline {g}}}es un elemento arbitrario de la clase conforme suave degramo¯.{\displaystyle {\overline {g}}.}Un cálculo estándar muestra

R¯ij−1norteR¯gramo¯ij=Rij−1norteRgramoij+norte−2φ(∇i∇jφ+1nortegramoijΔφ).{\displaystyle {\overline {R}}_{ij}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}}_{ij}=R_{ij}-{\frac {1}{n}}Rg_{ij}+{\frac {n-2}{\varphi }}{\Big (}\nabla _{i}\nabla _{j}\varphi +{\frac {1}{n}}g_{ij}\Delta \varphi {\Grande )}.}

Tomando el producto interno g conφ(Ric−1norteRgramo){\displaystyle \textstyle \varphi (\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg)}resultados en

φ⟨Ric¯−1norteR¯gramo¯,Ric−1norteRgramo⟩gramo=φ|Ric−1norteRgramo|gramo2+(norte−2)(⟨Ric,Hess⁡φ⟩gramo−1norteRΔφ).{\displaystyle \varphi \left\langle {\overline {\operatorname {Ric} }}-{\frac {1}{n}}{\overline {R}}{\overline {g}},\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg\right\rangle _{g}=\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}_{g}^{2}+(n-2){\Big (}{\big \langle }\operatorname {Ric} ,\operatorname {Hess} \varphi {\big \rangle }_{g}-{\frac {1}{n}}R\Delta \varphi {\Big )}.}

Sigramo¯{\displaystyle {\overline {g}}}Se supone que es Einstein, entonces el lado izquierdo desaparece.METRO{\displaystyle M}Si se supone que es cerrado, entonces se puede realizar una integración por partes , recordando la identidad de Bianchi.div⁡Ric=12∇R,{\displaystyle \textstyle \operatorname {div} \operatorname {Ric} ={\frac {1}{2}}\nabla R,}ver

∫METROφ|Ric−1norteRgramo|2dμgramo=(norte−2)(12−1norte)∫METRO⟨∇R,∇φ⟩dμgramo.{\displaystyle \int _{M}\varphi {\Big |}\operatorname {Ric} -{\frac {1}{n}}Rg{\Big |}^{2}\,d\mu _{g}=(n-2){\Big (}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{n}}{\Big )}\int _{M}\langle \nabla R,\nabla \varphi \rangle \,d\mu _{g}.}

Si g tiene curvatura escalar constante, entonces el lado derecho se anula. La consiguiente anulación del lado izquierdo demuestra el siguiente hecho, debido a Obata (1971):

Toda solución al problema de Yamabe en una variedad de Einstein cerrada es una solución de Einstein.

Obata demostró entonces que, salvo en el caso de la esfera estándar con su métrica de curvatura seccional constante habitual, las únicas métricas de curvatura escalar constante en la clase conforme de una métrica de Einstein (en una variedad cerrada ) son múltiplos constantes de la métrica dada. La demostración procede mostrando que el gradiente del factor conforme es en realidad un campo de Killing conforme. Si el factor conforme no es constante, siguiendo las líneas de flujo de este campo gradiente, partiendo de un mínimo del factor conforme, se puede demostrar que la variedad está relacionada conformemente con el cilindro.Snorte−1×R{\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} }y por lo tanto tiene una curvatura de Weyl evanescente .

El caso no compacto

Una cuestión estrechamente relacionada es el llamado "problema de Yamabe no compacto", que plantea: ¿Es cierto que en toda variedad riemanniana completa y lisa ( M , g ) que no es compacta, existe una métrica conforme a g , con curvatura escalar constante y completa? La respuesta es no, debido a los contraejemplos presentados por Jin (1988) . Se conocen varios criterios adicionales para demostrar la existencia de una solución al problema de Yamabe en una variedad no compacta (por ejemplo, Aviles y McOwen (1988) ); sin embargo, comprender completamente cuándo se puede resolver el problema en el caso no compacto sigue siendo objeto de investigación.

Véase también

Referencias

Artículos de investigación

  • Aubin, Thierry (1976), "Équations différentielles non linéaires et problème de Yamabe concernant la courbure scalaire", J. Math. Pures Appl. , 55 : 269-296​
  • Aviles, P.; McOwen, RC (1988), "Deformación conforme a curvatura escalar negativa constante en variedades riemannianas no compactas", J. Differ. Geom. , 27 (2): 225– 239, doi : 10.4310/jdg/1214441781 , MR 0925121 
  • Jin, Zhi Ren (1988), "Un contraejemplo al problema de Yamabe para variedades no compactas completas", Ecuaciones diferenciales parciales (Tianjin, 1986) , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1306, Berlín: Springer, pp. 93–101 , doi : 10.1007/BFb0082927 , ISBN  978-3-540-19097-4, MR 1032773 
  • Lee, John M.; Parker, Thomas H. (1987), "El problema de Yamabe" , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 17 : 37–81 , doi : 10.1090/s0273-0979-1987-15514-5.
  • Obata, Morio (1971), "Las conjeturas sobre transformaciones conformes de variedades riemannianas", Journal of Differential Geometry , 6 (2): 247– 258, doi : 10.4310/jdg/1214430407 , MR 0303464 
  • Schoen, Richard (1984), "Deformación conforme de una métrica riemanniana a curvatura escalar constante", J. Differ. Geom. , 20 (2): 479– 495, doi : 10.4310/jdg/1214439291
  • Trudinger, Neil S. (1968), "Observaciones sobre la deformación conforme de estructuras riemannianas en variedades compactas" , Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3) , 22 : 265–274 , MR 0240748 
  • Yamabe, Hidehiko (1960), "Sobre una deformación de estructuras riemannianas en variedades compactas" , Osaka Journal of Mathematics , 12 : 21–37 , ISSN 0030-6126 , MR 0125546  

Libros de texto

  • Aubin, Thierry. Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana. Monografías Springer en Matemáticas. Springer-Verlag , Berlín, 1998. xviii+395 pp. ISBN 3-540-60752-8
  • Schoen, R.; Yau, S.-T. Lecciones de geometría diferencial. Apuntes de clase preparados por Wei Yue Ding, Kung Ching Chang [Gong Qing Zhang], Jia Qing Zhong y Yi Chao Xu. Traducido del chino por Ding y SY Cheng. Con un prefacio traducido del chino por Kaising Tso. Actas de congresos y apuntes de clase en geometría y topología, I. International Press, Cambridge, MA, 1994. v+235 pp. ISBN 1-57146-012-8
  • Struwe, Michael. Métodos variacionales. Aplicaciones a ecuaciones diferenciales parciales no lineales y sistemas hamiltonianos. Cuarta edición. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. Una serie de estudios modernos en matemáticas [Resultados en Matemáticas y Áreas Afines. 3.ª serie. Serie de Estudios Modernos en Matemáticas, 34. Springer-Verlag, Berlín, 2008. xx+302 págs. ISBN 978-3-540-74012-4