Teoría de Yang-Mills

La teoría de Yang-Mills es una teoría cuántica de campos para la interacción nuclear, desarrollada por Chen Ning Yang y Robert Mills en 1953, y también un término genérico para la clase de teorías similares. Esta teoría de gauge se basa en un grupo unitario especial SU( n ) , o, más generalmente, en cualquier grupo de Lie compacto . La teoría de Yang-Mills busca describir el comportamiento de las partículas elementales utilizando estos grupos de Lie no abelianos y constituye el núcleo de la unificación de la fuerza electromagnética y las fuerzas débiles (es decir, U(1) × SU(2) ), así como de la cromodinámica cuántica , la teoría de la fuerza fuerte (basada en SU(3) ). Por lo tanto, forma la base de la comprensión del Modelo Estándar de la física de partículas.

El coeficiente d x ¹ ⊗ σ ₃ de un instantón BPST en la sección ( x ¹ , x ² ) de ℝ ⁴ donde σ ₃ es la tercera matriz de Pauli (arriba a la izquierda). El coeficiente d x ² ⊗ σ ₃ (arriba a la derecha). Estos coeficientes determinan la restricción del instantón BPST A con g =2, ρ =1, z =0 a esta sección. La intensidad de campo correspondiente centrada alrededor de z =0 (abajo a la izquierda). Una representación visual de la intensidad de campo de un instantón BPST con centro z en la compactificación S ⁴ de ℝ ⁴ (abajo a la derecha). El instantón BPST es una solución clásica de instantón a las ecuaciones de Yang-Mills en ℝ ⁴ .

Las teorías de Yang-Mills son ejemplos especiales de teorías de gauge con un grupo de simetría no abeliano dado por el lagrangiano.

${\displaystyle \ {\mathcal {L}}_{\mathrm {gf} }=-{\tfrac {1}{2}}\operatorname {tr} (F^{2})=-{\tfrac {1}{4}}F^{a\mu \nu }F_{\mu \nu }^{a}\ }$

con los generadores${\displaystyle \ T^{a}\ }$del álgebra de Lie , indexada por a , correspondiente a las cantidades F (la forma de curvatura o fuerza de campo) que satisfacen

${\displaystyle \ \operatorname {tr} \left(T^{a}\ T^{b}\right)={\tfrac {1}{2}}\delta ^{ab}\ ,\qquad \left[T^{a},\ T^{b}\right]=i\ f^{abc}\ T^{c}~.}$

Aquí, las f ^abc son constantes de estructura del álgebra de Lie (totalmente antisimétrica si los generadores del álgebra de Lie están normalizados de tal manera que${\displaystyle \ \operatorname {tr} (T^{a}\ T^{b})\ }$es proporcional a${\displaystyle \ \delta ^{ab}\ }$), la derivada covariante se define como

${\displaystyle \ D_{\mu }=I\ \partial _{\mu }-i\ g\ T^{a}\ A_{\mu }^{a}\ ,}$

I es la matriz identidad (que coincide con el tamaño de los generadores),${\displaystyle \ A_{\mu }^{a}\ }$es el potencial vectorial y g es la constante de acoplamiento . En cuatro dimensiones, la constante de acoplamiento g es un número puro y para un grupo SU( n ) se tiene${\displaystyle \ a,b,c=1\ldots n^{2}-1~.}$

La relación

${\displaystyle \ F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+g\ f^{abc}\ A_{\mu }^{b}\ A_{\nu }^{c}\ }$

puede derivarse mediante el conmutador

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },D_{\nu }\right]=-i\ g\ T^{a}\ F_{\mu \nu }^{a}~.}$

El campo posee la propiedad de autointeracción y las ecuaciones de movimiento que se obtienen se denominan semilineales, ya que las no linealidades presentan tanto derivadas como no derivadas. Esto significa que esta teoría solo puede abordarse mediante la teoría de perturbaciones con pequeñas no linealidades.

Tenga en cuenta que la transición entre los componentes de vector o tensor "superior" ("contravariante") e "inferior" ("covariante") es trivial para los índices (por ejemplo${\displaystyle \ f^{abc}=f_{abc}\ }$), whereas for μ and ν it is nontrivial, corresponding e.g. to the usual Lorentz signature, ${\displaystyle \ \eta _{\mu \nu }={\rm {diag}}(+---)~.}$

From the given Lagrangian one can derive the equations of motion given by

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{\mu b}\ F_{\mu \nu }^{c}=0~.}$

Putting ${\displaystyle \ F_{\mu \nu }=T^{a}F_{\mu \nu }^{a}\ ,}$ these can be rewritten as

${\displaystyle \ \left(D^{\mu }F_{\mu \nu }\right)^{a}=0~.}$

A Bianchi identity holds

${\displaystyle \ \left(D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }\right)^{a}+\left(D_{\kappa }\ F_{\mu \nu }\right)^{a}+\left(D_{\nu }\ F_{\kappa \mu }\right)^{a}=0\ }$

which is equivalent to the Jacobi identity

${\displaystyle \ \left[D_{\mu },\left[D_{\nu },D_{\kappa }\right]\right]+\left[D_{\kappa },\left[D_{\mu },D_{\nu }\right]\right]+\left[D_{\nu },\left[D_{\kappa },D_{\mu }\right]\right]=0\ }$

since ${\displaystyle \ \left[D_{\mu },F_{\nu \kappa }^{a}\right]=D_{\mu }\ F_{\nu \kappa }^{a}~.}$ Define the dual strength tensor ${\displaystyle \ {\tilde {F}}^{\mu \nu }={\tfrac {1}{2}}\varepsilon ^{\mu \nu \rho \sigma }F_{\rho \sigma }\ ,}$ then the Bianchi identity can be rewritten as

${\displaystyle \ D_{\mu }{\tilde {F}}^{\mu \nu }=0~.}$

A source ${\displaystyle \ J_{\mu }^{a}\ }$ enters into the equations of motion as

${\displaystyle \ \partial ^{\mu }F_{\mu \nu }^{a}+g\ f^{abc}\ A^{b\mu }\ F_{\mu \nu }^{c}=-J_{\nu }^{a}~.}$

Note that the currents must properly change under gauge group transformations.

We give here some comments about the physical dimensions of the coupling. In D dimensions, the field scales as ${\displaystyle \ \left[A\right]=\left[L^{\left({\tfrac {2-D}{2}}\right)}\right]\ }$ and so the coupling must scale as ${\displaystyle \ \left[g^{2}\right]=\left[L^{\left(D-4\right)}\right]~.}$ This implies that Yang–Mills theory is not renormalizable for dimensions greater than four. Furthermore, for D = 4 , the coupling is dimensionless and both the field and the square of the coupling have the same dimensions of the field and the coupling of a massless quartic scalar field theory. So, these theories share the scale invariance at the classical level.

A method of quantizing the Yang–Mills theory is by functional methods, i.e. path integrals. One introduces a generating functional for n-point functions as

${\displaystyle \ Z[j]=\int [\mathrm {d} A]\ \exp \left[-{\tfrac {i}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)+i\ \int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)\ A^{a\mu }(x)\right]\ ,}$

but this integral has no meaning as it is because the potential vector can be arbitrarily chosen due to the gauge freedom. This problem was already known for quantum electrodynamics but here becomes more severe due to non-abelian properties of the gauge group. A way out has been given by Ludvig Faddeev and Victor Popov with the introduction of a ghost field (see Faddeev–Popov ghost) that has the property of being unphysical since, although it agrees with Fermi–Dirac statistics, it is a complex scalar field, which violates the spin–statistics theorem. So, we can write the generating functional as

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\int [\mathrm {d} \ A][\mathrm {d} \ {\bar {c}}][\mathrm {d} \ c]\ \exp {\Bigl \{}i\ S_{F}\ \left[\partial A,A\right]+i\ S_{gf}\left[\partial A\right]+i\ S_{g}\left[\partial c,\partial {\bar {c}},c,{\bar {c}},A\right]{\Bigr \}}\\&\exp \left\{i\int \mathrm {d} ^{4}x\ j_{\mu }^{a}(x)A^{a\mu }(x)+i\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left[{\bar {c}}^{a}(x)\ \varepsilon ^{a}(x)+{\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ c^{a}(x)\right]\right\}\end{aligned}}}$

being

${\displaystyle S_{F}=-{\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \operatorname {tr} \left(F^{\mu \nu }\ F_{\mu \nu }\right)\ }$

for the field,

${\displaystyle S_{gf}=-{\frac {1}{2\xi }}\int \mathrm {d} ^{4}x\ (\partial \cdot A)^{2}\ }$

for the gauge fixing and

${\displaystyle \ S_{g}=-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \left({\bar {c}}^{a}\ \partial _{\mu }\partial ^{\mu }c^{a}+g\ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }\ A^{b\mu }\ c^{c}\right)\ }$

for the ghost. This is the expression commonly used to derive Feynman's rules (see Feynman diagram). Here we have c^a for the ghost field while ξ fixes the gauge's choice for the quantization. Feynman's rules obtained from this functional are the following ^[10]

Estas reglas para los diagramas de Feynman se pueden obtener cuando el funcional generador dado anteriormente se reescribe como

${\displaystyle {\begin{aligned}Z[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]&=\exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ {\frac {\delta }{i\ \delta \ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)}}\ f^{abc}\partial _{\mu }\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ \varepsilon ^{c}(x)}}\right)\\&\qquad \times \exp \left(-i\ g\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\partial _{\mu }{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{a}(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{c\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \times \exp \left(-i\ {\frac {g^{2}}{4}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ f^{abc}\ f^{ars}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\mu }^{b}(x)}}\ {\frac {i\ \delta }{\delta \ j_{\nu }^{c}(x)}}\ {\frac {\ i\delta }{\delta \ j^{r\mu }(x)}}{\frac {i\ \delta }{\delta \ j^{s\nu }(x)}}\right)\\&\qquad \qquad \qquad \times Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]\end{aligned}}}$

con

${\displaystyle Z_{0}[j,{\bar {\varepsilon }},\varepsilon ]=\exp \left(-\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ {\bar {\varepsilon }}^{a}(x)\ C^{ab}(x-y)\ \varepsilon ^{b}(y)\right)\exp \left({\tfrac {1}{2}}\int \mathrm {d} ^{4}x\ \mathrm {d} ^{4}y\ j_{\mu }^{a}(x)\ D^{ab\mu \nu }(x-y)\ j_{\nu }^{b}(y)\right)\ }$

siendo el funcional generador de la teoría libre. Al expandir en g y calcular las derivadas funcionales , podemos obtener todas las funciones de n puntos con la teoría de perturbaciones. Usando la fórmula de reducción LSZ, obtenemos de las funciones de n puntos las amplitudes de proceso, las secciones transversales y las tasas de decaimiento correspondientes . La teoría es renormalizable y las correcciones son finitas en cualquier orden de la teoría de perturbaciones.

Para la electrodinámica cuántica, el campo fantasma se desacopla porque el grupo de gauge es abeliano. Esto se puede ver a partir del acoplamiento entre el campo de gauge y el campo fantasma que es${\displaystyle \ {\bar {c}}^{a}\ f^{abc}\ \partial _{\mu }A^{b\mu }\ c^{c}~.}$Para el caso abeliano, todas las constantes de estructura${\displaystyle \ f^{abc}\ }$son cero y, por lo tanto, no hay acoplamiento. En el caso no abeliano, el campo fantasma aparece como una forma útil de reescribir la teoría cuántica de campos sin consecuencias físicas en las observables de la teoría, tales como secciones transversales o tasas de desintegración.

Uno de los resultados más importantes obtenidos para la teoría de Yang-Mills es la libertad asintótica . Este resultado se puede obtener asumiendo que la constante de acoplamiento g es pequeña (por lo tanto, no linealidades pequeñas), como para altas energías, y aplicando la teoría de perturbaciones . La relevancia de este resultado radica en que una teoría de Yang-Mills que describe la interacción fuerte y la libertad asintótica permite un tratamiento adecuado de los resultados experimentales provenientes de la dispersión inelástica profunda .

Para obtener el comportamiento de la teoría de Yang-Mills a altas energías y, por lo tanto, demostrar la libertad asintótica, se aplica la teoría de perturbaciones asumiendo un acoplamiento pequeño. Esto se verifica a posteriori en el límite ultravioleta . En el límite opuesto, el límite infrarrojo, la situación es la contraria, ya que el acoplamiento es demasiado grande para que la teoría de perturbaciones sea fiable. La mayoría de las dificultades que encuentra la investigación radican en manejar la teoría a bajas energías. Este es el caso interesante, inherente a la descripción de la materia hadrónica y, más generalmente, a todos los estados ligados observados de gluones y quarks y su confinamiento (véase hadrones ). El método más utilizado para estudiar la teoría en este límite es intentar resolverla en ordenadores (véase teoría de gauge en la red ). En este caso, se necesitan grandes recursos computacionales para asegurar que se obtenga el límite correcto de volumen infinito (espaciado de red más pequeño). Este es el límite con el que deben compararse los resultados. Un espaciado más pequeño y un acoplamiento mayor no son independientes entre sí, y se necesitan mayores recursos computacionales para cada uno. A día de hoy, la situación parece bastante satisfactoria para el espectro hadrónico y el cálculo de los propagadores de gluones y fantasmas, pero los espectros de glueballs e híbridos siguen siendo objeto de debate a la luz de la observación experimental de tales estados exóticos. De hecho, la resonancia σ ^{[ 11 ] [ 12 ]} no se observa en ninguno de estos cálculos de red y se han propuesto interpretaciones contradictorias. Este es un tema muy debatido.

Las teorías de Yang-Mills fueron recibidas con aceptación general en la comunidad física después de que Gerard 't Hooft , en 1972, desarrollara su renormalización, basándose en una formulación del problema desarrollada por su asesor Martinus Veltman . ^{[ 13 ]} La renormalizabilidad se obtiene incluso si los bosones de gauge descritos por esta teoría son masivos, como en la teoría electrodébil, siempre que la masa sea solo una "adquirida", generada por el mecanismo de Higgs .

Las matemáticas de la teoría de Yang-Mills constituyen un campo de investigación muy activo, que ha dado lugar, por ejemplo, a invariantes de estructuras diferenciables en variedades de cuatro dimensiones gracias al trabajo de Simon Donaldson . Además, el campo de las teorías de Yang-Mills se incluyó en la lista de " Problemas del Premio del Milenio " del Instituto Clay de Matemáticas . En este caso, el problema premiado consiste, en particular, en demostrar la conjetura de que las excitaciones más bajas de una teoría pura de Yang-Mills (es decir, sin campos de materia) tienen una brecha de masa finita con respecto al estado de vacío. Otro problema abierto, relacionado con esta conjetura, es demostrar la propiedad de confinamiento en presencia de fermiones adicionales.

En física, el estudio de las teorías de Yang-Mills no suele comenzar con el análisis de perturbaciones o los métodos analíticos, sino más recientemente con la aplicación sistemática de métodos numéricos a las teorías de gauge en la red .

• "Campo de Yang-Mills" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press, 2001 [1994]
• "Teoría de Yang-Mills" . DispersiveWiki . Archivado del original el 3 de junio de 2021. Consultado el 30 de agosto de 2018 .
• "Los problemas del Premio del Milenio" . El Instituto Clay de Matemáticas . Archivado del original el 16 de enero de 2009. Consultado el 24 de noviembre de 2008 .