Transformación Z

La transformada Z bilateral o de dos lados de una señal de tiempo discreto.${\displaystyle x[n]}$es la serie de potencias formal${\displaystyle X(z)}$definido como:

dónde${\displaystyle n}$es un número entero y${\displaystyle z}$es, en general, un número complejo . En forma polar ,${\displaystyle z}$puede escribirse como:

${\displaystyle z=Ae^{i\phi }=A\cdot (\cos {\phi }+i\sin {\phi })}$

dónde${\displaystyle A}$es la magnitud de${\displaystyle z}$⁠ ,${\displaystyle i}$es la unidad imaginaria y${\displaystyle \phi }$es el argumento complejo (también denominado ángulo o fase ) en radianes .

Alternativamente, en los casos en que${\displaystyle x[n]}$se define únicamente para${\displaystyle n\geq 0}$⁠ , latransformada Z unilateral o de un solo lado se define como:

En el procesamiento de señales , esta definición se puede utilizar para evaluar la transformada Z de la respuesta impulsional unitaria de un sistema causal de tiempo discreto .

Un ejemplo importante de la transformada Z unilateral es la función generadora de probabilidad , donde el componente${\displaystyle x[n]}$es la probabilidad de que una variable aleatoria discreta tome el valor ⁠${\displaystyle n}$Las propiedades de las transformadas Z (enumeradas en la sección  Propiedades ) tienen interpretaciones útiles en el contexto de la teoría de la probabilidad .

Este método consiste en aplicar el teorema de los residuos de Cauchy para evaluar la transformada Z inversa. Al integrar alrededor de un contorno cerrado en el plano complejo, se suman los residuos en los polos de la función de la transformada Z dentro de la región de convergencia. Esta técnica resulta especialmente útil al trabajar con funciones expresadas en términos de variables complejas.

En este método, la transformada Z se expande en una serie de potencias. Este enfoque resulta útil cuando la función de la transformada Z es racional, lo que permite aproximar la inversa mediante la expansión en una serie y la determinación de los coeficientes de la señal término a término.

Esta técnica descompone la transformada Z en una suma de fracciones más simples, cada una correspondiente a pares de transformadas Z conocidos. La transformada Z inversa se determina consultando cada término en una tabla estándar de pares de transformadas Z. Este método se utiliza ampliamente por su eficiencia y simplicidad, especialmente cuando la función original se puede descomponer fácilmente en componentes reconocibles.

Dejemos​${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}}$. Ampliando${\displaystyle x[n]}$en el intervalo${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$se convierte

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,(0.5)^{-3},(0.5)^{-2},(0.5)^{-1},1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}=\left\{\dots ,2^{3},2^{2},2,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}$

Al observar la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}\to \infty .}$

Por lo tanto, no hay valores de${\displaystyle z}$que cumplan esta condición.

Dejar${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]}$(dónde${\displaystyle u}$es la función escalón de Heaviside ). Expandiendo${\displaystyle x[n]}$en el intervalo${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$se convierte

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,0,0,0,1,0.5,(0.5)^{2},(0.5)^{3},\dots \right\}.}$

Al observar la suma

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }(0.5)^{n}z^{-n}=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {0.5}{z}}\right)^{n}={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}.}$

La última igualdad surge de la serie geométrica infinita y la igualdad solo se cumple si ⁠${\displaystyle \vert 0.5\,z^{-1}\vert <1}$⁠ , que puede reescribirse en términos de${\displaystyle z}$como​${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$⁠ . Por lo tanto, el ROC es ⁠${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$⁠ . En este caso, la ROC es el plano complejo con un disco de radio ⁠${\displaystyle 0.5}$⁠ en el origen "perforado".

Dejar${\displaystyle x[n]=-(0.5)^{n}\,u[-n-1]}$(dónde${\displaystyle u}$es la función escalón de Heaviside ). Expandiendo${\displaystyle x[n]}$en el intervalo${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$se convierte

${\displaystyle x[n]=\left\{\dots ,-(0.5)^{-3},-(0.5)^{-2},-(0.5)^{-1},0,0,0,0,\dots \right\}.}$

Al observar la suma

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]\,z^{-n}&=-\sum _{n=-\infty }^{-1}(0.5)^{n}\,z^{-n}\\&=-\sum _{m=1}^{\infty }\left({\frac {z}{0.5}}\right)^{m}\\&=-{\frac {(0.5)^{-1}z}{1-(0.5)^{-1}z}}\\&=-{\frac {1}{0.5\,z^{-1}-1}}\\&={\frac {1}{1-0.5\,z^{-1}}}\\\end{aligned}}}$

y utilizando de nuevo la serie geométrica infinita , la igualdad solo se cumple si${\displaystyle |(0.5)^{-1}z|<1}$que se puede reescribir en términos de${\displaystyle z}$como​${\displaystyle \vert z\vert <0.5}$⁠ . Por lo tanto, el ROC es ⁠${\displaystyle \vert z\vert <0.5}$⁠ . En este caso, la ROC es un disco centrado en el origen y de radio ⁠ ${\displaystyle 0.5}$.​

Lo único que diferencia este ejemplo del anterior es la curva ROC. Esto se hizo intencionadamente para demostrar que el resultado de la transformación por sí solo es insuficiente.

Los ejemplos 2 y 3 muestran claramente que la transformada Z${\displaystyle X(z)}$de${\displaystyle x[n]}$es único cuando y solo cuando se especifica la ROC. La creación del diagrama de polos y ceros para el caso causal y anticausal muestra que la ROC para cualquiera de los casos no incluye el polo que está en ⁠${\displaystyle 0.5}$Esto se extiende a los casos con múltiples polos: la ROC nunca contendrá polos.

En el ejemplo 2, el sistema causal produce una ROC que incluye${\displaystyle |z|=\infty }$mientras que el sistema anticausal del ejemplo 3 produce una ROC que incluye ⁠${\displaystyle \vert z\vert =0}$.​

En sistemas con múltiples polos es posible tener una ROC que no incluya ninguno${\displaystyle |z|=\infty }$ni​${\displaystyle \vert z\vert =0}$⁠ . La ROC crea una banda circular. Por ejemplo,

${\displaystyle x[n]=(0.5)^{n}\,u[n]-(0.75)^{n}\,u[-n-1]}$

tiene postes en${\displaystyle 0.5}$y​​${\displaystyle 0.75}$⁠ . El ROC será ⁠${\displaystyle 0.5<\vert z\vert <0.75}$⁠ , que no incluye ni el origen ni el infinito. Dicho sistema se denomina sistema de causalidad mixta, ya que contiene un término causal.${\displaystyle (0.5)^{n}\,u[n]}$y un término anticausa${\displaystyle -(0.75)^{n}\,u[-n-1]}$.​

La estabilidad de un sistema también se puede determinar conociendo solo la ROC. Si la ROC contiene el círculo unitario (es decir ,${\displaystyle \vert z\vert =1}$⁠ ) ​​entonces el sistema es estable. En los sistemas anteriores, el sistema causal (Ejemplo 2) es estable porque ⁠${\displaystyle \vert z\vert >0.5}$Contiene el círculo unitario.

Supongamos que se nos proporciona una transformada Z de un sistema sin ROC (es decir, una ambigua ⁠${\displaystyle x[n]}$) . Podemos determinar un único${\displaystyle x[n]}$siempre que deseemos lo siguiente:

• Estabilidad
• Causalidad

Para que haya estabilidad, la región de convergencia (ROC) debe contener el círculo unitario. Si necesitamos un sistema causal, la ROC debe contener el infinito y la función del sistema será una secuencia unilateral derecha. Si necesitamos un sistema anticausal, la ROC debe contener el origen y la función del sistema será una secuencia unilateral izquierda. Si necesitamos tanto estabilidad como causalidad, todos los polos de la función del sistema deben estar dentro del círculo unitario.

El único${\displaystyle x[n]}$entonces se puede encontrar.

La transformada bilineal se puede utilizar para convertir filtros de tiempo continuo (representados en el dominio de Laplace) en filtros de tiempo discreto (representados en el dominio Z), y viceversa. Se utiliza la siguiente sustitución:

${\displaystyle s={\frac {2}{T}}{\frac {(z-1)}{(z+1)}}}$

para convertir alguna función${\displaystyle H(s)}$en el dominio de Laplace a una función${\displaystyle H(z)}$en el dominio Z ( transformación de Tustin ), o

${\displaystyle z=e^{sT}\approx {\frac {1+sT/2}{1-sT/2}}}$

del dominio Z al dominio de Laplace. Mediante la transformación bilineal, el plano complejo s (de la transformada de Laplace) se mapea al plano complejo z (de la transformada z). Si bien este mapeo es (necesariamente) no lineal, es útil porque mapea todo el sistema de coordenadas.${\displaystyle i\omega }$eje del plano s sobre el círculo unitario en el plano z. Como tal, la transformada de Fourier (que es la transformada de Laplace evaluada en el${\displaystyle i\omega }$eje) se convierte en la transformada de Fourier de tiempo discreto. Esto supone que la transformada de Fourier existe; es decir, que el${\displaystyle i\omega }$El eje se encuentra en la región de convergencia de la transformada de Laplace.

Dada una transformación Z unilateral${\displaystyle X(z)}$de una función muestreada en el tiempo, la transformación marcada con asterisco correspondiente produce una transformada de Laplace y restaura la dependencia de${\displaystyle T}$(el parámetro de muestreo):

${\displaystyle {\bigg .}X^{*}(s)=X(z){\bigg |}_{\displaystyle z=e^{sT}}}$

La transformada inversa de Laplace es una abstracción matemática conocida como función muestreada por impulsos .

Al aplicar la transformada Z a la ecuación anterior (utilizando las leyes de linealidad y desplazamiento temporal) se obtiene:

${\displaystyle Y(z)\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}=X(z)\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}$

dónde${\displaystyle X(z)}$y${\displaystyle Y(z)}$son la transformada Z de${\displaystyle x[n]}$y​${\displaystyle y[n]}$⁠ , respectivamente. (Las convenciones de notación suelen usar letras mayúsculas para referirse a la transformada Z de una señal denotada por una letra minúscula correspondiente, de forma similar a la convención utilizada para notar las transformadas de Laplace).

Reorganizar los resultados en la función de transferencia del sistema :

${\displaystyle H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}={\frac {\sum _{q=0}^{M}z^{-q}\beta _{q}}{\sum _{p=0}^{N}z^{-p}\alpha _{p}}}={\frac {\beta _{0}+z^{-1}\beta _{1}+z^{-2}\beta _{2}+\cdots +z^{-M}\beta _{M}}{\alpha _{0}+z^{-1}\alpha _{1}+z^{-2}\alpha _{2}+\cdots +z^{-N}\alpha _{N}}}.}$

Del teorema fundamental del álgebra el numerador tiene${\displaystyle M}$raíces (correspondientes a ceros de${\displaystyle H}$) y el denominador tiene${\displaystyle N}$raíces (correspondientes a polos). Reescribiendo la función de transferencia en términos de ceros y polos.

${\displaystyle H(z)={\frac {(1-q_{1}z^{-1})(1-q_{2}z^{-1})\cdots (1-q_{M}z^{-1})}{(1-p_{1}z^{-1})(1-p_{2}z^{-1})\cdots (1-p_{N}z^{-1})}},}$

dónde${\displaystyle q_{k}}$es el${\displaystyle k}$el cero y${\displaystyle p_{k}}$es el${\displaystyle k}$polo th. Los ceros y los polos suelen ser complejos y cuando se representan en el plano complejo (plano z) se denomina diagrama de polos y ceros .

Además, también pueden existir ceros y polos en${\displaystyle z=0}$y​${\displaystyle z=\infty }$⁠ . Si tomamos en consideración estos polos y ceros, así como los ceros y polos de orden múltiple, el número de ceros y polos siempre es igual.

Al factorizar el denominador, se puede utilizar la descomposición en fracciones parciales , que luego se puede transformar de nuevo al dominio del tiempo . De esta forma, se obtendrían la respuesta impulsional y la ecuación de diferencias lineal con coeficientes constantes del sistema.

Si tal sistema${\displaystyle H(z)}$es impulsado por una señal${\displaystyle X(z)}$entonces la salida es${\displaystyle Y(z)=H(z)X(z)}$⁠ . Al realizar la descomposición en fracciones parciales en${\displaystyle Y(z)}$y luego aplicando la transformada Z inversa a la salida${\displaystyle y[n]}$se puede encontrar. En la práctica, a menudo es útil descomponer fraccionariamente${\displaystyle \textstyle {\frac {Y(z)}{z}}}$antes de multiplicar esa cantidad por${\displaystyle z}$para generar una forma de${\displaystyle Y(z)}$que tiene términos con transformadas Z inversas fácilmente calculables.