Teorema de conectividad de Zariski

En geometría algebraica , el teorema de conexidad de Zariski (debido a Oscar Zariski ) establece que, bajo ciertas condiciones, las fibras de un morfismo de variedades son conexas. Se trata de una extensión del teorema principal de Zariski al caso en que el morfismo de variedades no tiene por qué ser birracional.

El teorema de conectividad de Zariski ofrece una versión rigurosa del "principio de degeneración" introducido por Federigo Enriques , que establece, a grandes rasgos, que un límite de ciclos absolutamente irreducibles es absolutamente conexo.

Supongamos que f es un morfismo sobreyectivo propio de variedades de X a Y tal que el cuerpo de funciones de Y es separablemente cerrado en el de X. Entonces, el teorema de conexidad de Zariski establece que la imagen inversa de cualquier punto normal de Y es conexa. Una versión alternativa afirma que si f es propio y f _* O _X  = O _Y , entonces f es sobreyectivo y la imagen inversa de cualquier punto de Y es conexa. 

• Zariski, Oscar (1951), Teoría y aplicaciones de funciones holomorfas en variedades algebraicas sobre cuerpos base arbitrarios , Memoirs of the American Mathematical Society , vol.  5, MR 0041487 
• Zariski, Oscar (1957), "El teorema de conectividad para transformaciones birracionales", Geometría algebraica y topología. Simposio en honor de S. Lefschetz , Princeton, NJ: Princeton University Press, pp. 182–188 , MR 0090099