Red Zobel

La impedancia de entrada viene dada por

${\displaystyle {\frac {1}{Z_{\text{in}}}}={\frac {1}{Z_{0}+Z'}}+{\frac {1}{Z+Z_{0}}}}$

Sustituyendo la condición de equilibrio,

${\displaystyle Z'={\frac {Z_{0}^{2}}{Z}}}$

rendimientos

${\displaystyle Z_{\text{in}}=Z_{0}}$

La impedancia de entrada se puede diseñar para que sea puramente resistiva mediante la configuración

${\displaystyle Z_{0}=R_{0}\!\,}$

La impedancia de entrada será entonces real e independiente de ω, tanto dentro como fuera de la banda, independientemente de la complejidad de la sección del filtro que se elija.

Si se toma Z ₀ en la esquina inferior derecha del puente como la carga de salida, entonces se puede calcular una función de transferencia V _o / V _in para la sección. Solo se debe considerar la rama RHS (lado derecho) en este cálculo. La razón de esto se puede ver al considerar que no hay flujo de corriente a través de Z _B. Ninguna de las corrientes que fluyen a través de la rama LHS (lado izquierdo) va a fluir hacia la carga. Por lo tanto, la rama LHS no puede afectar la salida. Ciertamente afecta la impedancia de entrada (y por lo tanto el voltaje de terminal de entrada), pero no la función de transferencia. Ahora se puede ver fácilmente que la función de transferencia es:

${\displaystyle A(\omega )={\frac {Z_{0}}{Z+Z_{0}}}}$

La impedancia de carga es en realidad la impedancia de la siguiente etapa o de una línea de transmisión y puede omitirse razonablemente del diagrama del circuito . Si además establecemos;

${\displaystyle Z_{B}=Z_{0}\,\!}$

Entonces, el circuito a la derecha da como resultado un circuito en T puenteado, ya que la impedancia Z se considera que forma un puente a través de la sección en T. El propósito de establecer Z _B  = Z ₀ es lograr que la sección del filtro sea simétrica. Esto tiene la ventaja de que presentará la misma impedancia, Z ₀ , tanto en la entrada como en la salida. 

Para una sección atenuadora, Z es simplemente

${\displaystyle Z=R\,\!}$

y,

${\displaystyle Z'=R'={\frac {R_{0}^{2}}{R}}}$

La atenuación de la sección viene dada por:

${\displaystyle L=20\log \left({\frac {R}{R_{0}}}+1\right)\,{\text{dB}}}$

En una sección de filtro de paso bajo, Z es un inductor y Z  ' es un condensador ;

${\displaystyle Z=i\omega L\!\,}$

y

${\displaystyle Z'={\frac {1}{i\omega C'}}}$

dónde

${\displaystyle C'={\frac {L}{R_{0}^{2}}}}$

La función de transferencia de la sección viene dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {R_{0}}{i\omega L+R_{0}}}}$

El  punto de 3 dB se produce cuando ωL  =  R ₀  , por lo que la frecuencia de corte de 3 dB viene dada por

${\displaystyle \omega _ {c}={\frac {R_ {0}}{L}}}$

donde ω está en la banda de parada muy por encima de ω _c ,

${\displaystyle A(\omega )\approx {\frac {R_{0}}{i\omega L}}}$

De esto se puede ver que A ( ω ) está disminuyendo en la banda de rechazo a los clásicos 6  dB/ 8ve (o 20  dB/década).

En una sección de filtro paso alto , Z es un condensador y Z' es un inductor:

${\displaystyle Z={\frac {1}{i\omega C}}}$

y

${\displaystyle Z'=i\omega L'\!\,}$

dónde

${\displaystyle L'=CR_{0}^{2}\!\,}$

La función de transferencia de la sección viene dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {i\omega CR_{0}}{1+i\omega CR_{0}}}}$

El  punto de 3 dB se produce cuando ωC  = 1 ⁄ R ₀ , por lo que la frecuencia de corte de 3 dB viene dada por  

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{CR_{0}}}}$

En la banda de parada,

${\displaystyle A(\omega )\approx i\omega CR_{0}}$

disminuye a razón de 6  dB/8ve con la disminución de la frecuencia.

En una sección de filtro paso banda , Z es un circuito resonante en serie y Z' es un circuito resonante en paralelo;

${\displaystyle Z=i\omega L+{\frac {1}{i\omega C}}}$

y

${\displaystyle Y'={\frac {1}{Z'}}=i\omega C'+{\frac {1}{i\omega L'}}}$

La función de transferencia de la sección viene dada por

${\displaystyle A(\omega )={\frac {i\omega CR_{0}}{1+i\omega CR_{0}-\omega ^{2}LC}}}$

El  punto de 3 dB se produce cuando |1  − ω ² LC | = ωCR ₀ , por lo que las frecuencias de corte de 3 dB vienen dadas por    

${\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{2LC}}\left(\pm R_{0}C+{\sqrt {R_{0}^{2}C^{2}+4LC}}\right)}$

a partir de los cuales se pueden determinar la frecuencia central, ω _m , y el ancho de banda, Δ ω :

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \omega &={\frac {R_{0}}{L}}\\\omega _{m}&={\sqrt {{\frac {R_{0}^{2}}{4L^{2}}}+{\frac {1}{LC}}}}\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que esto es diferente de la frecuencia de resonancia.

${\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {\frac {1}{LC}}}}$

la relación entre ellos dada por

${\displaystyle \omega _{m}^{2}=\left({\frac {\Delta \omega }{2}}\right)^{2}+\omega _{0}^{2}}$

Para una sección de filtro de rechazo de banda , Z es un circuito resonante en paralelo y Z' es un circuito resonante en serie:

${\displaystyle Y={\frac {1}{Z}}=i\omega C+{\frac {1}{i\omega L}}}$

y

${\displaystyle Z'=i\omega L'+{\frac {1}{i\omega C'}}}$

La función de transferencia y el ancho de banda se pueden obtener por analogía con la sección de paso de banda.

${\displaystyle \Delta \omega ={\frac {1}{CR_{0}}}}$

Y,

${\displaystyle \omega _{m}={\sqrt {\left({\frac {1}{2R_{0}C}}\right)^{2}+{\frac {1}{LC}}}}}$

Para líneas de audio, es indispensable combinar componentes de filtro L/C con atenuadores resistivos en la misma sección del filtro. Esto se debe a que la estrategia de diseño habitual exige que la sección atenúe todas las frecuencias hasta el nivel de la frecuencia más baja de la banda de paso . Sin los componentes resistivos, el filtro, al menos en teoría, aumentaría la atenuación sin límite. La atenuación en la banda de rechazo del filtro (es decir, la atenuación máxima límite) se denomina "pérdida básica" de la sección. En otras palabras, la parte plana de la banda se atenúa mediante la pérdida básica hasta el nivel de la parte descendente de la banda que se desea ecualizar. La siguiente descripción de secciones prácticas se refiere en particular a las líneas de transmisión de audio.

El efecto más significativo que debe compensarse es que, a partir de cierta frecuencia de corte, la respuesta de la línea comienza a atenuarse como un filtro paso bajo simple. El ancho de banda efectivo de la línea puede incrementarse con una sección de filtro paso alto que se ajuste a esta atenuación, combinada con un atenuador. En la parte plana de la banda de paso, solo la parte del atenuador de la sección del filtro es relevante. Esta se ajusta a una atenuación igual al nivel de la frecuencia más alta de interés. Todas las frecuencias hasta este punto se ecualizarán a un nivel plano atenuado. Por encima de este punto, la salida del filtro comenzará a atenuarse nuevamente.

Es bastante común en las redes de telecomunicaciones que un circuito esté compuesto por dos secciones de línea que no tienen la misma impedancia característica . Por ejemplo, 150  Ω y 300  Ω. Una consecuencia de esto es que la atenuación puede comenzar en 6  dB/octava a una frecuencia de corte inicial.${\displaystyle \scriptstyle f_{c1}}$, pero luego en${\displaystyle \scriptstyle f_{c2}}$puede volverse repentinamente más pronunciada. Esta situación requiere entonces (al menos) dos secciones de paso alto para compensar cada una operando a una velocidad diferente.${\displaystyle \scriptstyle f_{c}}$.

Las fluctuaciones en la banda de paso se pueden compensar con secciones de rechazo de banda y paso de banda, respectivamente. También se requiere un atenuador, aunque generalmente de menor tamaño que el necesario para la atenuación. Estas anomalías en la banda de paso pueden deberse a segmentos de línea desajustados, como se describió anteriormente. Las caídas también pueden ser causadas por variaciones en la temperatura del suelo.

En ocasiones, se incluye un filtro de paso bajo para compensar la atenuación excesiva del transformador de línea en el extremo de baja frecuencia. Sin embargo, este efecto suele ser muy pequeño en comparación con los demás efectos mencionados anteriormente.

Las secciones de baja frecuencia suelen tener inductores de alto valor. Estos inductores tienen muchas espiras y, por lo tanto, tienden a tener una resistencia significativa. Para mantener una resistencia constante en la entrada de la sección, la rama doble del puente T debe contener el doble de la resistencia parásita, es decir, una resistencia en paralelo con el condensador. Incluso con la compensación, la resistencia parásita sigue introduciendo atenuación en bajas frecuencias. Esto, a su vez, reduce ligeramente la cantidad de realce de bajas frecuencias que la sección habría producido de otro modo. La pérdida básica de la sección se puede aumentar en la misma cantidad que introduce la resistencia parásita, lo que permitirá que el realce de bajas frecuencias obtenido vuelva a ser el previsto.

La compensación de la resistencia del inductor no representa un problema a altas frecuencias, donde los inductores tienden a ser más pequeños. En cualquier caso, para una sección de paso alto, el inductor está en serie con la resistencia de pérdidas básica y la resistencia parásita se puede simplemente restar de dicha resistencia. Por otro lado, la técnica de compensación puede ser necesaria para secciones resonantes, especialmente cuando se utiliza un resonador de alto factor Q para realzar una banda muy estrecha. Para estas secciones, el valor de los inductores también puede ser elevado.

Se puede utilizar un filtro paso alto de atenuación ajustable para compensar las variaciones de la temperatura del suelo. La temperatura del suelo varía muy lentamente en comparación con la temperatura de la superficie. Por lo general, solo se requieren ajustes de 2 a 4 veces al año para aplicaciones de audio.

Como se mencionó anteriormente,${\displaystyle \scriptstyle Z_{B}}$Se puede ajustar a cualquier impedancia deseada sin afectar la impedancia de entrada. En particular, configurarlo como circuito abierto o cortocircuito da como resultado un circuito de sección simplificado, denominado sección en L. Estas se muestran arriba para el caso de una sección de paso alto con pérdidas básicas.

El puerto de entrada aún presenta una impedancia de${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$(siempre que la salida esté terminada en${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$) pero el puerto de salida ya no presenta una impedancia constante. Tanto las secciones en L de circuito abierto como las de cortocircuito pueden invertirse de modo que${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$Luego se presenta en la salida y la impedancia variable se presenta en la entrada.

Para conservar el beneficio de la impedancia constante de las redes Zobel, el puerto de impedancia variable no debe estar orientado hacia la impedancia de línea. Tampoco debe estar orientado hacia el puerto de impedancia variable de otra sección en L. Orientarlo hacia el amplificador es aceptable ya que la impedancia de entrada del amplificador normalmente está dispuesta para ser${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$dentro de tolerancias aceptables. En otras palabras, la impedancia variable no debe enfrentarse a impedancia variable.

Las redes Zobel descritas aquí se pueden usar para ecualizar líneas terrestres compuestas por cables de par trenzado o de cuatro conductores en estrella . La naturaleza de circuito balanceado de estas líneas proporciona una buena relación de rechazo en modo común (CMRR). Para mantener la CMRR, los circuitos conectados a la línea deben mantener el balance. Por esta razón, a veces se requieren versiones balanceadas de las redes Zobel. Esto se logra reduciendo a la mitad la impedancia de los componentes en serie y colocando componentes idénticos en el ramal de retorno del circuito.

La sección AC es una versión balanceada de la sección L. El balance se logra de la misma manera que en una sección T balanceada con puente completo, colocando la mitad de la impedancia en serie en lo que antes era el conductor común. Las secciones C, al igual que la sección L de la que derivan, pueden ser de circuito abierto o de cortocircuito. Se aplican las mismas restricciones a las secciones C en cuanto a las terminaciones de impedancia que a las secciones L.

Es posible transformar una sección en T puenteada en una sección reticular o en X (véase el teorema de bisección de Bartlett ). ^{[ 2 ]} La sección en X es un tipo de circuito puente, pero generalmente se representa como una retícula, de ahí su nombre. Su topología la hace intrínsecamente equilibrada, pero nunca se utiliza para implementar los filtros de resistencia constante del tipo aquí descrito debido al aumento en el número de componentes. El aumento en el número de componentes surge del proceso de transformación, no del equilibrio. Sin embargo, existe una aplicación común para esta topología: el ecualizador de fase reticular , que también es de resistencia constante y fue inventado por Zobel. Este circuito difiere de los descritos aquí en que el circuito puente generalmente no se encuentra en la condición de equilibrio.

En lo que respecta a los filtros de resistencia constante, el término "sección parcial" tiene un significado algo diferente al de otros tipos de filtros de imagen. Generalmente, una sección parcial se forma al cortar el punto medio de la impedancia en serie y la admitancia en paralelo de una sección completa de una red en escalera . Es, literalmente, la mitad de una sección. Sin embargo, aquí la definición es algo diferente. Una sección parcial es la impedancia en serie (sección parcial en serie) o la admitancia en paralelo (sección parcial en paralelo) que, al conectarse entre las impedancias de fuente y carga R₀ _, produce la misma función de transferencia que un circuito de resistencia constante arbitrario. El objetivo de usar secciones parciales es lograr la misma funcionalidad con una cantidad de componentes drásticamente reducida.

Si un circuito de resistencia constante tiene una entrada V _in , entonces un generador con una impedancia R ₀ debe tener una tensión en circuito abierto de E=2V _in para producir V _in en la entrada del circuito de resistencia constante. Si ahora el circuito de resistencia constante se reemplaza por una impedancia de 2Z, como en el diagrama anterior, se puede ver por simple simetría que la tensión V _in aparecerá a la mitad de la impedancia 2Z. La salida de este circuito ahora se puede calcular como:

${\displaystyle {\frac {V_{O}}{V_{in}}}={\frac {R_{0}}{Z+R_{0}}}}$

lo cual es precisamente lo mismo que una sección en T puenteada con elemento en serie Z. La semisección en serie tiene, por lo tanto, una impedancia en serie de 2Z. Siguiendo un razonamiento similar, la semisección en paralelo tiene una impedancia en paralelo de 1/2 Z ' (o el doble de la admitancia).

Cabe destacar que estas medias secciones están lejos de tener una resistencia constante. Tienen la misma función de transferencia que una red de resistencia constante, pero solo cuando están correctamente terminadas. Un ecualizador no dará buenos resultados si una media sección se coloca frente a la línea, ya que la línea tendrá una impedancia variable (y probablemente desconocida). Del mismo modo, dos medias secciones no se pueden conectar directamente entre sí, ya que ambas tendrán impedancias variables. Sin embargo, si se coloca un atenuador suficientemente grande entre las dos impedancias variables, esto tendrá el efecto de enmascarar el efecto. Un atenuador de alto valor tendrá una impedancia de entrada.${\displaystyle \scriptstyle \approx R_{0}}$independientemente de la impedancia de terminación en el otro extremo. En el ejemplo práctico de cadena mostrado anteriormente, se  requiere un atenuador de 22 dB. Este no tiene por qué estar al final de la cadena; puede colocarse en cualquier punto y utilizarse para enmascarar dos impedancias desadaptadas. También puede dividirse en dos o más partes y utilizarse para enmascarar más de una desadaptación.

Una red de Bode, al igual que una red de Zobel, es una red de puente T simétrica que cumple la condición de k constante . Sin embargo, no cumple la condición de resistencia constante, es decir, el puente no está en equilibrio. ^{[ 5 ]} Cualquier red de impedancia, Z, puede usarse en una red de Bode, al igual que en una red de Zobel, pero la sección de paso alto mostrada para corregir frecuencias altas es la más común. Una red de Bode terminada en una resistencia variable puede usarse para producir una impedancia variable en los terminales de entrada de la red. Una propiedad útil de esta red es que la impedancia de entrada puede hacerse variar desde una impedancia capacitiva a través de una impedancia puramente resistiva hasta una impedancia inductiva, todo ajustando el potenciómetro de carga único , R _L . La resistencia de puenteo, R ₀ , se elige para que sea igual a la impedancia nominal de modo que en el caso especial en que R _L se establece en R ₀ la red se comporta como una red de Zobel y Z _in también es igual a R ₀ .

La red de Bode se utiliza en un ecualizador conectando toda la red de manera que la impedancia de entrada de la red de Bode, Z _in , esté en serie con la carga. Dado que la impedancia de la red de Bode puede ser capacitiva o inductiva dependiendo de la posición del potenciómetro de ajuste, la respuesta puede ser un aumento o una disminución en la banda de frecuencias sobre la que actúa. La función de transferencia de esta configuración es:

${\displaystyle A(\omega )={\frac {R_{0}}{Z_{in}+R_{0}}}}$

El ecualizador de Bode se puede convertir en un filtro de resistencia constante utilizando toda la red de Bode como la rama Z de una red de Zobel, lo que resulta en una red bastante compleja de redes de puente T integradas en un puente T mayor. Se puede ver que esto resulta en la misma función de transferencia al observar que la función de transferencia del ecualizador de Bode es idéntica a la función de transferencia de la forma general del ecualizador de Zobel. Nótese que el dual de una red de puente T de resistencia constante es la red idéntica. Por lo tanto, el dual de una red de Bode es la misma red excepto por la resistencia de carga R _L , que debe ser la inversa, R _L ', en el circuito dual. Para ajustar el ecualizador, R _L y R _L ' deben estar sincronizadas, o mantenerse en paso de otra manera de modo que cuando R _L aumenta R _L ' disminuya y viceversa.

Para ecualizar líneas de vídeo largas, se utiliza una red con topología Cauer como impedancia Z de una red Zobel de resistencia constante. Del mismo modo que la impedancia de entrada de una red Bode se utiliza como impedancia Z de una red Zobel para formar un ecualizador Zobel-Bode, la impedancia de entrada de una red Cauer se utiliza para crear un ecualizador Zobel-Cauer. El ecualizador debe corregir una atenuación que aumenta con la frecuencia, y para ello se requiere una red en escalera Cauer compuesta por resistencias en serie y condensadores en paralelo. Opcionalmente, se puede incluir un inductor en serie con el primer condensador, lo que aumenta la ecualización en el extremo superior debido a la pendiente más pronunciada que se produce al aproximarse a la resonancia. Esto puede ser necesario en líneas más largas. La resistencia en paralelo R1 _proporciona la pérdida básica de la red Zobel de la forma habitual.

El dual de una red RC Cauer es una red LR Cauer, necesaria para la impedancia Z' como se muestra en el ejemplo. El ajuste es algo problemático con este ecualizador. Para mantener la resistencia constante, los pares de componentes C ₁ /L ₁ ', C ₂ /L ₂ ', etc., deben mantener impedancias duales a medida que se ajusta el componente, por lo que ambas partes del par deben ajustarse juntas. Con el ecualizador Zobel Bode, esto es tan simple como agrupar dos potenciómetros, una configuración de componentes disponible comercialmente. Sin embargo, agrupar un condensador variable y un inductor no es una solución muy práctica. Estos ecualizadores suelen ser "construidos a mano", una solución es seleccionar los condensadores en pruebas y ajustar valores fijos según las mediciones, y luego ajustar los inductores hasta lograr la coincidencia requerida. El elemento más alejado del punto de excitación es la ecualización de la frecuencia más baja de interés. Esto se ajusta primero, ya que también tendrá un efecto en las frecuencias más altas, y a partir de ahí se ajustan progresivamente las frecuencias más altas, trabajando a lo largo de la escala hacia el punto de excitación.