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filtro derivado de m

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Algunas partes de este artículo o sección dependen del conocimiento que tenga el lector sobre la representación de impedancia compleja de capacitores e inductores y sobre el conocimiento de la representación de señales en el dominio de la frecuencia .

Los filtros derivados de m o filtros de tipo m son un tipo de filtro electrónico diseñado mediante el método de la imagen . Fueron inventados por Otto Zobel a principios de la década de 1920. [ 1 ] Este tipo de filtro fue originalmente concebido para su uso con multiplexación telefónica en sistemas de telefonía portadora y representó una mejora con respecto al filtro de tipo k constante existente . [ 2 ] El principal problema que se abordaba era la necesidad de lograr una mejor adaptación del filtro a las impedancias de terminación. En general, todos los filtros diseñados mediante el método de la imagen no logran una adaptación exacta, pero el filtro de tipo m supone una gran mejora con una elección adecuada del parámetro m. La sección del filtro de tipo m tiene otra ventaja: existe una transición rápida desde la frecuencia de corte de la banda de paso hasta un polo de atenuación justo dentro de la banda de rechazo . A pesar de estas ventajas, los filtros de tipo m presentan un inconveniente: en frecuencias superiores al polo de atenuación, la respuesta comienza a aumentar de nuevo, y los filtros de tipo m tienen un rechazo deficiente en la banda de rechazo. Por esta razón, los filtros diseñados utilizando secciones de tipo m a menudo se diseñan como filtros compuestos con una mezcla de secciones de tipo k y tipo m y diferentes valores de m en diferentes puntos para obtener el rendimiento óptimo de ambos tipos. [ 3 ]

Fondo

Zobel patentó una red de adaptación de impedancia en 1920 [ 5 ] que, en esencia, utilizaba la topología de lo que ahora se denominan filtros de tipo m, pero Zobel no los nombró así ni los analizó mediante el método de la imagen. Esto precedió a la publicación por parte de George Campbell de su diseño de tipo k constante en 1922, en el que se basa el filtro de tipo m. [ 6 ] Zobel publicó la teoría del análisis de imágenes de los filtros de tipo m en 1923. [ 7 ] Si bien alguna vez fueron populares, los filtros de tipo M y los filtros diseñados con parámetros de imagen en general ahora se diseñan raramente, habiendo sido reemplazados por métodos de síntesis de redes más avanzados . [ 8 ]

Derivación

Sección media de filtro general de la serie derivada de m
Semisección de filtro paso bajo en derivación m-derivado.do=LR02{\displaystyle C={\frac {L}{R_{0}^{2}}}}

El elemento básico de los filtros derivados de m, al igual que en todos los filtros de impedancia de imagen, es la red en "L", denominada semisección y compuesta por una impedancia en serie Z y una admitancia en paralelo Y. El filtro derivado de m es una derivada del filtro de k constante . El punto de partida del diseño son los valores de Z e Y derivados del prototipo de k constante y están dados por

k2=ZY{\displaystyle k^{2}={\frac {Z}{Y}}}

donde k es la impedancia nominal del filtro, o R 0 . El diseñador ahora multiplica Z e Y por una constante arbitraria m (0 < m < 1). Hay dos tipos diferentes de sección derivada de m: en serie y en paralelo. Para obtener la mitad de la sección en serie derivada de m, el diseñador determina la impedancia que debe agregarse a 1/mY para que la impedancia de imagen ZiT sea igual a la impedancia de imagen de la sección original de k constante. A partir de la fórmula general para la impedancia de imagen , se puede demostrar que la impedancia adicional requerida es [ 9 ].

1−metro2metroZ.{\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Z.}

Para obtener la semisección de derivación m, se agrega una admitancia a 1/mZ para que la impedancia imagen Z sea iΠigual a la impedancia imagen de la semisección original. Se puede demostrar que la admitancia adicional requerida es [ 10 ].

1−metro2metroY.{\displaystyle {\frac {1-m^{2}}{m}}Y.}

La disposición general de estos circuitos se muestra en los diagramas de la derecha, junto con un ejemplo específico de una sección de paso bajo.

Una consecuencia de este diseño es que la sección media derivada de m coincidirá con una sección de tipo k en un solo lado. Además, una sección de tipo m con un valor de m no coincidirá con otra sección de tipo m con otro valor de m, excepto en los lados que ofrecen la Z idel tipo k. [ 11 ]

Frecuencia de funcionamiento

Para la sección de paso bajo mostrada, la frecuencia de corte del tipo m es la misma que la del tipo k y viene dada por

ωdo=1Ldo.{\displaystyle \omega _{c}={\frac {1}{\sqrt {LC}}}.}

El polo de atenuación se produce en:

ω∞=ωdo1−metro2.{\displaystyle \omega _{\infty }={\frac {\omega _{c}}{\sqrt {1-m^{2}}}}.}

De esto se deduce que valores más pequeños de m produciránω∞{\displaystyle \omega _ {\infty }}más cerca de la frecuencia de corteωdo{\displaystyle \omega _ {c}\,\!}y, por lo tanto, tendrá un corte más pronunciado. A pesar de este corte, también acerca la respuesta de banda de rechazo no deseada del tipo m a la frecuencia de corte, lo que dificulta su filtrado con secciones posteriores. El valor de m elegido suele ser un compromiso entre estos requisitos contradictorios. También existe un límite práctico para el valor mínimo de m debido a la resistencia inherente de los inductores. Esto tiene el efecto de hacer que el polo de atenuación sea menos profundo (es decir, ya no es un polo genuinamente infinito) y que la pendiente de corte sea menos pronunciada. Este efecto se vuelve más marcado a medida queω∞{\displaystyle \omega _ {\infty }}se acerca másωdo{\displaystyle \omega _ {c}\,\!}y deja de haber mejora alguna en la respuesta con un m de aproximadamente 0,2 o menos. [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]

impedancia de imagen

Filtro paso bajo en derivación prototipo derivado de m. Impedancia de imagen Z iTm para varios valores de m . Solo se muestran los valores por debajo de la frecuencia de corte para mayor claridad.

Las siguientes expresiones para las impedancias de imagen están todas referenciadas a la sección prototipo de paso bajo. Están escaladas a la impedancia nominal R 0 = 1, y las frecuencias en esas expresiones están todas escaladas a la frecuencia de corte ω c = 1.

Secciones de la serie

Las impedancias de imagen de la sección en serie vienen dadas por [ 14 ].

ZiT=1−ω2{\displaystyle Z_{iT}={\sqrt {1-\omega ^{2}}}}

y es la misma que la de la sección k constante

ZiΠmetro=1−(ω/ω∞)21−ω2.{\displaystyle Z_{i\Pi m}={\frac {1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}.}

Secciones de derivación

Las impedancias de imagen de la sección de derivación vienen dadas por [ 11 ].

ZiΠ=11−ω2{\displaystyle Z_{i\Pi }={\frac {1}{\sqrt {1-\omega ^{2}}}}}

y es la misma que la de la sección k constante

ZiTmetro=1−ω21−(ω/ω∞)2{\displaystyle Z_{iTm}={\frac {\sqrt {1-\omega ^{2}}}{1-\left(\omega /\omega _{\infty }\right)^{2}}}}

Al igual que en la sección de tipo k, la impedancia de imagen de la sección de paso bajo de tipo m es puramente real por debajo de la frecuencia de corte y puramente imaginaria por encima de ella. En el gráfico se puede observar que, en la banda de paso, la adaptación de impedancia más cercana a una terminación de resistencia pura constante se produce aproximadamente en m = 0,6. [ 14 ]

Parámetros de transmisión

Función de transferencia de filtro paso bajo derivada de m para una sola media sección

Para una sección derivada de m, en general los parámetros de transmisión para una media sección vienen dados por [ 14 ].

γ=sinh−1⁡metroZk2+(1−metro2)Z2{\displaystyle \gamma =\sinh ^{-1}{\frac {mZ}{\sqrt {k^{2}+(1-m^{2})Z^{2}}}}}

y para n semi-secciones

γnorte=norteγ{\displaystyle \gamma _ {n}=n\gamma \,\!}

Para el ejemplo particular de la sección L de paso bajo, los parámetros de transmisión se resuelven de manera diferente en tres bandas de frecuencia. [ 14 ]

Para0<ω<ωdo{\displaystyle 0<\omega <\omega _ {c}\,\!}La transmisión es sin pérdidas:

γ=α+iβ=0+i12porque−1⁡(1−2metro2(ωdoω)2−(ωdoω∞)2){\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta =0+i{\frac {1}{2}}\cos ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)}

Paraωdo<ω<ω∞{\displaystyle \omega _{c}<\omega <\omega _{\infty }}Los parámetros de transmisión son

γ=α+iβ=12aporrear−1⁡(2metro2(ωdoω)2−(ωdoω∞)2−1)+iπ2{\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left({\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}-1\right)+i{\frac {\pi }{2}}}

Paraω∞<ω<∞{\displaystyle \omega _{\infty }<\omega <\infty }Los parámetros de transmisión son

γ=α+iβ=12aporrear−1⁡(1−2metro2(ωdoω)2−(ωdoω∞)2)+i0{\displaystyle \gamma =\alpha +i\beta ={\frac {1}{2}}\cosh ^{-1}\left(1-{\frac {2m^{2}}{\left({\frac {\omega _{c}}{\omega }}\right)^{2}-\left({\frac {\omega _{c}}{\omega _{\infty }}}\right)^{2}}}\right)+i0}

transformaciones prototipo

Las gráficas mostradas de impedancia de imagen, atenuación y cambio de fase corresponden a una sección de filtro prototipo de paso bajo . El prototipo tiene una frecuencia de corte de ωc = 1 rad/s y una impedancia nominal R₀ = 1 Ω. Esto se produce mediante una semisección de filtro donde L = 1 henrio y C = 1 faradio. Este prototipo puede escalarse en impedancia y frecuencia a los valores deseados. El prototipo de paso bajo también puede transformarse en filtros de paso alto, paso banda o rechazo de banda mediante la aplicación de transformaciones de frecuencia adecuadas . [ 15 ]

Secciones en cascada

Varias semisecciones L pueden conectarse en cascada para formar un filtro compuesto . En estas combinaciones, las impedancias iguales siempre deben enfrentarse entre sí. Por lo tanto, existen dos circuitos que pueden formarse con dos semisecciones L idénticas. Cuando Z iTse enfrenta a Z iT, la sección se denomina Πsección T. Cuando Z iΠse enfrenta a Z, iΠla sección formada es una sección T. La adición de semisecciones adicionales a cualquiera de estas forma una red en escalera que puede comenzar y terminar con elementos en serie o en paralelo. [ 16 ]

Debe tenerse en cuenta que las características del filtro predichas por el método de la imagen solo son precisas si la sección termina con su impedancia imagen. Esto no suele ser cierto para las secciones de los extremos, que generalmente terminan con una resistencia fija. Cuanto más alejada esté la sección del extremo del filtro, más precisa será la predicción, ya que los efectos de las impedancias de terminación quedan enmascarados por las secciones intermedias. Es habitual proporcionar secciones de media longitud en los extremos del filtro con m = 0,6, ya que este valor proporciona la impedancia Z más plana ien la banda de paso y, por lo tanto, la mejor adaptación a una terminación resistiva. [ 17 ]

Véase también

Referencias

  1. ↑ Belevitch, V , "Resumen de la historia de la teoría de circuitos", Actas del IRE , vol 50 , núm. 5, págs. 849, mayo de 1962.
  2. ↑ Bray, J., Innovación y la revolución de las comunicaciones , pág. 62, Instituto de Ingenieros Eléctricos, 2002 ISBN 0-85296-218-5.
  3. ↑ Zobel, págs. 16–19.
  4. ↑ Zobel, OJ, Filtros de ondas eléctricas , patente estadounidense 1,850,146 , págs. 2–3, presentada el 25 de noviembre de 1930, emitida el 22 de marzo de 1932.
  5. ↑ Zobel, OJ, Red de terminación para filtros , patente estadounidense 1,557,229 , presentada el 30 de abril de 1920, emitida el 13 de octubre de 1925.
  6. ↑ Campbell, GA, "Teoría física del filtro de ondas eléctricas", Bell System Tech J , noviembre de 1922, vol. 1, n.º 2, págs. 1-32.
  7. ↑ Zobel, OJ, Teoría y diseño de filtros de ondas eléctricas uniformes y compuestos , Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.
  8. ↑ Roberto Sorrentino, Simulación y diseño de filtros electrónicos , pág. 57, McGraw-Hill Professional, 2007 ISBN 0-07-149467-7.
  9. ↑ Matthaei, pág. 64.
  10. ↑ Matthaei, pág. 66.
  11. 1 2 3 Matthaei, pág. 65.
  12. ↑ Bode, Hendrik W., Filtro de onda , patente estadounidense 2,002,216 , pág. 1, cap. 1, líneas 14-26, presentada el 7 de junio de 1933, emitida el 21 de mayo de 1935.
  13. ↑ Alan Keith Walton, Análisis y práctica de redes , págs. 197, 203, Cambridge University Press, 1987 ISBN 0-521-31903-X.
  14. 1 2 3 4 Matthaei, pág. 63.
  15. ^ Matthaei, págs. 60–61 (LPF), 412 (HPF), 438-439 (BPF).
  16. ↑ Diario de radio de Redifon, 1970 , págs. 45–48, William Collins Sons & Co, 1969.
  17. ↑ Matthaei, págs. 72–74.

Bibliografía

  • Mathaei, Young, Jones, Filtros de microondas, redes de adaptación de impedancia y estructuras de acoplamiento, McGraw-Hill, 1964 (la edición de 1980 es ISBN). 0-89006-099-1).
  • Para un tratamiento más sencillo del análisis, véase:
  • Ghosh, Smarajit, Teoría de redes: análisis y síntesis , Prentice Hall of India, págs. 564–569 , 2005 ISBN 81-203-2638-5.