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Promedio

En matemáticas , el promedio de un conjunto o grupo es un valor que es el más central, común o típico en algún sentido, y representa su posición general . En matemáticas, se ref...

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En matemáticas , el promedio de un conjunto o grupo es un valor que es el más central, común o típico en algún sentido, y representa su posición general . En matemáticas, se refiere más comúnmente a la media aritmética , pero también puede referirse a otras medidas como otros tipos de media , la mediana o la moda .

La media es una cantidad que representa el "centro" de un conjunto de números y se sitúa entre los valores extremos de dicho conjunto. [ 1 ] En matemáticas , especialmente en estadística , existen varios tipos de medias (o "medidas de tendencia central "). Cada una intenta resumir o caracterizar un grupo de datos determinado , ilustrando la magnitud y el signo del conjunto . La elección de la medida más adecuada depende de lo que se mida, así como del contexto y el propósito. [ 2 ]

Definiciones

Representación de la media aritmética , la mediana y la moda de un conjunto de 250 puntos. La curva negra representa la distribución teórica utilizada para generar los puntos, mientras que el histograma gris muestra la distribución real.
Cuatro medias de dos números, a y b, construidas como cuerdas en un semicírculo. Las medias aritmética, geométrica y armónica se conocen a veces como « medias pitagóricas ». [ 3 ] Este tipo de construcción resalta el orden de los valores de las diferentes medias.

La definición más comúnmente utilizada del promedio es la media aritmética , [ 4 ] también conocida como "promedio aritmético", es decir, la suma dividida por el recuento, por lo que el "promedio" de la lista de números [2, 3, 4, 7, 9] generalmente se considera (2+3+4+7+9)/5 = 25/5 = 5. La media aritmética de un conjunto de números x 1 , x 2 , ..., x n se denota típicamente usando una barra superior ,incógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}. [ nota 1 ] Si los números provienen de la observación de una muestra de un grupo más grande , la media aritmética se denomina media muestral (incógnita¯{\displaystyle {\bar {x}}}) para distinguirlo de la media del grupo (o valor esperado ) de la distribución subyacente, denotadaμ{\displaystyle \mu }oμincógnita{\displaystyle \mu _{x}}. [ nota 2 ] [ 5 ]

Sin embargo, a veces se utilizan otros significados según el contexto, lo que puede generar confusión; por ejemplo, en la enseñanza, "promedio" a veces se refiere a "las tres M": media , mediana y moda . [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]

La mediana , definida como el valor central tras ordenar el grupo, se utiliza habitualmente como promedio en situaciones donde los datos están sesgados o presentan valores atípicos , con el fin de centrarse en la parte principal del grupo en lugar de en la cola larga . Por ejemplo, el ingreso personal promedio se suele expresar como el ingreso mediano , de modo que representa a la mayoría de la población en lugar de estar excesivamente influenciado por los ingresos mucho más elevados de unos pocos ricos. [ 13 ]

La media armónica , definida como el recíproco de la media de los recíprocos, se utiliza en diversas situaciones que involucran tasas o proporciones , como el cálculo de la velocidad promedio a partir de múltiples mediciones tomadas sobre la misma distancia . [ 14 ] De hecho, a diferencia de una media aritmética o mediana de velocidades, una media armónica de velocidades dará el valor de la velocidad constante que haría que uno recorriera la misma distancia en la misma cantidad de tiempo.

La moda representa el valor más común encontrado en el grupo. Se puede utilizar cuando los datos son categóricos en lugar de numéricos , [ 15 ] cuando la frecuencia de cada valor es relevante (como cuando se hace referencia a un histograma , un gráfico de barras o una función de densidad de probabilidad ), [ 16 ] o para encontrar un valor que represente a la mayoría del grupo. [ 17 ]

Otras estadísticas que pueden utilizarse como promedio incluyen el rango medio , la media cuadrática o la media geométrica , pero rara vez se las denomina "el promedio".

Tendencia central

En estadística , una medida de tendencia central es un valor central o típico de una distribución de probabilidad . [ 18 ] De manera informal, las medidas de tendencia central suelen denominarse «promedios». El término « tendencia central» data de finales de la década de 1920. [ 19 ]

Las medidas de tendencia central más comunes son la media aritmética , la mediana y la moda . Se puede calcular una tendencia central para un conjunto finito de valores o para una distribución teórica, como la distribución normal . En ocasiones, los autores utilizan el término tendencia central para referirse a "la tendencia de los datos cuantitativos a agruparse alrededor de un valor central". [ 19 ] [ 20 ]

La tendencia central de una distribución se suele contrastar con su dispersión o variabilidad ; la dispersión y la tendencia central son las propiedades que caracterizan con mayor frecuencia a las distribuciones. El análisis puede determinar si los datos presentan una tendencia central fuerte o débil en función de su dispersión.

Propiedades generales

Todos los promedios de una colección se encuentran dentro de su cuadro delimitador (y, por lo tanto, para los números reales, entre su máximo y su mínimo ). Por consiguiente, si una colección consta enteramente del mismo valor, cualquier promedio de la misma es ese valor. [ 21 ]

La mayoría de los promedios [ a ] son ​​monótonos , es decir, mover un miembro de ellos en una dirección hace que el promedio se mueva en la misma dirección, o equivalentemente, si dos colecciones de números A y B tienen el mismo número de elementos , y se pueden ordenar de tal manera que cada entrada en A ≥ la entrada correspondiente en B , entonces el promedio de A ≥ el promedio de B.

Todos los promedios de uso común son linealmente homogéneos , es decir, al multiplicar cada valor por el mismo factor de escala , el promedio se multiplica por ese mismo factor de escala.

La mayoría de los promedios [ b ] permanecen idénticos cuando se permuta la lista de elementos , es decir, el orden no importa.

Ubicación estadística

Comparación de la media aritmética , la mediana y la moda de dos distribuciones asimétricas ( log-normales ).
Visualización geométrica de la moda, la mediana y la media de una función de densidad de probabilidad arbitraria [ 22 ]

En estadística descriptiva , la media puede confundirse con la mediana , la moda o el rango medio , ya que cualquiera de ellas se denomina coloquialmente "promedio" (más formalmente, una medida de tendencia central ). La media de un conjunto de observaciones es el promedio aritmético de los valores; sin embargo, para distribuciones asimétricas , la media no es necesariamente igual al valor central (mediana) ni al valor más probable (moda). Por ejemplo, el ingreso medio suele estar sesgado al alza por un pequeño número de personas con ingresos muy altos, de modo que la mayoría tiene un ingreso inferior a la media. Por el contrario, el ingreso mediano es el nivel en el que la mitad de la población se encuentra por debajo y la otra mitad por encima. El ingreso modal es el ingreso más probable y favorece al mayor número de personas con ingresos más bajos. Si bien la mediana y la moda suelen ser medidas más intuitivas para este tipo de datos asimétricos, muchas distribuciones asimétricas se describen mejor mediante su media, incluidas las distribuciones exponencial y de Poisson .

Media de una distribución de probabilidad

La media de una distribución de probabilidad es el valor promedio aritmético a largo plazo de una variable aleatoria que tiene esa distribución. Si la variable aleatoria se denota porincógnita{\displaystyle X}, entonces la media también se conoce como el valor esperado deincógnita{\displaystyle X}(denotadomi(incógnita){\displaystyle E(X)}). Para una distribución de probabilidad discreta , la media viene dada por∑incógnitaPAG(incógnita){\displaystyle \textstyle \sum xP(x)}, donde la suma se toma sobre todos los valores posibles de la variable aleatoria yPAG(incógnita){\displaystyle P(x)}es la función de probabilidad de masa . Para una distribución continua , la media es∫−∞∞incógnitaF(incógnita)dincógnita{\displaystyle \textstyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,dx}, dóndeF(incógnita){\displaystyle f(x)}es la función de densidad de probabilidad . [ 23 ] En todos los casos, incluidos aquellos en los que la distribución no es ni discreta ni continua, la media es la integral de Lebesgue de la variable aleatoria con respecto a su medida de probabilidad . La media no tiene por qué existir o ser finita; para algunas distribuciones de probabilidad la media es infinita ( + ∞ o − ∞ ), mientras que para otras la media no está definida .

Relaciones entre la media, la mediana y la moda

Para distribuciones unimodales se conocen los siguientes límites, que son precisos: [ 24 ]

|θ−μ|σ≤3,{\displaystyle {\frac {|\theta -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}
|ν−μ|σ≤0,6,{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {0.6}},}
|θ−ν|σ≤3,{\displaystyle {\frac {|\theta -\nu |}{\sigma }}\leq {\sqrt {3}},}

donde μ es la media, ν es la mediana, θ es la moda y σ es la desviación estándar.

Para cada distribución, [ 25 ] [ 26 ]

|ν−μ|σ≤1.{\displaystyle {\frac {|\nu -\mu |}{\sigma }}\leq 1.}

Promedios posibles

Aunque tal vez no sea un promedio, elτ{\displaystyle \tau }El cuantil (otra estadística descriptiva que generaliza la mediana) puede expresarse de manera similar como una solución al problema de optimización.

argininaincógnita∈R∑i=1nortemáximo((1−τ)(incógnitai−incógnita),τ(incógnita−incógnitai))=argininaincógnita∈R∑i=1norte(|incógnita−incógnitai|+(1−2τ)incógnita){\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}\max {\big (}(1-\tau )(x_{i}-x),\,\tau (x-x_{i}){\big )}={\underset {x\in \mathbb {R} }{\operatorname {argmin} }}\,\sum _{i=1}^{n}{\big (}|x-x_{i}|+(1-2\tau )\,x{\big )}},

cuyo objetivo es minimizar la pérdida total del valor absoluto inclinado (o pérdida de cuantil o pérdida de pinball ).

Otros promedios más sofisticados son: el trimmore sophistieano , el trimediano y la media normalizada , con sus generalizaciones. [ 27 ]

De forma más general, se puede crear una métrica promedio propia utilizando la media f generalizada :

y=F−1(1norte[F(incógnita1)+F(incógnita2)+⋯+F(incógnitanorte)]){\displaystyle y=f^{-1}\left({\frac {1}{n}}\left[f(x_{1})+f(x_{2})+\cdots +f(x_{n})\right]\right)}

donde f es cualquier función invertible. La media armónica es un ejemplo de esto usando f ( x ) = 1/ x , y la media geométrica es otro, usando f ( x ) = log x . 

Sin embargo , este método para generar medias no es lo suficientemente general como para abarcar todos los promedios. Un método más general [28] para definir un promedio toma cualquier función g(x₁ , x₂ , ... , xn ) de una lista de argumentos que sea continua , estrictamente creciente en cada argumento y simétrica (invariante bajo permutación de los argumentos). El promedio y es entonces el valor que, al reemplazar cada miembro de la lista, resulta en el mismo valor de la función: g ( y , y , ..., y) = g(x₁, x₂, ..., xn) . Esta definición más general aún captura la propiedad importante de todos los promedios de que el promedio de una lista de elementos idénticos es ese elemento mismo. La función g ( x₁ , x₂ , ... , xn ) = x₁ + x₂ + ... + xn proporciona la media aritmética . La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = x 1 x 2 ··· x n (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media geométrica. La función g ( x 1 , x 2 , ..., x n ) = ( x 1 −1 + x 2 −1 + ··· + x n −1 ) −1 ) (donde los elementos de la lista son números positivos) proporciona la media armónica. [ 28 ]   

Pitagórico significa

En matemáticas, las tres medias pitagóricas clásicas son la media aritmética (MA), la media geométrica (MG) y la media armónica (MH). Estas medias fueron estudiadas con proporciones por los pitagóricos y generaciones posteriores de matemáticos griegos [ 29 ] debido a su importancia en geometría y música.

Relación entre AM, GM y HM

Demostración sin palabras de la desigualdad AM–GM : PR es el diámetro de un círculo centrado en O; su radio AO es la media aritmética de a y b . El triángulo PGR es un triángulo rectángulo según el teorema de Tales , lo que permite utilizar el teorema de la media geométrica para demostrar que su altura GQ es la media geométrica . Para cualquier razón a : b , AO ≥ GQ.

AM, GM y HM de números reales no negativos satisfacen estas desigualdades: [ 30 ]

AMETRO≥GRAMOMETRO≥HMETRO{\displaystyle \mathrm {AM} \geq \mathrm {GM} \geq \mathrm {HM} \,}

La igualdad se cumple si todos los elementos de la muestra dada son iguales.

Poder significa

La media generalizada, también conocida como media potencial o media de Hölder, abstrae varias otras medias. Se define para números positivos.incógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}por [ 1 ]

METROpag(incógnita1,…,incógnitanorte)=(1norte∑i=1norteincógnitaipag)1/pag.{\displaystyle M_{p}(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{p}\right)^{1/p}.}

Esto, en función depag{\displaystyle p}, está bien definido enR∖{0}{\displaystyle \mathbb {R} \setminus \{0\}}pero puede extenderse continuamente aR∪{−∞,+∞}{\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty ,+\infty \}}. [ 31 ] Al elegir diferentes valores parapag{\displaystyle p}Se recurre a otros medios bien conocidos.

Media cuasi-aritmética

Un enfoque similar a la media potencial es elF{\displaystyle f}-media, también conocida como media cuasi-aritmética. Para una función inyectivaF:I→R{\displaystyle f\colon I\rightarrow \mathbb {R} }a intervalosI⊂R{\displaystyle I\subset \mathbb {R} }y números realesincógnita1,…,incógnitanorte∈I{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}\in I}nosotros definimos suF{\displaystyle f}-significa como

METROF(incógnita1,…,incógnitanorte)=F−1(1norte∑i=1norteF(incógnitai)).{\displaystyle M_{f}(x_{1},\dots ,x_{n})=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{f\left(x_{i}\right)}}\right).}

Al elegir diferentes funcionesF{\displaystyle f}Se recurre a otros medios bien conocidos.

Media aritmética ponderada

La media aritmética ponderada (o promedio ponderado) se utiliza cuando se desea combinar valores promedio de muestras de diferentes tamaños de la misma población, y se define mediante [ 1 ].

incógnita¯=∑i=1nortewiincógnitai∑i=1nortewi,{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}w_{i}}},}

dóndeincógnitai{\displaystyle x_{i}}ywi{\displaystyle w_{i}}son la media y el tamaño de la muestrai{\displaystyle i}respectivamente. En otras aplicaciones, representan una medida de la fiabilidad de la influencia de los valores respectivos sobre la media.

Media truncada

En ocasiones, un conjunto de números puede contener valores atípicos . A menudo, estos valores atípicos son datos erróneos causados ​​por artefactos . En este caso, se puede utilizar la media truncada . Esta consiste en descartar ciertas partes de los datos en los extremos superior e inferior, generalmente una cantidad igual en cada extremo, y luego calcular la media aritmética de los datos restantes. Un ejemplo específico de media truncada es la media intercuartil .

Media de una función

En ciertas circunstancias, los matemáticos pueden calcular la media de un conjunto infinito (o incluso incontable ) de valores. Esto puede ocurrir al calcular el valor medio.ypromedio{\displaystyle y_{\text{avg}}}de una funciónF(incógnita){\displaystyle f(x)}Intuitivamente, la media de una función puede entenderse como el cálculo del área bajo una sección de una curva, dividido luego por la longitud de dicha sección. Esto puede hacerse de forma aproximada contando cuadrados en papel cuadriculado, o de forma más precisa mediante la integración . La fórmula de integración se escribe como:

ypromedio(a,b)=1b−a∫abF(incógnita)dincógnita.{\displaystyle y_{\text{avg}}(a,b)={\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx.}

En este caso, hay que tener cuidado para asegurar que la integral converja. Pero la media puede ser finita incluso si la función tiende a infinito en algunos puntos.

Media de ángulos y cantidades cíclicas

Los ángulos , las horas del día y otras cantidades cíclicas requieren aritmética modular para sumar y combinar números. Estas cantidades se pueden promediar utilizando la media circular . En todas estas situaciones, es posible que no exista una media, por ejemplo, si todos los puntos que se promedian son equidistantes. Consideremos una rueda de colores : no hay una media para el conjunto de todos los colores. Además, puede que no haya una media única para un conjunto de valores: por ejemplo, al promediar puntos en un reloj, la media de las posiciones de las 11:00 y las 13:00 es las 12:00, pero esta posición es equivalente a la de las 00:00.

Fréchet significa

La media de Fréchet proporciona un método para determinar el "centro" de una distribución de masa en una superficie o, más generalmente, en una variedad riemanniana . A diferencia de muchas otras medias, la media de Fréchet se define en un espacio cuyos elementos no necesariamente pueden sumarse ni multiplicarse por escalares.

Centro de un triángulo

En geometría, existen miles de definiciones diferentes para el centro de un triángulo que pueden interpretarse como la media de un conjunto triangular de puntos en el plano. [ 32 ]

La regla de Swanson

Esta es una aproximación a la media para una distribución moderadamente asimétrica. [ 33 ] Se utiliza en la exploración de hidrocarburos y se define como:

metro=0,3PAG10+0,4PAG50+0,3PAG90{\displaystyle m=0.3P_{10}+0.4P_{50}+0.3P_{90}}

dóndePAG10{\textstyle P_{10}},PAG50{\textstyle P_{50}}yPAG90{\textstyle P_{90}}son los percentiles 10, 50 y 90 de la distribución, respectivamente.

Media móvil

Dada una serie temporal , como los precios diarios del mercado de valores o las temperaturas anuales, a menudo se busca crear una serie más suave. [ 34 ] Esto ayuda a mostrar tendencias subyacentes o quizás comportamientos periódicos. Una forma sencilla de hacerlo es mediante la media móvil : se elige un número n y se crea una nueva serie tomando la media aritmética de los primeros n valores, luego avanzando un lugar eliminando el valor más antiguo e introduciendo un nuevo valor en el otro extremo de la lista, y así sucesivamente. Esta es la forma más simple de media móvil. Las formas más complejas implican el uso de una media ponderada . La ponderación se puede usar para realzar o suprimir diversos comportamientos periódicos y existe un análisis extenso sobre qué ponderaciones usar en la literatura sobre filtrado . En el procesamiento digital de señales, el término "media móvil" se usa incluso cuando la suma de las ponderaciones no es 1.0 (por lo que la serie de salida es una versión escalada de las medias). [ 35 ] La razón de esto es que el analista generalmente solo está interesado en la tendencia o el comportamiento periódico.

Soluciones a problemas variacionales

Varias medidas de tendencia central pueden caracterizarse como la resolución de un problema variacional, en el sentido del cálculo de variaciones , es decir, la minimización de la variación respecto al centro. Esto significa que, dada una medida de dispersión estadística , se busca una medida de tendencia central que minimice la variación: de modo que la variación respecto al centro sea mínima entre todas las opciones de centro. En un dicho popular, "la dispersión precede a la ubicación". Estas medidas se definen inicialmente en una dimensión, pero pueden generalizarse a múltiples dimensiones. Este centro puede ser único o no. En el sentido de los espacios L p , la correspondencia es:

Las funciones asociadas se denominan p -normas : respectivamente 0-"norma", 1-norma, 2-norma e ∞-norma. La función correspondiente al espacio L 0 no es una norma y, por lo tanto, a menudo se la denomina entre comillas: 0-"norma".

En ecuaciones, para un conjunto de datos X dado (finito) , considerado como un vector x = ( x 1 ,…, x n ) , la dispersión alrededor de un punto c es la "distancia" de x al vector constante c = ( c ,…, c ) en la norma p (normalizada por el número de puntos n ):

Fpag(do)=‖incógnita−do‖pag:=(1norte∑i=1norte|incógnitai−do|pag)1/pag{\displaystyle f_{p}(c)=\left\|\mathbf {x} -\mathbf {c} \right\|_{p}:={\bigg (}{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\left|x_{i}-c\right|^{p}{\bigg )}^{1/p}}

Para p = 0 y p = ∞, estas funciones se definen tomando límites, respectivamente, cuando p → 0 y p → ∞ . Para p = 0, los valores límite son 0 0 = 0 y a 0 = 1 para a ≠ 0 , por lo que la diferencia se convierte simplemente en igualdad, de modo que la norma 0 cuenta el número de puntos desiguales . Para p = ∞, el número mayor predomina, y por lo tanto la norma ∞ es la diferencia máxima.

Unicidad

La media ( centro L2 ) y el punto medio ( centro L∞ ) son únicos (cuando existen), mientras que la mediana ( centro L1 ) y la moda ( centro L0 ) no son , en general , únicas. Esto puede entenderse en términos de la convexidad de las funciones asociadas ( funciones coercitivas ).

La norma 2 y la norma ∞ son estrictamente convexas , por lo que (mediante optimización convexa) el minimizador es único (si existe) y existe para distribuciones acotadas. Por lo tanto, la desviación estándar respecto a la media es menor que la desviación estándar respecto a cualquier otro punto, y la desviación máxima respecto al punto medio es menor que la desviación máxima respecto a cualquier otro punto.

La norma L1 no es estrictamente convexa, mientras que la convexidad estricta es necesaria para garantizar la unicidad del minimizador. En consecuencia, la mediana (en este sentido de minimización) no es única en general, y de hecho, cualquier punto entre los dos puntos centrales de una distribución discreta minimiza la desviación absoluta media.

La norma 0 no es convexa (por lo tanto, no es una norma). De igual modo, la moda no es única; por ejemplo, en una distribución uniforme, cualquier punto puede ser la moda.

Agrupación

En lugar de un único punto central, se pueden solicitar múltiples puntos de manera que se minimice la variación respecto a estos. Esto da lugar al análisis de conglomerados , donde cada punto del conjunto de datos se agrupa con el "centro" más cercano. Generalmente, el uso de la norma 2 generaliza la media al agrupamiento k -medias , mientras que el uso de la norma 1 generaliza la mediana (geométrica) al agrupamiento k -medianas . El uso de la norma 0 simplemente generaliza la moda (valor más frecuente) utilizando los k valores más frecuentes como centros.

A diferencia de las estadísticas de un solo centro, esta agrupación multicéntrica no se puede calcular en general mediante una expresión cerrada , sino que debe calcularse o aproximarse mediante un método iterativo ; un enfoque general son los algoritmos de expectativa-maximización .

Geometría de la información

La noción de "centro" como minimizador de la variación puede generalizarse en geometría de la información como una distribución que minimiza la divergencia (una distancia generalizada) de un conjunto de datos. El caso más común es la estimación de máxima verosimilitud , donde la estimación de máxima verosimilitud (EMV) maximiza la verosimilitud (minimiza la sorpresa esperada ), lo que puede interpretarse geométricamente utilizando la entropía para medir la variación: la EMV minimiza la entropía cruzada (o, equivalentemente, la entropía relativa , la divergencia de Kullback-Leibler).

Un ejemplo sencillo de esto se aplica al centro de datos nominales: en lugar de usar la moda (el único "centro" de valor único), se suele utilizar la medida empírica (la distribución de frecuencia dividida por el tamaño de la muestra ) como "centro". Por ejemplo, dados datos binarios , digamos cara o cruz, si un conjunto de datos consta de 2 caras y 1 cruz, entonces la moda es "cara", pero la medida empírica es 2/3 caras, 1/3 cruces, lo que minimiza la entropía cruzada (sorpresa total) del conjunto de datos. Esta perspectiva también se utiliza en el análisis de regresión , donde los mínimos cuadrados encuentran la solución que minimiza las distancias a ella, y de forma análoga en la regresión logística , una estimación de máxima verosimilitud minimiza la sorpresa (distancia de información).

Historia

Origen

La primera vez que se registró que la media aritmética se extendió de 2 a n casos para su uso en estimaciones fue en el siglo XVI. Desde finales del siglo XVI en adelante, se convirtió gradualmente en un método común para reducir los errores de medición en diversas áreas. [ 36 ] [ 37 ] En ese momento, los astrónomos querían conocer un valor real a partir de mediciones ruidosas, como la posición de un planeta o el diámetro de la luna. Utilizando la media de varios valores medidos, los científicos asumieron que los errores sumaban un número relativamente pequeño en comparación con el total de todos los valores medidos. El método de tomar la media para reducir los errores de observación se desarrolló principalmente en astronomía. [ 36 ] [ 38 ] Un posible precursor de la media aritmética es el rango medio (la media de los dos valores extremos), utilizado, por ejemplo, en la astronomía árabe de los siglos IX al XI, pero también en metalurgia y navegación. [ 37 ]

Sin embargo, existen varias referencias antiguas y vagas al uso de la media aritmética (que no son tan claras, pero que razonablemente podrían estar relacionadas con nuestra definición moderna de la media). En un texto del siglo IV, se escribió que (el texto entre corchetes es un posible texto faltante que podría aclarar el significado): [ 39 ]

En primer lugar, debemos disponer en una fila la secuencia de números desde la mónada hasta el nueve: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Luego debemos sumar la cantidad de todos ellos, y como la fila contiene nueve términos, debemos buscar la novena parte del total para ver si ya está presente de forma natural entre los números de la fila; y encontraremos que la propiedad de ser [una] novena [de la suma] pertenece únicamente a la media [aritmética] misma...

Existen referencias potenciales aún más antiguas. Hay registros que indican que, alrededor del año 700 a. C., los comerciantes y transportistas acordaron que los daños a la carga y al barco (su "contribución" en caso de daños por el mar) debían repartirse equitativamente entre ellos. [ 38 ] Esto podría haberse calculado utilizando el promedio, aunque no parece haber un registro directo del cálculo.

Etimología

La raíz se encuentra en árabe como عوار ʿawār , un defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada, incluyendo mercancía parcialmente estropeada; y عواري ʿawārī (también عوارة ʿawāra ) = "de o relacionado con ʿawār , un estado de daño parcial". [ g ] Dentro de las lenguas occidentales, la historia de la palabra comienza en el comercio marítimo medieval en el Mediterráneo. En Génova, en los siglos XII y XIII, el latín avaria significaba "daño, pérdida y gastos no normales que surgen en relación con un viaje marítimo mercante"; y el mismo significado para avaria se encuentra en Marsella en 1210, Barcelona en 1258 y Florencia a finales del siglo XIII. [ h ] El término francés del siglo XV , avarie, tenía el mismo significado, y dio origen a los términos ingleses "averay" (1491) y "average" (1502) con el mismo significado. Hoy en día, los términos italianos avaria , catalanes avaria y franceses avarie aún conservan el significado principal de "daño". La transformación del significado en inglés comenzó en los contratos de derecho marítimo mercante occidental de finales de la Edad Media y principios de la Edad Moderna, según los cuales, si el barco se encontraba con una fuerte tormenta y parte de la mercancía debía arrojarse por la borda para aligerarla y hacerla más segura, todos los comerciantes cuyas mercancías estuvieran a bordo debían sufrir proporcionalmente (y no aquellos cuyas mercancías se arrojaran por la borda); y, en general, debía haber una distribución proporcional de cualquier avaria . A partir de ahí, la palabra fue adoptada por aseguradores, acreedores y comerciantes británicos para referirse a sus pérdidas como distribuidas entre toda su cartera de activos y con una proporción media. [ h ] [ 40 ]

Los daños marítimos pueden ser avería particular , que recae únicamente sobre el propietario del bien dañado, o avería gruesa , en cuyo caso el propietario puede reclamar una contribución proporcional de todas las partes involucradas en la operación marítima. El tipo de cálculos utilizados para ajustar la avería gruesa dio origen al uso del término «promedio» como sinónimo de «media aritmética».

Un segundo uso en inglés, documentado ya en 1674 y a veces escrito "averish", se refiere a los residuos y el segundo crecimiento de los cultivos de campo, que se consideraban aptos para el consumo de animales de tiro ("avers"). [ 41 ]

Existe un uso anterior (al menos del siglo XI), aunque no relacionado, de la palabra. Parece ser un antiguo término legal para referirse a la obligación de un arrendatario de prestarle trabajo diario a un sheriff, probablemente anglicizado a partir de "avera", que se encuentra en el Libro de Domesday inglés (1085).

Sin embargo, el Oxford English Dictionary afirma que las derivaciones del alemán hafen (refugio) y del árabe ʿawâr (pérdida, daño) han sido "completamente descartadas" y que la palabra tiene un origen romance. [ 42 ]

Los promedios como herramienta retórica

Debido a la naturaleza coloquial del término "promedio", este puede usarse para oscurecer el verdadero significado de los datos y sugerir respuestas distintas a las preguntas según el método de cálculo (con mayor frecuencia la media aritmética, la mediana o la moda). En su artículo "Framed for Lying: Statistics as In/Artistic Proof" (Acusados ​​de mentir: La estadística como prueba intrínseca/artística), Daniel Libertz, profesor de la Universidad de Pittsburgh , comenta que la información estadística se descarta con frecuencia en los argumentos retóricos por este motivo. [ 43 ] Sin embargo, debido a su poder persuasivo, los promedios y otros valores estadísticos no deben descartarse por completo, sino que deben usarse e interpretarse con cautela. Libertz nos invita a analizar críticamente no solo la información estadística, como los promedios, sino también el lenguaje utilizado para describir los datos y sus usos, afirmando: "Si las estadísticas dependen de la interpretación, los oradores deberían invitar a su audiencia a interpretar en lugar de insistir en una interpretación". [ 43 ] En muchos casos, se proporcionan datos y cálculos específicos para facilitar esta interpretación por parte de la audiencia.

Véase también

Otros medios

Notas

Árabe:

  1. ↑ Una excepción a esto es la moda ; por ejemplo, la moda de [1, 1, 2, 2, 2] es 2, pero la moda de [1, 1, 2, 3, 4] es 1. Además, la mayoría de los tipos de promedios son estrictamente monótonos, pero algunos, como la mediana , la media truncada y la media winsorizada , son solo débilmente monótonos y pueden permanecer iguales después de que algunos de los valores aumenten.
  2. ↑ Entre las excepciones a esto se incluyen los promedios ponderados (si los pesos se asignan por posición) y los promedios móviles (si se considera toda la secuencia o curva resultante). Los promedios móviles suelen calcularse utilizando promedios ponderados por posición.
  3. ↑ A diferencia de las otras medidas, la moda no requiere ninguna geometría en el conjunto y, por lo tanto, se aplica igualmente en una dimensión, en múltiples dimensiones o incluso para variables categóricas .
  4. ↑ La mediana se define únicamente en una dimensión; la mediana geométrica es una generalización multidimensional.
  5. ↑ La media se puede definir de forma idéntica para vectores en múltiples dimensiones que para escalares en una dimensión; la forma multidimensional se suele denominar centroide.
  6. ↑ En múltiples dimensiones, el rango medio se puede definir coordenada por coordenada (tomando el rango medio de cada coordenada), aunque esto no es común.
  7. ↑ El árabe medievaltenía عور ʿawr que significaba "ciego de un ojo" y عوار ʿawār que significaba "cualquier defecto, o cualquier cosa defectuosa o dañada". Algunosdiccionarios de árabe medieval están en Baheth.info Archivado el 29-10-2013 en Wayback Machine , y algunas traducciones al inglés de lo que está en los diccionarios de árabe medieval están en el Léxico árabe-inglés de Lane , páginas 2193 y 2195. Los diccionarios medievales no incluyen la forma de la palabra عوارية ʿawārīa . ʿAwārīa puede formarse naturalmente en la gramática árabe para referirse a cosas que tienen ʿawār , pero en la práctica enlos textos árabes medievales ʿawārīa es una rareza o inexistente, mientras que las formas عواري ʿawārī y عوارة ʿawāra se usan con frecuencia para referirse a cosas que tienen ʿawār o daño; esto se puede ver en la colección de textos medievales que se puede buscar en AlWaraq.net (los enlaces a los libros se pueden hacer clic en el lado derecho).
  8. 1 2 El origen árabe de avaria fue reportado por primera vez por Reinhart Dozy en el siglo XIX. El resumen original de Dozy se encuentra en su libro Glossaire de 1869. Información resumida sobre los primeros registros de la palabra en italiano-latín, italiano, catalán y francés se encuentra en avarie @ CNRTL.fr Archivado el 06-01-2019 en Wayback Machine . El puerto marítimo de Génova es el lugar del registro más antiguo conocido en lenguas europeas, año 1157. Un conjunto de registros latinos medievales de avaria en Génova se encuentra en el léxico descargable Vocabolario Ligure , de Sergio Aprosio, año 2001, avaria en el Volumen 1 páginas 115-116. Muchos más registros en latín medieval en Génova se encuentran en StoriaPatriaGenova.it , generalmente en los plurales avariis y avarias . En el puerto de Marsella, en la primera mitad del siglo XIII, los contratos comerciales notariados contienen docenas de instancias del latín avariis (ablativo plural de avaria ), como se publicó en Blancard en 1884. Información sobre la palabra inglesa a lo largo de los siglos se encuentra en NED (1888) . Véase también la definición de "average" en los diccionarios ingleses publicados a principios del siglo XVIII, es decir, en el período justo antes de la gran transformación del significado: diccionario de Kersey-Phillips (1706) , diccionario de Blount (edición de 1707) , diccionario de Hatton (1712) , diccionario de Bailey (1726) , diccionario de Martin (1749) . Algunas complejidades que rodean la historia de la palabra inglesa se discuten en Hensleigh Wedgwood (1882, página 11) y Walter Skeat (1888, página 781) . Hoy existe consenso en que: (#1) el término inglés actual "average" desciende del italiano medieval avaria , del catalán avaria , y (#2) entre los latinos la palabra avaria surgió en el siglo XII como término del comercio marítimo mediterráneo, y (#3) no se encuentra ninguna raíz para avaria en latín, y (#4) un número considerable de palabras árabes entraron en el italiano, el catalán y el provenzal en los siglos XII y XIII como términos del comercio marítimo mediterráneo, y (#5) el árabe ʿawār | ʿawārī coincide fonéticamente con avaria , ya que la conversión de w a v era regular en latín e italiano, y -iaes un sufijo en italiano, y los registros más antiguos de la palabra occidental se encuentran en lugares de habla italiana (escribiendo en latín). Y la mayoría de los comentaristas coinciden en que (#6) el árabe ʿawār | ʿawārī = "daño | relacionado con el daño" es semánticamente una buena coincidencia con avaria = "daño o gastos por daños". Una minoría de comentaristas ha sido dudosa al respecto, basándose en que los primeros registros de avaria en italiano-latín tienen, en algunos casos, un significado de "un gasto" en un sentido más general – véase TLIO (en italiano) . La opinión mayoritaria es que el significado de "un gasto" fue una expansión de "daño y gastos por daños", y el orden cronológico de los significados en los registros apoya esta opinión, y el significado amplio de "un gasto" nunca fue el más comúnmente utilizado. Sobre la base de los puntos anteriores, se da el paso inferencial de que la palabra latinada proviene o probablemente proviene de la palabra árabe.

Numérico:

  1. ↑ Se pronuncia " x barra".
  2. ↑ Letra griega μ , pronunciada /'mjuː/.
  3. ↑ Para esta columna utilizaremos la flecha de mapeo para denotar una función. Bajo esta notación, la funciónF{\displaystyle f}se denota porincógnita↦F(incógnita){\displaystyle x\mapsto f(x)}.
  4. ↑ La media geométrica está bien definida en[0,+∞[{\displaystyle [0,+\infty [}, pero este enfoque no lo refleja.
  5. ↑ Parametro≠0{\displaystyle m\neq 0}el dominio puede serR{\displaystyle \mathbb {R} }.

Referencias

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