Colinealidad

En geometría , la colinealidad de un conjunto de puntos es la propiedad de que se encuentren sobre una misma línea . ^{[ 1 ]} Un conjunto de puntos con esta propiedad se denomina colineal (a veces escrito como colinear ^{[ 2 ]} ). En términos más generales, el término se ha utilizado para referirse a objetos alineados, es decir, cosas que están "en línea" o "en fila".

Puntos en una línea

En cualquier geometría, se dice que un conjunto de puntos sobre una línea es colineal . En la geometría euclidiana, esta relación se visualiza intuitivamente mediante puntos alineados sobre una "línea recta". Sin embargo, en la mayoría de las geometrías (incluida la euclidiana), una línea suele ser un tipo de objeto primitivo (indefinido) , por lo que tales visualizaciones no siempre son apropiadas. Un modelo geométrico ofrece una interpretación de cómo se relacionan entre sí los puntos, las líneas y otros tipos de objetos, y una noción como la colinealidad debe interpretarse dentro del contexto de dicho modelo. Por ejemplo, en la geometría esférica , donde las líneas se representan en el modelo estándar mediante círculos máximos de una esfera, los conjuntos de puntos colineales se encuentran sobre el mismo círculo máximo. Dichos puntos no se encuentran sobre una "línea recta" en el sentido euclidiano, y no se consideran alineados .

Una aplicación de una geometría a sí misma que transforma líneas en otras líneas se denomina colineación ; conserva la propiedad de colinealidad. Las aplicaciones lineales (o funciones lineales) de espacios vectoriales , vistas como aplicaciones geométricas, transforman líneas en otras líneas; es decir, transforman conjuntos de puntos colineales en conjuntos de puntos colineales y, por lo tanto, son colineaciones. En geometría proyectiva, estas aplicaciones lineales se denominan homografías y constituyen un tipo específico de colineación.

Ejemplos en geometría euclidiana

Triángulos

En cualquier triángulo, los siguientes conjuntos de puntos son colineales:

El ortocentro , el circuncentro , el baricentro , el punto de Exeter , el punto de De Longchamp y el centro del círculo de nueve puntos son colineales, y todos se encuentran sobre una línea llamada línea de Euler .
El punto de De Longchamps también presenta otras colinealidades .
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto con una excírculo y el punto de Nagel son colineales en una línea llamada divisor del triángulo.
El punto medio de cualquier lado, el punto equidistante de este a lo largo del límite del triángulo en cualquier dirección (de modo que estos dos puntos bisecan el perímetro ) y el centro del círculo de Spieker son colineales en una línea llamada hendedora del triángulo. (El círculo de Spieker es la circunferencia inscrita en el triángulo medial , y su centro es el centro de masa del perímetro del triángulo).
Cualquier vértice, la tangencia del lado opuesto con la circunferencia inscrita y el punto de Gergonne son colineales.
Desde cualquier punto de la circunferencia circunscrita a un triángulo, los puntos más cercanos en cada uno de los tres lados extendidos del triángulo son colineales en la línea de Simson del punto en la circunferencia circunscrita.
Las líneas que conectan los pies de las alturas se intersecan en los lados opuestos en puntos colineales. ^{[ 3 ]}^{: p.199}
El incentro de un triángulo , el punto medio de una altura y el punto de tangencia del lado correspondiente con la excírculo respecto a ese lado son colineales. ^{[ 4 ]}^{: p.120, #78}
El teorema de Menelao afirma que tres puntos ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ en los lados (algunos extendidos ) de un triángulo opuestos a los vértices $A_{1},A_{2},A_{3}$ respectivamente son colineales si y solo si los siguientes productos de longitudes de segmentos son iguales: ^{[ 3 ]}^{: pág. 147}

P_{1}A_{2}\cdot P_{2}A_{3}\cdot P_{3}A_{1}=P_{1}A_{3}\cdot P_{2}A_{1}\cdot P_{3}A_{2}.

El incentro, el centroide y el centro del círculo de Spieker son colineales.
El circuncentro, el punto medio de Brocard y el vértice de Lemoine de un triángulo son colineales. ^{[ 5 ]}
Dos líneas perpendiculares que se intersecan en el ortocentro de un triángulo intersecan cada uno de los lados extendidos del triángulo . Los puntos medios de los tres lados de estos puntos de intersección son colineales en la línea de Droz-Farny .

Cuadriláteros

En un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyos lados opuestos se intersecan en $E$ y $F$ , los puntos medios de $AC, BD y EF$ son colineales y la recta que pasa por ellos se denomina recta de Newton . Si el cuadrilátero es tangente , entonces su incentro también se encuentra sobre esta recta. ^{[ 6 ]}
En un cuadrilátero convexo, el cuasiortocentro $H$ , el centroide del área $G$ y el cuasicircuncentro $O$ son colineales en este orden, y $HG = 2 GO$ . ^{[ 7 ]} (Véase Cuadrilátero#Puntos y líneas notables en un cuadrilátero convexo ).

Otras colinealidades de un cuadrilátero tangente se dan en Cuadrilátero tangente#Puntos colineales .
En un cuadrilátero cíclico , el circuncentro , el centroide del vértice (la intersección de las dos bimedianas) y el anticentro son colineales. ^{[ 8 ]}
En un cuadrilátero cíclico, el centroide del área , el centroide del vértice y la intersección de las diagonales son colineales. ^{[ 9 ]}
En un trapecio tangente , las tangencias del círculo inscrito con las dos bases son colineales con el incentro.
En un trapecio tangente, los puntos medios de los lados laterales son colineales con el incentro.

Hexágonos

El teorema de Pascal (también conocido como el teorema del Hexagrama Místico) establece que si se eligen seis puntos arbitrarios en una sección cónica (es decir, una elipse , una parábola o una hipérbola ) y se unen mediante segmentos de línea en cualquier orden para formar un hexágono , entonces los tres pares de lados opuestos del hexágono (extendidos si es necesario) se encuentran en tres puntos que están sobre una línea recta, llamada línea de Pascal del hexágono. Lo contrario también es cierto: el teorema de Braikenridge-Maclaurin establece que si los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas que pasan por los lados opuestos de un hexágono están sobre una línea, entonces los seis vértices del hexágono están sobre una cónica, que puede ser degenerada como en el teorema del hexágono de Pappus .

Secciones cónicas

Según el teorema de Monge , para cualesquiera tres circunferencias en un plano, ninguna de las cuales está completamente dentro de otra, los tres puntos de intersección de los tres pares de líneas, cada una tangente externamente a dos de las circunferencias, son colineales.
En una elipse , el centro, los dos focos y los dos vértices con el radio de curvatura más pequeño son colineales, y el centro y los dos vértices con el radio de curvatura más grande también son colineales.
En una hipérbola , el centro, los dos focos y los dos vértices son colineales.

Conos

El centro de masa de un sólido cónico de densidad uniforme se encuentra a un cuarto de la distancia entre el centro de la base y el vértice, sobre la línea recta que une ambos.

Tetraedros

El centroide de un tetraedro es el punto medio entre su punto de Monge y su circuncentro . Estos puntos definen la recta de Euler del tetraedro, que es análoga a la recta de Euler de un triángulo. El centro de la esfera de doce vértices del tetraedro también se encuentra sobre la recta de Euler.

Álgebra

Colinealidad de puntos cuyas coordenadas se dan

En geometría de coordenadas , en un espacio $n$ -dimensional, un conjunto de tres o más puntos distintos son colineales si y solo si la matriz de coordenadas de estos vectores es de rango 1 o menor. Por ejemplo, dados tres puntos

{\begin{aligned}X&=(x_{1},\ x_{2},\ \dots ,\ x_{n}),\\Y&=(y_{1},\ y_{2},\ \dots ,\ y_{n}),\\Z&=(z_{1},\ z_{2},\ \dots ,\ z_{n}),\end{aligned}}

si la matriz

{\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

Si el rango es 1 o menor, los puntos son colineales.

De forma equivalente, para cada subconjunto de $X, Y, Z$ , si la matriz

{\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}

Si es de rango 2 o menor, los puntos son colineales. En particular, para tres puntos en el plano ( $n = 2$ ), la matriz anterior es cuadrada y los puntos son colineales si y solo si su determinante es cero; dado que ese determinante de 3 × 3 es más o menos el doble del área de un triángulo con esos tres puntos como vértices, esto es equivalente a afirmar que los tres puntos son colineales si y solo si el triángulo con esos puntos como vértices tiene área cero.

Colinealidad de puntos cuyas distancias por pares se dan

Un conjunto de al menos tres puntos distintos se denomina línea recta , lo que significa que todos los puntos son colineales, si y solo si, para cada tres de esos puntos $A, B, C$ , el siguiente determinante de un determinante de Cayley-Menger es cero (donde $d (AB)$ significa la distancia entre $A$ y $B$ , etc.):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Este determinante es, según la fórmula de Herón , igual a − 16 veces el cuadrado del área de un triángulo con longitudes de lado $d (AB), d (BC), d (AC)$ ; por lo tanto, comprobar si este determinante es igual a cero es equivalente a comprobar si el triángulo con vértices $A, B, C$ tiene área cero (es decir, los vértices son colineales).

De forma equivalente, un conjunto de al menos tres puntos distintos son colineales si y solo si, para cada tres de esos puntos $A, B, C$ con $d (AC)$ mayor o igual que cada uno de $d (AB)$ y $d (BC)$ , se cumple la desigualdad triangular $d (AC) \leq d (AB) + d (BC)$ con igualdad.

teoría de números

Dos números $m$ y $n$ no son coprimos —es decir, comparten un factor común distinto de 1— si y solo si para un rectángulo trazado en una red cuadrada con vértices en $(0, 0), (m, 0), (m, n), (0, n)$ , al menos un punto interior es colineal con $(0, 0)$ y $(m, n)$ .

Concurrencia (plano dual)

En diversas geometrías planas, la noción de intercambiar los roles de "puntos" y "líneas" manteniendo la relación entre ellos se denomina dualidad plana . Dado un conjunto de puntos colineales, mediante la dualidad plana obtenemos un conjunto de líneas que convergen en un punto común. Esta propiedad (convergencia en un punto común) se denomina concurrencia , y se dice que las líneas son concurrentes . Por lo tanto, la concurrencia es la noción dual plana de la colinealidad.

Gráfico de colinealidad

Dada una geometría parcial $P$ , donde dos puntos determinan como máximo una línea, un grafo de colinealidad de P $es$ un grafo cuyos vértices son los puntos de $P$ , donde dos vértices son adyacentes si y solo si determinan una línea en $P.$

Uso en estadística y econometría

En estadística , $la$ colinealidad se refiere a una relación lineal entre dos variables explicativas . Dos variables son perfectamente colineales si existe una relación lineal exacta entre ellas, de modo que la correlación entre ellas es igual a 1 o -1 $.$ Es decir, $X1$ y $X2$ son perfectamente colineales si existen parámetros $\lambda _{0}$ y $\lambda _{1}$ de tal manera que, para todas las observaciones $i$ , tenemos

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

Esto significa que si las distintas observaciones $(X 1 i, X 2 i)$ se representan en el plano $(X 1, X 2)$ , estos puntos son colineales en el sentido definido anteriormente en este artículo.

La multicolinealidad perfecta se refiere a una situación en la que $k (k \geq 2)$ variables explicativas en un modelo de regresión múltiple están perfectamente relacionadas linealmente, según

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

para todas las observaciones $i$ . En la práctica, rara vez nos enfrentamos a una multicolinealidad perfecta en un conjunto de datos. Más comúnmente, el problema de la multicolinealidad surge cuando hay una "relación lineal fuerte" entre dos o más variables independientes, lo que significa que

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

donde la varianza de $\varepsilon _{i}$ es relativamente pequeño.

El concepto de colinealidad lateral amplía esta visión tradicional y se refiere a la colinealidad entre variables explicativas y de criterio (es decir, explicadas). ^{[ 10 ]}

Uso en otras áreas

conjuntos de antenas

Un mástil de antena con cuatro conjuntos direccionales colineales.

En telecomunicaciones , una matriz de antenas colineales (o colineales) es una matriz de antenas dipolo montadas de tal manera que los elementos correspondientes de cada antena sean paralelos y estén alineados, es decir, están ubicados a lo largo de una línea o eje común.

Fotografía

Las ecuaciones de colinealidad son un conjunto de dos ecuaciones, utilizadas en fotogrametría y visión estéreo computarizada , para relacionar las coordenadas en un plano de imagen ( sensor ) (en dos dimensiones) con las coordenadas del objeto (en tres dimensiones). En fotografía, las ecuaciones se derivan considerando la proyección central de un punto del objeto a través del centro óptico de la cámara sobre la imagen en el plano de imagen (sensor). Los tres puntos (punto del objeto, punto de la imagen y centro óptico) son siempre colineales. Dicho de otro modo, los segmentos de línea que unen los puntos del objeto con sus puntos de imagen son concurrentes en el centro óptico. ^{[ 11 ]}

Véase también

Notas

↑ El concepto se aplica a cualquier geometría Dembowski (1968 , pág. 26) , pero a menudo solo se define dentro de la discusión de una geometría específica Coxeter (1969 , pág. 178) , Brannan, Esplen y Gray (1998 , pág. 106).
↑ Colineal (diccionario Merriam-Webster)
1 2 Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (original de 1929).
↑ Altshiller Court, Nathan . Geometría universitaria , 2.ª ed. Barnes & Noble, 1952 [1.ª ed. 1925].
↑ Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría triangular", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.
^ Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, Compendio de la OMI , Springer, 2006, pág. 15.
↑ Myakishev, Alexei ( 2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
↑ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cuadriláteros cíclicos" , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39 , ISBN 978-0-88385-639-0
↑ Bradley, Christopher (2011), Tres centroides creados por un cuadrilátero cíclico (PDF)
↑ Kock, N.; Lynn, GS (2012). "Colinealidad lateral y resultados engañosos en SEM basado en varianza: una ilustración y recomendaciones" (PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546– 580. doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .
↑ Desde el punto de vista matemático, es más natural referirse a estas ecuaciones como ecuaciones de concurrencia , pero la literatura sobre fotogrametría no utiliza esa terminología.

Referencias

Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998), Geometría , Cambridge University Press, ISBN 0-521-59787-0
Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría , Nueva York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , vol. 44, Berlín: Springer, ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275

[1] El concepto se aplica a cualquier geometría Dembowski (1968 , pág. 26) , pero a menudo solo se define dentro de la discusión de una geometría específica Coxeter (1969 , pág. 178) , Brannan, Esplen y Gray (1998 , pág. 106).

[2] Colineal (diccionario Merriam-Webster)

[Johnson-3] 1 2 Johnson, Roger A., Geometría euclidiana avanzada , Dover Publ., 2007 (original de 1929).

[AC-4] Altshiller Court, Nathan . Geometría universitaria , 2.ª ed. Barnes & Noble, 1952 [1.ª ed. 1925].

[5] Scott, JA "Algunos ejemplos del uso de coordenadas de área en geometría triangular", Mathematical Gazette 83, noviembre de 1999, 472–477.

[6] Dušan Djukić, Vladimir Janković, Ivan Matić, Nikola Petrović, Compendio de la OMI , Springer, 2006, pág. 15.

[Myakishev-7] Myakishev, Alexei ( 2006), "Sobre dos líneas notables relacionadas con un cuadrilátero" (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.

[Honsberger-8] Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cuadriláteros cíclicos" , Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry , New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39 , ISBN 978-0-88385-639-0

[9] Bradley, Christopher (2011), Tres centroides creados por un cuadrilátero cíclico (PDF)

[10] Kock, N.; Lynn, GS (2012). "Colinealidad lateral y resultados engañosos en SEM basado en varianza: una ilustración y recomendaciones" (PDF) . Journal of the Association for Information Systems . 13 (7): 546– 580. doi : 10.17705/1jais.00302 . S2CID 3677154 .

[11] Desde el punto de vista matemático, es más natural referirse a estas ecuaciones como ecuaciones de concurrencia , pero la literatura sobre fotogrametría no utiliza esa terminología.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]