Lógica doxástica

La lógica doxástica es un tipo de lógica que se ocupa del razonamiento sobre las creencias .

El término doxástico deriva del griego antiguo δόξα ( doxa , "opinión, creencia"), del cual también se toma prestado el término inglés doxa ("opinión o creencia popular"). Típicamente, una lógica doxástica utiliza la notación${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}x}$significa "razonador"${\displaystyle c}$cree que${\displaystyle x}$es cierto", y el conjunto${\displaystyle \mathbb {B} _{c}:\left\{b_{1},\ldots ,b_{n}\right\}}$denota el conjunto de creencias de${\displaystyle c}$En la lógica doxástica, la creencia se trata como un operador modal .

Existe un paralelismo completo entre una persona que cree en proposiciones y un sistema formal que las deriva . Mediante la lógica doxástica, se puede expresar la contraparte epistémica del teorema de incompletitud de Gödel en metalógica , así como el teorema de Löb y otros resultados metalógicos en términos de creencia. ^{[ 1 ]}

Para demostrar las propiedades de los conjuntos de creencias, Raymond Smullyan define los siguientes tipos de razonadores:

• Razonador preciso : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador preciso nunca cree en ninguna proposición falsa. (axioma modal T )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to p}$

• Razonador inexacto : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador inexacto cree al menos una proposición falsa.

${\displaystyle \exists p:\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Razonador consistente : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador consistente nunca cree simultáneamente una proposición y su negación. (axioma modal D )

${\displaystyle \neg \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}_{c}\neg p\quad {\text{o}}\quad \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to \neg {\mathcal {B}}_{c}\neg p}$

• Razonador normal : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador normal es aquel que, mientras cree${\displaystyle p,}$también cree que creen${\displaystyle p}$(axioma modal 4 ).

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {BB}}p}$

Una variación de esto sería alguien que, aunque no cree${\displaystyle p,}$También cree que no creen${\displaystyle p}$(axioma modal 5 ).

${\displaystyle \forall p:\neg {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}(\neg {\mathcal {B}}_{c}p)}$

• Razonador peculiar : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador peculiar cree en la proposición${\displaystyle p}$mientras que también creen que no creen${\displaystyle p.}$Aunque un razonamiento peculiar pueda parecer un fenómeno psicológico extraño (véase la paradoja de Moore ), un razonamiento peculiar es necesariamente inexacto, pero no necesariamente inconsistente.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B\neg B}}p}$

• Razonador regular : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador regular es aquel que, mientras cree ${\displaystyle p\to q}$, también cree${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q}$.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador reflexivo : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador reflexivo es aquel para quien toda proposición${\displaystyle p}$tiene alguna proposición${\displaystyle q}$de tal manera que el razonador cree${\displaystyle q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p)}$.

${\displaystyle \forall p\exists q:{\mathcal {B}}(q\equiv ({\mathcal {B}}q\to p))}$

Si un razonador reflexivo de tipo 4 [ver más abajo ] cree${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ellos creerán${\displaystyle p}$Esto es un paralelismo del teorema de Löb para los razonadores.

• Razonador engreído : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador engreído cree que sus creencias nunca son inexactas.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\neg \exists p(\neg p\wedge {\mathcal {B}}_{c}p)]\quad {\text{or}}\quad {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

Reescrito en forma de re , esto es lógicamente equivalente a:

${\displaystyle \forall p[{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)]}$

Esto implica que:

${\displaystyle \forall p({\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p)}$

Esto demuestra que un razonador engreído es siempre un razonador estable (véase más abajo).

• Razonador inestable : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador inestable es aquel que cree creer en alguna proposición, pero en realidad no la cree. Este es un fenómeno psicológico tan extraño como la peculiaridad; sin embargo, un razonador inestable no es necesariamente inconsistente.

${\displaystyle \exists p:{\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\wedge \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Razonador estable : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador estable no es inestable. Es decir, para cada${\displaystyle p,}$si creen${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$entonces creen${\displaystyle p.}$Nótese que la estabilidad es lo opuesto a la normalidad. Diremos que un razonador cree que es estable si para cada proposición${\displaystyle p,}$ellos creen${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$(creyendo: "Si alguna vez llegara a creer que creo${\displaystyle p,}$Entonces realmente creeré${\displaystyle p}$"). Esto corresponde a tener una relación de accesibilidad densa en la semántica de Kripke , y cualquier razonador preciso siempre es estable.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {BB}}p\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Razonador modesto : ^{[ 1 ] [ 4 ]} Un razonador modesto es aquel para quien por cada proposición creída${\displaystyle p}$,${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$solo si creen${\displaystyle p}$Un razonador modesto nunca cree${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$a menos que crean${\displaystyle p}$Cualquier razonador reflexivo de tipo 4 es modesto. ( Teorema de Löb )

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Razonador extraño : ^{[ 4 ]} Un razonador extraño es de tipo G (ver más abajo) y cree que son inconsistentes, pero está equivocado en esta creencia.
• Razonador tímido : ^{[ 4 ]} Un razonador tímido no cree${\displaystyle p}$[tiene "miedo de" creer${\displaystyle p}$] si creen que la creencia en${\displaystyle p}$conduce a una creencia contradictoria.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}\bot )\to \neg {\mathcal {B}}_{c}p}$

• Razonador de tipo 1 : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} Un razonador de tipo 1 tiene un conocimiento completo de la lógica proposicional , es decir, tarde o temprano cree en cada tautología /teorema (cualquier proposición demostrable mediante tablas de verdad ):

${\displaystyle \vdash _{PC}p\Rightarrow \ \vdash {\mathcal {B}}_{c}p}$

El símbolo${\displaystyle \vdash _{PC}p}$medio${\displaystyle p}$es una tautología/teorema demostrable en cálculo proposicional. Además, su conjunto de creencias (pasado, presente y futuro) es lógicamente cerrado bajo el modus ponens . Si alguna vez creen${\displaystyle p}$y${\displaystyle p\to q}$Entonces (tarde o temprano) creerán${\displaystyle q}$:

${\displaystyle \forall p\forall q:({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q}$

Esta regla también puede pensarse como que la creencia se distribuye sobre la implicación, ya que es lógicamente equivalente a

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$.

Tenga en cuenta que, en realidad, incluso la suposición de que se trata de un razonador de tipo 1 puede ser demasiado fuerte en algunos casos (véase la paradoja de la lotería ).

• Razonador de tipo 1* : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador de tipo 1* cree en todas las tautologías; su conjunto de creencias (pasado, presente y futuro) es lógicamente cerrado bajo el modus ponens, y para cualquier proposición${\displaystyle p}$y${\displaystyle q,}$si creen${\displaystyle p\to q,}$Entonces creerán que si creen${\displaystyle p}$Entonces creerán${\displaystyle q}$. El razonador de tipo 1* tiene "un poco más" de autoconciencia que un razonador de tipo 1.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(p\to q)\to {\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador de tipo 2 : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador es de tipo 2 si es de tipo 1, y si para cada${\displaystyle p}$y${\displaystyle q}$Ellos (correctamente) creen: "Si alguna vez llegara a creer en ambos${\displaystyle p}$y${\displaystyle p\to q}$Entonces creeré${\displaystyle q}$"Al ser del tipo 1, también creen en la proposición lógicamente equivalente :${\displaystyle {\mathcal {B}}(p\to q)\to ({\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}q).}$Un razonador de tipo 2 sabe que sus creencias son cerradas bajo el modus ponens.

${\displaystyle \forall p\forall q:{\mathcal {B}}(({\mathcal {B}}_{c}p\wedge {\mathcal {B}}(p\to q))\to {\mathcal {B}}q)}$

• Razonador de tipo 3 : ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} Un razonador es de tipo 3 si es un razonador normal de tipo 2.

${\displaystyle \forall p:{\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p}$

• Type 4 reasoner:^{[1][2][3][4][5]} A reasoner is of type 4 if they are of type 3 and also believe they are normal.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}p\to {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p)]}$

• Type G reasoner:^[1][4] A reasoner of type 4 who believes they are modest.

${\displaystyle {\mathcal {B}}[\forall p({\mathcal {B}}({\mathcal {B}}_{c}p\to p)\to {\mathcal {B}}_{c}p)]}$

For systems, logicians define reflexivity to mean that for any ${\displaystyle p}$ (in the language of the system) there is some ${\displaystyle q}$ such that ${\displaystyle q\equiv {\mathcal {B}}q\to p}$ is provable in the system. Löb's theorem (in a general form) is that for any reflexive system of type 4, if ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p\to p}$ is provable in the system, so is ${\displaystyle p.}$^[1][4]

If a consistent reflexive reasoner of type 4 believes that they are stable, then they will become unstable. Stated otherwise, if a stable reflexive reasoner of type 4 believes that they are stable, then they will become inconsistent. Why is this? Suppose that a stable reflexive reasoner of type 4 believes that they are stable. We will show that they will (sooner or later) believe every proposition ${\displaystyle p}$ (and hence be inconsistent). Take any proposition ${\displaystyle p.}$ The reasoner believes ${\displaystyle {\mathcal {B}}{\mathcal {B}}_{c}p\to {\mathcal {B}}_{c}p,}$ hence by Löb's theorem they will believe ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$ (because they believe ${\displaystyle {\mathcal {B}}r\to r,}$ where ${\displaystyle r}$ is the proposition ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p,}$ and so they will believe ${\displaystyle r,}$ which is the proposition ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{c}p}$). Being stable, they will then believe ${\displaystyle p.}$^[1][4]

• Belief revision
• Common knowledge (logic)
• Epistemic modal logic
• George Boolos
• Jaakko Hintikka
• Modal logic
• Raymond Smullyan

• Lindström, St.; Rabinowicz, Wl. (1999). "DDL Unlimited. Dynamic Doxastic Logic for Introspective Agents". Erkenntnis . 51 ( 2– 3): 353– 385. doi : 10.1023/A:1005577906029 . S2CID 116984078 . 
• Linski, L. (1968). "Sobre la interpretación de la lógica doxástica". Journal of Philosophy . 65 (17): 500– 502. doi : 10.2307/2024352 . JSTOR 2024352 . 
• Segerberg, Kr. (1999). "Lógica por defecto como lógica doxástica dinámica". Erkenntnis . 50 ( 2–3 ): 333–352 . doi : 10.1023/A:1005546526502 . S2CID 118747031 . 
• Wansing, H. (2000). "Una reducción de la lógica doxástica a la lógica de la acción". Erkenntnis . 53 ( 1–2 ): 267–283 . doi : 10.1023/A:1005666218871 . S2CID 58939606 .