Precesión

La precesión es un cambio en la orientación del  eje de rotación de un cuerpo que gira  . En un sistema de referencia  adecuado , se define como un cambio en el primer ángulo de Euler  , mientras que el tercer  ángulo de Euler define la rotación misma . En otras palabras, si el eje de rotación de un cuerpo gira alrededor de un segundo eje, se dice que ese cuerpo precesa alrededor de dicho segundo  eje. Un movimiento en el que  cambia el segundo ángulo de Euler se denomina nutación . En física , existen dos tipos de precesión: sin torque y con torque .

En astronomía, la precesión se refiere a cualquiera de los cambios lentos en  los parámetros de rotación u órbita de un cuerpo astronómico. Un ejemplo importante es el cambio constante en la orientación del eje de rotación  de la Tierra , conocido como la precesión  de los equinoccios .

La precesión sin torque implica que no se aplica ningún momento externo ( torque ) al cuerpo. En la precesión sin torque , el momento angular es constante, pero el vector de velocidad angular cambia de orientación con el tiempo. Esto es posible gracias a un momento de inercia variable en el tiempo , o más precisamente, a una matriz de inercia variable en el tiempo . La matriz de inercia se compone de los momentos de inercia de un cuerpo calculados con respecto a distintos ejes de coordenadas (por ejemplo , x , y , z ). Si un objeto es asimétrico con respecto a su eje principal de rotación, el momento de inercia con respecto a cada dirección de coordenadas cambiará con el tiempo, manteniendo el momento angular. El resultado es que la componente de las velocidades angulares del cuerpo con respecto a cada eje variará inversamente con el momento de inercia de cada eje.       

La tasa de precesión sin torque de un objeto con un eje de simetría, como un disco, que gira alrededor de un eje no alineado con ese eje  de simetría se puede calcular de la siguiente manera: ^{[ 1 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}{{\boldsymbol {I}}_{\mathrm {p} }\cos({\boldsymbol {\alpha }})}}}$$ donde ω _p es la velocidad de precesión, ω _s es la velocidad de giro alrededor del eje de simetría, I _s es el momento de inercia alrededor del eje de simetría, I _p es el momento de inercia alrededor de cualquiera de los otros dos ejes principales perpendiculares iguales, y α es el ángulo entre la dirección del momento de inercia y el eje de simetría. ^{[ 2 ]}

Cuando un objeto no es perfectamente rígido , la disipación inelástica tenderá a amortiguar la precesión sin torsión , ^{[ 3 ]} y el eje de rotación se alineará con uno de los ejes de inercia del cuerpo.

Para un objeto sólido genérico sin ningún eje de simetría, la evolución de la orientación del objeto, representada (por ejemplo) por una matriz de rotación R que transforma las coordenadas internas en externas, puede simularse numéricamente. Dado el tensor de momento de inercia interno fijo del objeto I ₀ y el momento angular externo fijo L , la velocidad angular instantánea es $${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {R}}{\boldsymbol {I}}_{0}^{-1}{\boldsymbol {R}}^{T}{\boldsymbol {L}}}$$ La precesión se produce recalculando repetidamente ω y aplicando un pequeño vector de rotación ω dt durante el breve intervalo de tiempo dt ; por ejemplo: $${\displaystyle {\boldsymbol {R}}_{\text{nuevo}}=\exp \left(\left[{\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}_{\text{antiguo}}\right)\right]_{\times }dt\right){\boldsymbol {R}}_{\text{antiguo}}}$$ para la matriz antisimétrica [ ω ] _× . Los errores inducidos por pasos de tiempo finitos tienden a aumentar la energía cinética rotacional: $${\displaystyle E\left({\boldsymbol {R}}\right)={\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\cdot {\frac {\boldsymbol {L}}{2}}}$$ Esta tendencia no física puede contrarrestarse aplicando repetidamente un pequeño vector de rotación v perpendicular tanto a ω como a L , teniendo en cuenta que $${\displaystyle E\left(\exp \left(\left[{\boldsymbol {v}}\right]_{\times }\right){\boldsymbol {R}}\right)\approx E\left({\boldsymbol {R}}\right)+\left({\boldsymbol {\omega }}\left({\boldsymbol {R}}\right)\times {\boldsymbol {L}}\right)\cdot {\boldsymbol {v}}}$$

La precesión inducida por torque ( precesión giroscópica ) es el fenómeno por el cual el eje de un objeto giratorio (por ejemplo, un giroscopio ) describe un cono en el espacio cuando se le aplica un torque externo . Este fenómeno se observa comúnmente en una peonza , pero todos los objetos en rotación pueden experimentar precesión. Si la velocidad de rotación y la magnitud del torque externo son constantes, el eje de giro se moverá perpendicularmente a la dirección que resultaría intuitivamente del torque externo. En el caso de una peonza, su peso actúa hacia abajo desde su centro  de masa y la fuerza normal  (reacción) del suelo la empuja hacia arriba en el punto de contacto con el soporte. Estas dos fuerzas opuestas producen un torque que provoca la precesión de la peonza.

El dispositivo que se muestra a la derecha está montado sobre un cardán . De adentro hacia afuera, hay tres ejes de rotación: el cubo de la rueda, el eje del cardán y el pivote vertical.

Para distinguir entre los dos ejes horizontales, la rotación alrededor del cubo de la rueda se denominará giro , y la rotación alrededor del eje del cardán se denominará cabeceo . La rotación alrededor del eje de pivote vertical se denomina rotación .

Primero, imagina que todo el dispositivo gira alrededor del eje de pivote (vertical). Luego, añade el giro de la rueda (alrededor del cubo). Imagina que el eje cardán está bloqueado, de modo que la rueda no puede inclinarse. El eje cardán tiene sensores que miden si existe un par de torsión a su alrededor.

En la imagen, una sección de la rueda ha sido denominada dm _1. En el instante representado, la sección dm ₁ se encuentra en el perímetro del movimiento de rotación alrededor del eje de pivote (vertical). Por lo tanto, la sección dm ₁ tiene una gran velocidad angular de rotación con respecto a la rotación alrededor del eje de pivote, y a medida que dm ₁ se acerca al eje de pivote de la rotación (debido a que la rueda gira más), debido al efecto Coriolis , con respecto al eje de pivote vertical, dm ₁ tiende a moverse en la dirección de la flecha superior izquierda en el diagrama (mostrada a 45°) en la dirección de rotación alrededor del eje de pivote. ^{[ 4 ]} La sección dm ₂ de la rueda se está alejando del eje de pivote, por lo que una fuerza (nuevamente, una fuerza de Coriolis) actúa en la misma dirección que en el caso de dm _1. Nótese que ambas flechas apuntan en la misma dirección.

El mismo razonamiento se aplica a la mitad inferior de la rueda, pero allí las flechas apuntan en dirección opuesta a las flechas superiores. En conjunto, sobre toda la rueda, se genera un par de torsión alrededor del eje cardán cuando se añade un giro a la rotación alrededor de un eje vertical.

El par de torsión alrededor del eje del cardán surge sin ningún retardo; la respuesta es instantánea.

En la explicación anterior, la configuración se mantuvo sin cambios al evitar el cabeceo alrededor del eje del cardán. En el caso de una peonza, cuando esta comienza a inclinarse, la gravedad ejerce un par de torsión. Sin embargo, en lugar de volcarse, la peonza simplemente se inclina ligeramente. Este movimiento de cabeceo la reorienta con respecto al par de torsión ejercido. Como resultado, el par de torsión producido por la gravedad —a través del movimiento de cabeceo— genera una precesión giroscópica (que a su vez produce un par de torsión contrario al par de torsión gravitatorio) en lugar de hacer que la peonza caiga de lado.  

La precesión o las consideraciones giroscópicas influyen en el rendimiento de las bicicletas a alta velocidad. La precesión es también el mecanismo en el que se basan las brújulas giroscópicas .

Clásico (newtoniano)

La precesión es el cambio de velocidad angular y momento angular producido por un torque. La ecuación general que relaciona el torque con la tasa de cambio del momento angular es: $${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}}$$ dónde${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$y${\displaystyle \mathbf {L} }$son los vectores de torque y momento angular respectivamente.

Debido a la forma en que se definen los vectores de torque, estos son perpendiculares al plano de las fuerzas que los generan. Por lo tanto, se observa que el vector de momento angular cambia perpendicularmente a dichas fuerzas. Dependiendo de cómo se generen las fuerzas, estas a menudo rotarán con el vector de momento angular, lo que produce una precesión circular.

En estas circunstancias, la velocidad angular de precesión viene dada por: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {p} }={\frac {\ mgr}{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }}}={\frac {\tau }{I_{\mathrm {s} }{\boldsymbol {\omega }}_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}}}$

donde I _s es el momento de inercia , ω _s es la velocidad angular de giro alrededor del eje de giro, m es la masa, g es la aceleración debida a la gravedad, θ es el ángulo entre el eje de giro y el eje de precesión y r es la distancia entre el centro de masa y el pivote. El vector de torque se origina en el centro de masa. Usando ω = 2π / T , encontramos que el período de precesión viene dado por: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle T_{\mathrm {p} }={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }}{\ mgrT_{\mathrm {s} }}}={\frac {4\pi ^{2}I_{\mathrm {s} }\sin(\theta )}{\ \tau T_{\mathrm {s} }}}}$$

Donde I _s es el momento de inercia , T _s es el período de giro alrededor del eje de giro y τ es el par . En general, el problema es más complejo que esto.

En astronomía, la precesión se refiere a cualquiera de los cambios lentos y continuos, inducidos por la gravedad, en el eje de rotación o la órbita de un cuerpo celeste. La precesión  de los equinoccios, la precesión del perihelio, los cambios en la inclinación  del eje terrestre con respecto a su órbita y la excentricidad de esta última a lo largo de decenas  de miles de años son aspectos importantes de la teoría astronómica de las edades de hielo  .

Precesión axial (precesión de los equinoccios)

La precesión axial es el movimiento del eje de rotación de un cuerpo astronómico, mediante el cual el eje describe lentamente un cono. En el caso de la Tierra, este tipo de precesión también se conoce como precesión  de los equinoccios , precesión lunisolar o precesión  del ecuador . La Tierra completa un ciclo de precesión en un período de aproximadamente 26 000  años o 1° cada 72  años, durante el cual las posiciones de las estrellas cambian lentamente tanto en coordenadas ecuatoriales como en longitud eclíptica . A lo largo de este ciclo, el polo axial norte de la Tierra se desplaza desde su posición actual, a menos de 1° de Polaris , en un círculo alrededor del polo eclíptico  , con un radio angular de aproximadamente  23,5°.

El antiguo astrónomo griego Hiparco ( c. 190–120 a. C. ) es generalmente aceptado como el primer astrónomo conocido en reconocer y evaluar la precesión de los equinoccios en aproximadamente 1° por siglo (lo cual no está lejos del valor real para la antigüedad, 1,38°), ^{[ 7 ]} aunque hay cierta controversia menor sobre si lo fue. ^{[ 8 ]} En la antigua China , el erudito y funcionario de la dinastía Jin , Yu Xi ( fl. 307–345 d. C. ), hizo un descubrimiento similar siglos después, notando que la posición del Sol durante el solsticio de invierno se había desplazado aproximadamente un grado en el transcurso de cincuenta años con respecto a la posición de las estrellas. ^{[ 9 ]} La precesión del eje de la Tierra fue explicada más tarde por la física newtoniana . Siendo un esferoide oblato , la Tierra tiene una forma no esférica , abultándose hacia afuera en el ecuador. Las fuerzas de marea gravitatorias de la Luna y el Sol aplican un par de torsión al ecuador, intentando alinear el abultamiento ecuatorial con el plano de la eclíptica , pero en su lugar provocan su precesión. El par de torsión ejercido por los planetas, en particular Júpiter , también influye. ^{[ 10 ]}      

Movimiento de precesión del eje (izquierda), precesión del equinoccio en relación con las estrellas distantes (centro) y trayectoria del polo celeste norte entre las estrellas debido a la precesión. Vega es la estrella brillante cerca de la parte inferior (derecha).

precesión absidal

Las órbitas de los planetas alrededor del Sol no describen una elipse idéntica en cada ocasión, sino que trazan una forma similar a la de un pétalo de flor, debido a que el eje mayor de la órbita elíptica de cada planeta también precesa dentro de su plano orbital, en parte como respuesta a las perturbaciones en forma de las fuerzas gravitatorias cambiantes ejercidas por otros planetas. Este fenómeno se denomina precesión del perihelio o precesión apsidal .

En la imagen adjunta se ilustra la precesión apsidal de la Tierra. A medida que la Tierra gira alrededor del Sol, su órbita elíptica rota gradualmente con el tiempo. La excentricidad de su elipse y la velocidad de precesión de su órbita se han exagerado para facilitar la visualización. La mayoría de las órbitas del Sistema Solar tienen una excentricidad mucho menor y precesan a una velocidad mucho más lenta, lo que las hace casi circulares y prácticamente estacionarias.

Las discrepancias entre la tasa de precesión del perihelio observada del planeta Mercurio y la predicha por la mecánica clásica fueron prominentes entre las formas de evidencia experimental que llevaron a la aceptación de la Teoría de la Relatividad de Einstein (en particular, su Teoría General de la Relatividad ), que predijo con precisión las anomalías. ^{[ 11 ] [ 12 ]} Desviándose de la ley de Newton, la teoría de la gravitación de Einstein predice un término adicional de ⁠ A / r ⁴ ⁠ , que da con precisión la tasa de giro en exceso observada de43 segundos de arco  por  siglo.

• Precesión de Larmor : Movimiento del eje del momento magnético de un objeto alrededor de un campo magnético. 
• Nutación – Oscilación del eje de rotación 
• Movimiento polar : movimiento del eje de rotación de la Tierra con respecto a su corteza. 
• Precesión (mecánica) – Desplazamiento mecánico de un eje 
• Precesión como forma de transporte paralelo – Fase de un ciclo Páginas que muestran breves descripciones de destinos de redirección 

• Contenido multimedia relacionado con la precesión en Wikimedia Commons
• Explicación y derivación de la fórmula para la precesión de un trompo
• Precesión y la teoría de Milankovitch: De astrónomos a naves espaciales