Sustracción

Imagina un segmento de línea de longitud b con el extremo izquierdo etiquetado como a y el extremo derecho como c . Partiendo de a , se necesitan b pasos hacia la derecha para llegar a c . Este movimiento hacia la derecha se modela matemáticamente mediante la suma :

a + b = c .

Desde c , se necesitan b pasos hacia la izquierda para volver a a . Este movimiento hacia la izquierda se modela mediante una resta:

c − b = a .

Ahora, veamos un segmento de línea etiquetado con los números 1 , 2 y 3. Desde la posición 3, no se necesitan pasos a la izquierda para permanecer en 3, por lo que 3 − 0 = 3. Se necesitan 2 pasos a la izquierda para llegar a la posición 1, por lo que 3 − 2 = 1. Esta imagen es insuficiente para describir lo que sucedería después de dar 3 pasos a la izquierda desde la posición 3. Para representar dicha operación, la línea debe extenderse.

Para restar números naturales arbitrarios , se comienza con una línea que contiene todos los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...). Desde el 3, se dan 3 pasos a la izquierda para llegar al 0, por lo que 3 − 3 = 0. Pero 3 − 4 sigue siendo inválido, ya que nuevamente sale de la línea. Los números naturales no son un contexto útil para la resta.

La solución consiste en considerar la recta numérica de los números enteros (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...). De esta forma, se dan 4 pasos a la izquierda desde 3 para llegar a −1:

3 − 4 = −1 .

La resta de números naturales no es cerrada : la diferencia no es un número natural a menos que el minuendo sea mayor o igual que el sustraendo. Por ejemplo, no se puede restar 26 de 11 para obtener un número natural. En este caso se utilizan dos enfoques:

1. Concluimos que 26 no se puede restar de 11; la resta se convierte en una función parcial .
2. Da la respuesta como un número entero que represente un número negativo , por lo que el resultado de restar 26 de 11 es −15.

El campo de los números reales se puede definir especificando solo dos operaciones binarias: suma y multiplicación, junto con operaciones unarias que producen inversos aditivos y multiplicativos . La resta de un número real (el sustraendo) de otro (el minuendo) se define entonces como la suma del minuendo y el inverso aditivo del sustraendo. Por ejemplo, 3 − π = 3 + (− π ) . Alternativamente, en lugar de requerir estas operaciones unarias, se pueden tomar como básicas las operaciones binarias de resta y división .

La resta es anticonmutativa , lo que significa que si se invierten los términos de una diferencia de izquierda a derecha, el resultado es el negativo del resultado original. Simbólicamente, si a y b son dos números cualesquiera, entonces

a − b = −( b − a) .

La resta no es asociativa , lo cual surge cuando se intenta definir la resta repetida. En general, la expresión

" a − b − c "

Se puede definir como ( a − b ) − c o a − ( b − c ), pero estas dos posibilidades conducen a respuestas diferentes. Para resolver este problema, es necesario establecer un orden de operaciones , ya que diferentes órdenes producen resultados diferentes.

En el contexto de los enteros, la resta de uno también juega un papel especial: para cualquier entero a , el entero ( a − 1) es el entero más grande menor que a , también conocido como el predecesor de a .

Los cambios en los porcentajes pueden reportarse de al menos dos formas: cambio porcentual y cambio en puntos porcentuales . El cambio porcentual representa la variación relativa entre las dos cantidades como un porcentaje, mientras que el cambio en puntos porcentuales es simplemente el número que se obtiene al restar los dos porcentajes. ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

Por ejemplo, supongamos que el 30% de los widgets fabricados en una fábrica son defectuosos. Seis meses después, el 20% de los widgets son defectuosos. El cambio porcentual es ⁠ 20% − 30% / 30% ⁠ = − ⁠ 1 / 3 ⁠ = ⁠ −33 + 1 / 3 ⁠ %, mientras que el cambio en puntos porcentuales es −10 puntos porcentuales.

Casi todas las escuelas estadounidenses enseñan actualmente un método de resta que utiliza el préstamo o la reagrupación (el algoritmo de descomposición) y un sistema de marcas llamado muletas. ^{[ 10 ] [ 11 ]} Si bien el método del préstamo ya se conocía y se había publicado en libros de texto, el uso de muletas en las escuelas estadounidenses se extendió después de que William A. Brownell publicara un estudio, afirmando que las muletas eran beneficiosas para los estudiantes que utilizaban este método. ^{[ 12 ]} Este sistema se popularizó rápidamente, desplazando a los demás métodos de resta que se utilizaban en Estados Unidos en ese momento.

Algunas escuelas europeas emplean un método de resta llamado método austriaco, también conocido como método de sumas. Este método no incluye préstamos. También existen ayudas (marcas para facilitar la memorización), que varían según el país. ^{[ 13 ] [ 14 ]}

Ambos métodos dividen la resta como un proceso de restas de un dígito según su valor posicional. Comenzando con el dígito menos significativo, se realiza una resta del sustraendo:

s _j s _{j −1} ... s ₁

del minuendo

m _k m _{k −1} ... m ₁ ,

donde cada s _i y m _i es un dígito, se procede escribiendo m ₁ − s ₁ , m ₂ − s ₂ , y así sucesivamente, siempre que s _i no exceda a m _i . De lo contrario, m _i se incrementa en 10 y se modifica algún otro dígito para corregir este incremento. El método americano corrige intentando disminuir el dígito del minuendo m _{i +1} en uno (o continuando el préstamo hacia la izquierda hasta que haya un dígito distinto de cero del cual tomar prestado). El método europeo corrige aumentando el dígito del sustraendo s _{i +1} en uno.

Ejemplo: 704 − 512.

${\displaystyle {\begin{array}{rrrr}&\color {Red}-1\\&C&D&U\\&7&0&4\\&5&1&2\\\hline &1&9&2\\\end{array}}{\begin{array}{l}{\color {Red}\longleftarrow {\rm {acarreo}}}\\\\\longleftarrow \;{\rm {minuendo}}\\\longleftarrow \;{\rm {sustraendo}}\\\longleftarrow {\rm {resto\;o\;diferencia}}\\\end{array}}}$

El minuendo es 704, el sustraendo es 512. Los dígitos del minuendo son m ₃ = 7 , m ₂ = 0 y m ₁ = 4 . Los dígitos del sustraendo son s ₃ = 5 , s ₂ = 1 y s ₁ = 2 . Comenzando por la posición de las unidades, 4 no es menor que 2, por lo que la diferencia 2 se escribe en la posición de las unidades del resultado. En la posición de las decenas, 0 es menor que 1, por lo que el 0 se incrementa en 10, y la diferencia con 1, que es 9, se escribe en la posición de las decenas. El método americano corrige el incremento de diez reduciendo el dígito en la posición de las centenas del minuendo en uno. Es decir, el 7 se tacha y se reemplaza por un 6. La resta se realiza entonces en la posición de las centenas, donde 6 no es menor que 5, por lo que la diferencia se escribe en la posición de las centenas del resultado. Hemos terminado, el resultado es 192.

El método austriaco no reduce el 7 a 6. En cambio, incrementa en uno la cifra de las centenas del sustraendo. Se hace una pequeña marca cerca o debajo de esta cifra (según la escuela). Luego, la resta se realiza preguntando qué número, al incrementarlo en 1 y sumarle 5, da como resultado 7. La respuesta es 1, y se anota en la posición de las centenas del resultado.

Existe una sutileza adicional: en el método americano, el alumno siempre utiliza una tabla de resta mental. El método austriaco, en cambio, suele animar al alumno a usar mentalmente la tabla de suma a la inversa. En el ejemplo anterior, en lugar de sumar 1 a 5, obteniendo 6, y restar ese resultado de 7, se le pide al alumno que considere qué número, al incrementarlo en 1 y sumarle 5, da como resultado 7.

Ejemplo: ^{[ 15 ]}

• 
  1 + ... = 3
• 
  La diferencia está escrita debajo de la línea.
• 
  9 + ... = 5 La suma requerida (5) es demasiado pequeña.
• 
  Entonces, le sumamos 10 y ponemos un 1 debajo del siguiente lugar superior en el sustraendo.
• 
  9 + ... = 15 Ahora podemos encontrar la diferencia como antes.
• 
  (4 + 1) + ... = 7
• 
  La diferencia está escrita debajo de la línea.
• 
  La diferencia total.

Ejemplo:

• 
  7 − 4 = 3 Este resultado está solo escrito a lápiz.
• 
  Como el siguiente dígito del minuendo es menor que el sustraendo, restamos uno al número que hemos anotado y mentalmente sumamos diez al siguiente.
• 
  15 − 9 = 6
• 
  Como el siguiente dígito del minuendo no es menor que el sustraendo, conservamos este número.
• 
  3 − 1 = 2

En este método, cada dígito del sustraendo se resta del dígito superior, comenzando de derecha a izquierda. Si el dígito superior es demasiado pequeño para restarle el dígito inferior, se le suma 10; este 10 se "toma prestado" del dígito superior izquierdo, al que se le resta 1. Luego se procede a restar el siguiente dígito y a tomar prestado según sea necesario, hasta que se hayan restado todos los dígitos. Ejemplo: ^{[ 16 ]}

• 
  3 − 1 = ...
• 
  Escribimos la diferencia debajo de la línea.
• 
  5 − 9 = ... ¡ El minuendo (5) es demasiado pequeño!
• 
  Entonces, le sumamos 10. El 10 se "toma prestado" del dígito de la izquierda, que disminuye en 1.
• 
  15 − 9 = ... Ahora la resta funciona y escribimos la diferencia debajo de la línea.
• 
  6 − 4 = ...
• 
  Escribimos la diferencia debajo de la línea.
• 
  La diferencia total.

Una variante del método americano en el que todos los préstamos se realizan antes que todas las restas. ^{[ 17 ]}

Ejemplo:

• 
  1 − 3 = imposible. Sumamos un 10 al 1. Como el 10 se "toma prestado" del 5 cercano, el 5 se reduce en 1.
• 
  4 − 9 = no es posible. Por lo tanto, procedemos como en el paso 1.
• 
  Trabajando de derecha a izquierda: 11 − 3 = 8
• 
  14 − 9 = 5
• 
  6 − 4 = 2

El método de diferencias parciales se diferencia de otros métodos de resta vertical porque no implica llevar ni tomar prestado. En su lugar, se colocan signos de más o menos según si el minuendo es mayor o menor que el sustraendo. La suma de las diferencias parciales es la diferencia total. ^{[ 18 ]}

Ejemplo:

• 
  El número menor se resta del mayor: 700 − 400 = 300 Como el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo positivo.
• 
  El número menor se resta del mayor: 90 − 50 = 40. Debido a que el minuendo es menor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo menos.
• 
  El número menor se resta del mayor: 3 − 1 = 2 Como el minuendo es mayor que el sustraendo, esta diferencia tiene un signo positivo.
• 
  +300 − 40 + 2 = 262