Retorcerse

En la teoría de nudos , existen varias nociones contrapuestas de la cantidad torsión , o${\displaystyle \operatorname {Wr} }$En cierto sentido, es una propiedad propia de un diagrama de enlace orientado y toma valores enteros . En otro sentido, es una magnitud que describe la cantidad de "enrollamiento" de un nudo matemático (o cualquier curva simple cerrada ) en el espacio tridimensional y toma valores reales . En ambos casos, el retorcimiento es una magnitud geométrica, lo que significa que, al deformar una curva (o diagrama) de manera que no se altere su topología, aún se puede modificar su retorcimiento. ^{[ 1 ]}

En la teoría de nudos , la torsión es una propiedad de un diagrama de enlaces orientado . La torsión es el número total de cruces positivos menos el número total de cruces negativos.

Se asigna una dirección al enlace en un punto de cada componente y esta dirección se sigue a lo largo de todo el recorrido. En cada cruce que se encuentra al viajar en esta dirección, si el hilo inferior va de derecha a izquierda, el cruce es positivo; si el hilo inferior va de izquierda a derecha, el cruce es negativo. Una forma de recordar esto es usar una variación de la regla de la mano derecha .

En un diagrama de nudos, usar la regla de la mano derecha con cualquiera de las dos orientaciones da el mismo resultado, por lo que el retorcimiento está bien definido en diagramas de nudos sin orientación.

La torsión de un nudo no se ve afectada por dos de los tres movimientos de Reidemeister : los movimientos de tipo II y tipo III no la modifican. Sin embargo, el movimiento de Reidemeister de tipo I la incrementa o la disminuye en 1. Esto implica que la torsión de un nudo no es un invariante isotópico del nudo en sí, sino solo del diagrama. Mediante una serie de movimientos de tipo I, se puede establecer la torsión de un diagrama para un nudo dado en cualquier valor entero.

El retorcimiento es también una propiedad de un nudo representado como una curva en el espacio tridimensional. Estrictamente hablando, un nudo es tal curva, definida matemáticamente como una incrustación de un círculo en el espacio euclidiano tridimensional ,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$Al observar la curva desde diferentes puntos de vista, se pueden obtener diferentes proyecciones y dibujar los diagramas de nudos correspondientes . Su torsión${\displaystyle \operatorname {Wr} }$(en el sentido de la curva espacial) es igual al promedio de los valores de torsión integrales obtenidos a partir de las proyecciones desde todos los puntos de vista. ^{[ 2 ]} Por lo tanto, la torsión en esta situación puede tomar cualquier número real como un valor posible. ^{[ 1 ]}

En un artículo de 1961, ^{[ 3 ]} Gheorghe Călugăreanu demostró el siguiente teorema: tome una cinta en${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, dejar${\displaystyle \operatorname {Lk} }$sea ​​el número de enlace de sus componentes de borde, y sea${\displaystyle \operatorname {Tw} }$ser su giro total . Entonces la diferencia${\displaystyle \operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$depende únicamente de la curva central de la cinta , ^{[ 2 ]} y

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\operatorname {Lk} -\operatorname {Tw} }$.

En un artículo de 1959, ^{[ 4 ]} Călugăreanu también mostró cómo calcular la torsión Wr con una integral . Sea${\displaystyle C}$sea ​​una curva suave, simple y cerrada y deje que${\displaystyle \mathbf {r} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {r} _{2}}$ser puntos en${\displaystyle C}$Entonces, la torsión es igual a la integral de Gauss.

${\displaystyle \operatorname {Wr} ={\frac {1}{4\pi }}\int _{C}\int _{C}d\mathbf {r} _{1}\times d\mathbf {r} _{2}\cdot {\frac {\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}}{\left|\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}\right|^{3}}}}$.

Dado que la torsión de una curva en el espacio se define como una integral doble , podemos aproximar su valor numéricamente representando primero nuestra curva como una cadena finita de${\displaystyle N}$segmentos de línea. Un procedimiento que fue derivado por primera vez por Michael Levitt ^{[ 5 ]} para la descripción del plegamiento de proteínas y posteriormente utilizado para el ADN superenrollado por Konstantin Klenin y Jörg Langowski ^{[ 6 ]} consiste en calcular

${\displaystyle \operatorname {Wr} =\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}=2\sum _{i=2}^{N}\sum _{j<i}{\frac {\Omega _{ij}}{4\pi }}}$,

dónde${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$es la evaluación exacta de la integral doble sobre segmentos de línea${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$; tenga en cuenta que${\displaystyle \Omega _{ij}=\Omega _{ji}}$y${\displaystyle \Omega _ {i,i+1}=\Omega _ {ii}=0}$. ^{[ 6 ]}

Para evaluar${\displaystyle \Omega _{ij}/{4\pi }}$para segmentos numerados dados${\displaystyle i}$y${\displaystyle j}$Numere los extremos de los dos segmentos 1, 2, 3 y 4. Sea${\displaystyle r_{pq}}$sea ​​el vector que comienza en el punto final${\displaystyle p}$y termina en el punto final${\displaystyle q}$. Defina las siguientes cantidades: ^{[ 6 ]}

${\displaystyle n_{1}={\frac {r_{13}\times r_{14}}{\left|r_{13}\times r_{14}\right|}},\;n_{2}={\frac {r_{14}\times r_{24}}{\left|r_{14}\times r_{24}\right|}},\;n_{3}={\frac {r_{24}\times r_{23}}{\left|r_{24}\times r_{23}\right|}},\;n_{4}={\frac {r_{23}\times r_{13}}{\left|r_{23}\times r_{13}\right|}}}$

Luego calculamos ^{[ 6 ]}

${\displaystyle \Omega ^{*}=\arcsin \left(n_{1}\cdot n_{2}\right)+\arcsin \left(n_{2}\cdot n_{3}\right)+\arcsin \left(n_{3}\cdot n_{4}\right)+\arcsin \left(n_{4}\cdot n_{1}\right).}$

Finalmente, compensamos la posible diferencia de signo y dividimos por${\displaystyle 4\pi }$para obtener ^{[ 6 ]}

${\displaystyle {\frac {\Omega }{4\pi }}={\frac {\Omega ^{*}}{4\pi }}{\text{sign}}\left(\left(r_{34}\times r_{12}\right)\cdot r_{13}\right).}$

Además, otros métodos para calcular la torsión pueden describirse completamente desde un punto de vista matemático y algorítmico; algunos de ellos superan al método anterior (que tiene una complejidad computacional cuadrática, al tener una complejidad lineal). ^{[ 6 ]}

El ADN se enrolla al retorcerse, al igual que una manguera de goma o una cuerda, y por eso los biomatemáticos utilizan la cantidad de torsión para describir cuánto se deforma un fragmento de ADN como resultado de esta tensión torsional. En general, este fenómeno de formación de espirales debido a la torsión se conoce como superenrollamiento del ADN y es bastante común; de hecho, en la mayoría de los organismos el ADN está superenrollado negativamente. ^{[ 1 ]}

Cualquier varilla elástica, no solo el ADN, alivia la tensión torsional al enrollarse, una acción que simultáneamente desenrolla y dobla la varilla. F. Brock Fuller muestra matemáticamente ^{[ 7 ]} cómo la “energía elástica debida a la torsión local de la varilla puede reducirse si la curva central de la varilla forma espirales que aumentan su número de torsión”.

• superenrollamiento del ADN
• Número de enlace
• teoría de la cinta
• Giro (matemáticas)
• Número de bobinado

• Adams, Colin (2004), El libro de los nudos: Una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos , Sociedad Matemática Americana , ISBN 978-0-8218-3678-1