Morfismo étale

En geometría algebraica , un morfismo étale ( del francés: [ etal ] ) es un morfismo de esquemas que es formalmente étale y localmente de presentación finita; el morfismo étale está relacionado con el concepto de recubrimiento étale . Este es un análogo algebraico de la noción de isomorfismo local en la topología analítica compleja.

Satisfacen las hipótesis del teorema de la función implícita , pero debido a que los conjuntos abiertos en la topología de Zariski son tan grandes, no son necesariamente isomorfismos locales. A pesar de esto, las aplicaciones étale conservan muchas de las propiedades de los isomorfismos analíticos locales y son útiles para definir el grupo fundamental algebraico y la topología étale .

La palabra étale es un adjetivo francés que significa "flojo", como en "marea tranquila", o, figurativamente, calmado, inmóvil, algo que se deja reposar. ^{[ 1 ]}

Dejar${\displaystyle \phi :R\to S}$ser un homomorfismo de anillos . Esto hace que${\displaystyle S}$un${\displaystyle R}$-álgebra. Elija un polinomio mónico.${\displaystyle f}$en${\displaystyle R[x]}$y un polinomio${\displaystyle g}$en${\displaystyle R[x]}$de tal manera que la derivada${\displaystyle f'}$de${\displaystyle f}$es una unidad en${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$Decimos que${\displaystyle \phi }$es estándar étale si${\displaystyle f}$y${\displaystyle g}$se puede elegir de modo que${\displaystyle S}$es isomorfo como un${\displaystyle R}$-álgebra a${\displaystyle (R[x]/fR[x])_{g}}$y${\displaystyle \phi }$es el mapa canónico.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$ser un morfismo de esquemas . Decimos que${\displaystyle f}$es étale si tiene alguna de las siguientes propiedades equivalentes:

1. ${\displaystyle f}$es plano y no ramificado . ^{[ 2 ]}
2. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave y no ramificado. ^{[ 2 ]}
3. ${\displaystyle f}$es plano, localmente de presentación finita , y para cada${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$la fibra${\displaystyle f^{-1}(y)}$es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es el espectro de una extensión de campo separable finita del campo residual.${\displaystyle \kappa (y)}$. ^{[ 2 ]}
4. ${\displaystyle f}$es plano, localmente de presentación finita, y para cada${\displaystyle y}$en${\displaystyle Y}$y cada cierre algebraico${\displaystyle k'}$del campo de residuos${\displaystyle \kappa (y)}$, la fibra geométrica${\displaystyle f^{-1}(y)\otimes _ {\kappa (y)}k'}$es la unión disjunta de puntos, cada uno de los cuales es isomorfo a${\displaystyle {\mbox{Especificación }}k'}$. ^{[ 2 ]}
5. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave de dimensión relativa cero. ^{[ 3 ]}
6. ${\displaystyle f}$es un morfismo suave y un morfismo localmente cuasi-finito . ^{[ 4 ]}
7. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es localmente un morfismo étale estándar, es decir,

   Por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, dejar${\displaystyle y=f(x)}$Luego hay un vecindario afín abierto.${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$de${\displaystyle y}$y un vecindario afín abierto${\displaystyle \operatorname {Spec} S}$de${\displaystyle x}$de tal manera que${\displaystyle f(\operatorname {Spec} S)}$está contenido en${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$y tal que el homomorfismo de anillos${\displaystyle R\rightarrow S}$inducido por${\displaystyle f}$es estándar étale. ^{[ 5 ]}

8. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es formalmente étale . ^{[ 2 ]}
9. ${\displaystyle f}$es localmente de presentación finita y es formalmente étale para mapas de anillos locales, es decir:

   Dejar${\displaystyle A}$ser un anillo local y${\displaystyle J}$ser un ideal de${\displaystyle A}$de tal manera que${\displaystyle J^{2}=0}$. Colocar${\displaystyle Z=\operatorname {Especificación} A}$y${\displaystyle Z_{0}=\operatorname {Especificación} A/J}$y dejar${\displaystyle i\dos puntos Z_{0}\rightarrow Z}$Sea la inmersión cerrada canónica .${\displaystyle z}$denota el punto cerrado de${\displaystyle Z_{0}}$. Dejar${\displaystyle h\colon Z\rightarrow Y}$y${\displaystyle g_{0}\dos puntos Z_{0}\rightarrow X}$sean morfismos tales que${\displaystyle f(g_{0}(z))=h(i(z))}$Entonces existe un único${\displaystyle Y}$-morfismo${\displaystyle g\dos puntos Z\rightarrow X}$de tal manera que${\displaystyle gi=g_{0}}$. ^{[ 6 ]}

Supongamos que${\displaystyle Y}$es localmente noetheriano y f es localmente de tipo finito. Para${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, dejar${\displaystyle y=f(x)}$y dejar${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}\to {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$Sea el mapa inducido en anillos locales completos . Entonces, lo siguiente es equivalente:

1. ${\displaystyle f}$es étale.
2. Por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, el mapa inducido en anillos locales completos es formalmente étale para la topología ádica. ^{[ 7 ]}
3. Por cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$,${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$es gratis${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$-módulo y la fibra${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}/m_{y}{\hat {\mathcal {O}}}_{X,x}}$es un campo que es una extensión de campo separable finita del campo residual.${\displaystyle \kappa (y)}$. ^{[ 7 ]} (Aquí${\displaystyle m_{y}}$es el ideal máximo de${\displaystyle {\hat {\mathcal {O}}}_{Y,y}}$.)
4. ${\displaystyle f}$es formalmente étale para mapas de anillos locales con las siguientes propiedades adicionales. El anillo local${\displaystyle A}$puede asumirse artiniano. Si${\displaystyle m}$es el ideal máximo de${\displaystyle A}$, entonces${\displaystyle J}$se puede suponer que satisface${\displaystyle mJ=0}$Finalmente, el morfismo en campos residuales${\displaystyle \kappa (y)\rightarrow A/m}$puede asumirse que es un isomorfismo. ^{[ 8 ]}

Si además todos los mapas en campos de residuos${\displaystyle \kappa (y)\to \kappa (x)}$son isomorfismos, o si${\displaystyle \kappa (y)}$está cerrado de forma separable, entonces${\displaystyle f}$es étale si y solo si para cada${\displaystyle x}$en${\displaystyle X}$, el mapa inducido en anillos locales completos es un isomorfismo. ^{[ 7 ]}

Cualquier inmersión abierta es étale porque localmente es un isomorfismo.

Los espacios de recubrimiento forman ejemplos de morfismos étales. Por ejemplo, si${\displaystyle d\geq 1}$es un entero invertible en el anillo${\displaystyle R}$entonces

${\displaystyle {\text{Spec}}(R[t,t^{-1},y]/(y^{d}-t))\to {\text{Spec}}(R[t,t^{-1}])}$

es un título${\displaystyle d}$morfismo étale.

Cualquier cubierta ramificada${\displaystyle \pi :X\to Y}$tiene un locus no ramificado

${\displaystyle \pi :X_{un}\to Y_{un}}$

lo cual es étale.

Morfismos

${\displaystyle {\text{Especificación}}(L)\to {\text{Especificación}}(K)}$

Las extensiones de campo separables finitas inducidas por extensiones de campo son étale: forman espacios de recubrimiento aritméticos con un grupo de transformaciones de cubierta dado por${\displaystyle {\text{Gal}}(L/K)}$.

Cualquier homomorfismo de anillo de la forma${\displaystyle R\to S=R[x_{1},\ldots ,x_{n}]_{g}/(f_{1},\ldots ,f_{n})}$, donde todos los${\displaystyle f_{i}}$son polinomios, y donde el determinante jacobiano${\displaystyle \det(\partial f_{i}/\partial x_{j})}$es una unidad en${\displaystyle S}$, es étale. Por ejemplo el morfismo${\displaystyle \mathbb {C} [t,t^{-1}]\to \mathbb {C} [x,t,t^{-1}]/(x^{n}-t)}$es etale y corresponde a un grado${\displaystyle n}$cubriendo espacio de${\displaystyle \mathbb {G} _{m}\in Sch/\mathbb {C} }$con el grupo${\displaystyle \mathbb {Z} /n}$de transformaciones de cubierta.

Ampliando el ejemplo anterior, supongamos que tenemos un morfismo${\displaystyle f}$de variedades algebraicas complejas suaves. Dado que${\displaystyle f}$está dado por ecuaciones, podemos interpretarlo como un mapa de variedades complejas. Siempre que el jacobiano de${\displaystyle f}$es distinto de cero,${\displaystyle f}$es un isomorfismo local de variedades complejas por el teorema de la función implícita . Según el ejemplo anterior, tener un jacobiano distinto de cero es lo mismo que ser étale.

Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$Sea un morfismo dominante de tipo finito con X , Y localmente noetherianos, irreducibles e Y normal. Si f no está ramificado , entonces es étale. ^{[ 9 ]}

Para un cuerpo K , cualquier K -álgebra A es necesariamente plana. Por lo tanto, A es un álgebra étale si y solo si no está ramificada, lo cual también es equivalente a

${\displaystyle A\otimes _{K}{\bar {K}}\cong {\bar {K}}\oplus ...\oplus {\bar {K}},}$

dónde${\displaystyle {\bar {K}}}$es la clausura separable del cuerpo K y el lado derecho es una suma directa finita, cuyos sumandos son todos${\displaystyle {\bar {K}}}$Esta caracterización de las K -álgebras étale es un paso fundamental para reinterpretar la teoría clásica de Galois (véase la teoría de Galois de Grothendieck ).

• Los morfismos de Étale se conservan bajo composición y cambio de base.
• Los morfismos étales son locales en la fuente y en la base. En otras palabras,${\displaystyle f:X\to Y}$es étale si y solo si para cada recubrimiento de${\displaystyle X}$mediante subesquemas abiertos la restricción de${\displaystyle f}$a cada uno de los subesquemas abiertos de la cobertura es étale, y también si y solo si para cada cobertura de${\displaystyle Y}$mediante subesquemas abiertos los morfismos inducidos${\displaystyle f_{(U)}:X\times _{Y}U\to U}$es étale para cada subesquema${\displaystyle U}$del recubrimiento. En particular, es posible probar la propiedad de ser étale en afines abiertos.${\displaystyle V=\operatorname {Spec} (B)\to U=\operatorname {Spec} (A)}$.
• El producto de una familia finita de morfismos étales es étale.
• Dada una familia finita de morfismos${\displaystyle \{f_{\alpha }:X_{\alpha }\to Y\}}$, la unión disjunta${\displaystyle \coprod f_{\alpha }:\coprod X_{\alpha }\to Y}$es étale si y solo si cada${\displaystyle f_{\alpha }}$es étale.
• Dejar${\displaystyle f:X\to Y}$y${\displaystyle g:Y\to Z}$y suponemos que${\displaystyle g}$no está ramificado y${\displaystyle gf}$es étale. Entonces${\displaystyle f}$es étale. En particular, si${\displaystyle X}$y${\displaystyle X'}$son étale sobre${\displaystyle Y}$, entonces cualquier${\displaystyle Y}$-morfismo entre${\displaystyle X}$y${\displaystyle X'}$es étale.
• Los morfismos étale cuasi compactos son cuasi finitos .
• Un morfismo${\displaystyle f:X\to Y}$es una inmersión abierta si y solo si es étale y radical . ^{[ 10 ]}
• Si ${\displaystyle f:X\to Y}$es étale y sobreyectivo, entonces${\displaystyle \dim X=\dim Y}$(finito o de otro tipo).

Morfismos étales

f : X → Y  

son la contraparte algebraica de los difeomorfismos locales . Más precisamente, un morfismo entre variedades lisas es étale en un punto si y solo si el diferencial entre los espacios tangentes correspondientes es un isomorfismo. Esta es a su vez precisamente la condición necesaria para asegurar que una aplicación entre variedades sea un difeomorfismo local, es decir, para cualquier punto y ∈ Y , existe un entorno abierto U de x tal que la restricción de f a U es un difeomorfismo. Esta conclusión no se cumple en geometría algebraica, porque la topología es demasiado gruesa. Por ejemplo, considérese la proyección f de la parábola.

y  = x ² 

al eje y . Este morfismo es étale en todos los puntos excepto en el origen (0, 0), porque el diferencial está dado por 2 x , que no se anula en estos puntos.

Sin embargo, no existe una inversa local ( Zariski ) de f , simplemente porque la raíz cuadrada no es una aplicación algebraica , ya que no está dada por polinomios. No obstante, existe una solución para esta situación, utilizando la topología étale. La afirmación precisa es la siguiente: si${\displaystyle f:X\to Y}$es étale y finito, entonces para cualquier punto y que se encuentre en Y , existe un morfismo étale V → Y que contiene a y en su imagen ( V puede pensarse como un entorno abierto étale de y ), tal que cuando cambiamos la base f a V , entonces${\displaystyle X\times _{Y}V\to V}$(el primer miembro sería la preimagen de V por f si V fuera un entorno abierto de Zariski) es una unión disjunta finita de subconjuntos abiertos isomorfos a V. En otras palabras, étale-localmente en Y , el morfismo f es un recubrimiento topológico finito.

Para un morfismo suave${\displaystyle f:X\to Y}$de dimensión relativa n , étale-localmente en X y en Y , f es una inmersión abierta en un espacio afín.${\displaystyle \mathbb {A} _{Y}^{n}}$. Esta es la versión análoga étale del teorema de estructura sobre submersiones .

• Pureza (geometría algebraica)

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, MR 0463157 
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