Grupo fundamental Étale

El grupo fundamental étale o algebraico es un análogo en geometría algebraica , para esquemas , del grupo fundamental usual de espacios topológicos .

En topología algebraica , el grupo fundamental${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$de un espacio topológico apuntado${\displaystyle (X,x)}$se define como el grupo de clases de homotopía de bucles basados ​​en${\displaystyle x}$Esta definición funciona bien para espacios como las variedades reales y complejas , pero da resultados indeseables para una variedad algebraica con la topología de Zariski .

En la clasificación de espacios recubridores , se demuestra que el grupo fundamental es precisamente el grupo de transformaciones de cubierta del espacio recubridor universal . Esto es más prometedor: los morfismos étale finitos de variedades algebraicas son el análogo apropiado de los espacios recubridores de espacios topológicos. Desafortunadamente, una variedad algebraica${\displaystyle X}$a menudo no tiene una "cobertura universal" que sea finita sobre${\displaystyle X}$, por lo que hay que considerar toda la categoría de recubrimientos étale finitos de${\displaystyle X}$. Entonces se puede definir el grupo fundamental étale como un límite inverso de grupos de automorfismos finitos .

Dejar${\displaystyle X}$Sea un esquema noetheriano conectado y localmente conectado , sea${\displaystyle x}$ser un punto geométrico de${\displaystyle X,}$y dejar${\displaystyle C}$ser la categoría de pares${\displaystyle (Y,f)}$de tal manera que${\displaystyle f\colon Y\to X}$es un morfismo étale finito de un esquema${\displaystyle Y.}$Morfismos${\displaystyle (Y,f)\to (Y',f')}$En esta categoría se encuentran los morfismos.${\displaystyle Y\to Y'}$a medida que los planes terminan${\displaystyle X.}$ Esta categoría tiene un funtor natural a la categoría de conjuntos, a saber, el funtor:

${\displaystyle F(Y)=\operatorname {Hom} _{X}(x,Y);}$

geométricamente esta es la fibra de${\displaystyle Y\to X}$encima${\displaystyle x,}$y abstractamente es el functor de Yoneda representado por${\displaystyle x}$en la categoría de planes más${\displaystyle X}$. El functor${\displaystyle F}$normalmente no es representable en${\displaystyle C}$; sin embargo, es pro-representable en${\displaystyle C}$, de hecho por Galois portadas de${\displaystyle X}$Esto significa que tenemos un sistema proyectivo .${\displaystyle \{X_{j}\to X_{i}\mid i<j\in I\}}$en${\displaystyle C}$, indexado por un conjunto dirigido${\displaystyle I,}$donde el${\displaystyle X_{i}}$son cubiertas de Galois de${\displaystyle X}$, es decir, esquemas de étale finitos sobre${\displaystyle X}$de tal manera que${\displaystyle \#\operatorname {Aut} _{X}(X_{i})=\operatorname {deg} (X_{i}/X)}$. ^{[ 1 ]} También significa que hemos dado un isomorfismo de functores:

${\displaystyle F(Y)=\varinjlim _{i\in I}\operatorname {Hom} _{C}(X_{i},Y).}$

En particular, tenemos un punto marcado${\displaystyle P\in \varprojlim _{i\in I}F(X_{i})}$del sistema proyectivo.

Para dos de tales${\displaystyle X_{i},X_{j}}$el mapa${\displaystyle X_{j}\to X_{i}}$induce un homomorfismo de grupo ${\displaystyle \operatorname {Aut} _{X}(X_{j})\to \operatorname {Aut} _{X}(X_{i})}$ que produce un sistema proyectivo de grupos de automorfismos a partir del sistema proyectivo${\displaystyle \{X_{i}\}}$. A continuación, hacemos la siguiente definición: el grupo fundamental étale${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$de${\displaystyle X}$en${\displaystyle x}$es el límite inverso:

${\displaystyle \pi _{1}(X,x)=\varprojlim _{i\in I}{\operatorname {Aut} }_{X}(X_{i}),}$

con la topología de límite inverso.

El functor${\displaystyle F}$ahora es un functor de${\displaystyle C}$a la categoría de finito y continuo${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$-establece y establece una equivalencia de categorías entre${\displaystyle C}$y la categoría de finito y continuo${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$-conjuntos. ^{[ 2 ]}

El ejemplo más básico de es${\displaystyle \pi _{1}(\operatorname {Spec} k)}$, el grupo fundamental étale de un campo${\displaystyle k}$. Esencialmente por definición, el grupo fundamental de${\displaystyle k}$Se puede demostrar que es isomorfo al grupo de Galois absoluto.${\displaystyle \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)}$. Más precisamente, la elección de un punto geométrico de${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$es equivalente a dar un campo de extensión separado y cerrado${\displaystyle K}$y el grupo fundamental étale con respecto a ese punto base se identifica con el grupo de Galois.${\displaystyle \operatorname {Gal} (K/k)}$Esta interpretación del grupo de Galois se conoce como la teoría de Galois de Grothendieck .

De manera más general, para cualquier variedad geométricamente conectada${\displaystyle X}$sobre un campo${\displaystyle k}$(es decir,${\displaystyle X}$es tal que${\displaystyle X^{sep}:=X\times _{k}k^{sep}}$está conectado) existe una secuencia exacta de grupos profinitos :

${\displaystyle 1\to \pi _{1}(X^{sep},{\overline {x}})\to \pi _{1}(X,{\overline {x}})\to \operatorname {Gal} (k^{sep}/k)\to 1.}$

Bhatt y Scholze (2015 , §7) introdujeron una variante del grupo fundamental étale denominada grupo fundamental pro-étale . Se construye considerando, en lugar de recubrimientos étale finitos, aplicaciones que son a la vez étale y satisfacen el criterio valuativo de propiedad . Para esquemas geométricamente unibranquiales (por ejemplo, esquemas normales ), ambos enfoques coinciden, pero en general el grupo fundamental pro-étale es un invariante más fino: su completación profinita es el grupo fundamental étale.

• morfismo étale
• Esquema de grupo fundamental

• Bhatt, Bhargav ; Scholze, Peter (2015), "La topología pro-étale para esquemas", Astérisque : 99– 201, arXiv : 1309.1198 , Bibcode : 2013arXiv1309.1198B , MR 3379634 
• Friedlander, Eric M. (1982), Homotopía étale de esquemas simpliciales , Annals of Mathematics Studies, vol.  104, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08288-2
• Murre, JP (1967), Lecciones sobre una introducción a la teoría del grupo fundamental de Grothendieck , Bombay: Tata Institute of Fundamental Research, MR 0302650 
• Tamagawa, Akio (1997), "La conjetura de Grothendieck para curvas afines", Compositio Mathematica , 109 (2): 135–194 , doi : 10.1023/A:1000114400142 , MR 1478817 
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