La serie de Grandi

Alrededor de 1987, Anna Sierpińska presentó la serie de Grandi a un grupo de estudiantes de precálculo de 17 años en un liceo de Varsovia . Se centró en estudiantes de humanidades con la expectativa de que su experiencia matemática sería menos significativa que la de sus compañeros que estudiaban matemáticas y física, por lo que los obstáculos epistemológicos que presentaran serían más representativos de los obstáculos que aún podrían estar presentes en los estudiantes de liceo.

Sierpińska inicialmente esperaba que los estudiantes se resistieran a asignar un valor a la serie de Grandi, momento en el que podría sorprenderlos afirmando que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠ 1 / 2 ⁠ como resultado de la fórmula de la serie geométrica. Idealmente, al buscar el error en el razonamiento e investigar la fórmula para varias razones comunes, los estudiantes "notarían que hay dos tipos de series y nacería una concepción implícita de convergencia". ^{[ 5 ]} Sin embargo, los estudiantes no mostraron sorpresa alguna al oír que 1 − 1 + 1 − 1 + ··· = ⁠ 1 / 2 ⁠ o incluso que 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ = −1 . Sierpińska señala que, a priori , la reacción de los estudiantes no debería ser demasiado sorprendente dado que Leibniz y Grandi pensaban que 1/2 era un resultado plausible;

Sin embargo, a posteriori, la explicación de esta falta de asombro por parte de los estudiantes puede ser algo diferente. Aceptaron con calma lo absurdo porque, al fin y al cabo, «las matemáticas son completamente abstractas y están muy alejadas de la realidad», y «con esas transformaciones matemáticas se pueden demostrar todo tipo de tonterías», como dijo uno de los chicos más tarde. ^{[ 5 ]}

Los estudiantes no fueron inmunes a la cuestión de la convergencia; Sierpińska logró involucrarlos en el tema al vincularlo con expansiones decimales al día siguiente. Tan pronto como 0.999... = 1 sorprendió a los estudiantes, el resto del material les resultó indiferente. ^{[ 5 ]}

En otro estudio realizado en Treviso , Italia , alrededor del año 2000, se entregaron tarjetas a alumnos de tercer y cuarto año del Liceo Científico (de entre 16 y 18 años) con las siguientes preguntas:

"En 1703, el matemático Guido Grandi estudió la suma: 1 − 1 + 1 − 1 + ... (los sumandos, infinitos, son siempre +1 y –1). ¿Cuál es su opinión al respecto?"

Los estudiantes habían sido familiarizados con el concepto de conjunto infinito, pero no tenían experiencia previa con series infinitas. Se les dieron diez minutos sin libros ni calculadoras. Las 88 respuestas se clasificaron de la siguiente manera:

(26) el resultado es 0

(18) el resultado puede ser 0 o 1

(5) el resultado no existe

( 4 ) el resultado es 1/2

(3) el resultado es 1

(2) el resultado es infinito

(30) sin respuesta

El investigador Giorgio Bagni entrevistó a varios estudiantes para determinar su razonamiento. Dieciséis de ellos justificaron una respuesta de 0 utilizando una lógica similar a la de Grandi y Riccati. Otros justificaron 1/2 como el promedio de 0 y 1. Bagni observa que su razonamiento, si bien similar al de Leibniz, carece de la base probabilística que era tan importante para las matemáticas del siglo XVIII. Concluye que las respuestas son consistentes con un vínculo entre el desarrollo histórico y el desarrollo individual, aunque el contexto cultural sea diferente. ^{[ 6 ]}

Joel Lehmann describe el proceso de distinguir entre diferentes conceptos de suma como la construcción de un puente sobre una grieta conceptual: la confusión sobre la divergencia que aquejó a las matemáticas del siglo XVIII.

"Dado que las series generalmente se presentan sin contexto histórico y separadas de sus aplicaciones, el estudiante debe preguntarse no solo "¿Qué son estas cosas?" sino también "¿Por qué estamos haciendo esto?". La preocupación por determinar la convergencia, pero no la suma, hace que todo el proceso parezca artificial e inútil para muchos estudiantes, e incluso para los instructores." ^{[ 7 ]}

Como resultado, muchos estudiantes desarrollan una actitud similar a la de Euler:

"...los problemas que surgen de forma natural (es decir, de la naturaleza) sí tienen soluciones, por lo que la suposición de que las cosas se resolverán eventualmente se justifica experimentalmente sin necesidad de pruebas de existencia. Supongamos que todo está bien, y si la solución alcanzada funciona, probablemente tenías razón, o al menos una razón suficiente. ...entonces, ¿para qué preocuparse por los detalles que solo aparecen en los problemas de tarea?" ^{[ 8 ]}

Lehmann recomienda responder a esta objeción con el mismo ejemplo que Jean-Charles Callet presentó contra el tratamiento que Euler dio a la serie de Grandi. Euler había considerado la suma como la evaluación en x = 1 de la serie geométrica .${\displaystyle 1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots =1/(1+x)}$⁠ , dando como resultado la suma ⁠ 1 / 2 ⁠ . Sin embargo, Callet señaló que uno podría ver la serie de Grandi como la evaluación en x = 1 de una serie diferente, ⁠${\displaystyle 1-x^{2}+x^{3}-x^{5}+x^{6}-\cdots ={\tfrac {1+x}{1+x+x^{2}}}}$⁠ , dando como resultado la suma ⁠ 2 / 3 ⁠ . Lehman argumenta que ver un resultado tan contradictorio en evaluaciones intuitivas puede motivar la necesidad de definiciones rigurosas y atención al detalle. ^{[ 8 ]}

El primer método riguroso para sumar series divergentes fue publicado por Ernesto Cesàro en 1890. La idea básica es similar al enfoque probabilístico de Leibniz: esencialmente, la suma de Cesàro de una serie es el promedio de todas sus sumas parciales. Formalmente, se calcula, para cada n , el promedio σ _n de las primeras n sumas parciales, y se toma el límite de estas medias de Cesàro cuando n tiende a infinito.

Para la serie de Grandi, la secuencia de medias aritméticas es

1 , ^1/2 , _2/3 , ^2/4 , ^{3/5 ,} 3/6 , 4/7 ^{, 4/8} , ...​_​​​​​_​​^​​_​​

o, de forma más sugerente,

( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₂ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₆ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₀ ), ¹ ⁄ ₂ , ( ¹ ⁄ ₂ + ¹ ⁄ ₁₄ ), ¹ ⁄ ₂ , ...

dónde

${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{2}}}$para n par y${\displaystyle \sigma _{n}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2n}}}$para n impar .

Esta sucesión de medias aritméticas converge a _1/2 ^, por lo que la suma de Cesàro de Σ a _k es ^1/2 _. De forma equivalente, se dice que el límite de Cesàro de la sucesión 1, 0, 1, 0 , ^... es ^1/2 _. ^{[ 10} ]

La suma de Cesàro de 1 + 0 − 1 + 1 + 0 − 1 + ⋯ es ² ⁄ ₃ . Por lo tanto, la suma de Cesàro de una serie puede modificarse insertando infinitos ceros e infinitos paréntesis. ^{[ 11 ]}

La serie también puede ser resumida mediante los métodos fraccionarios (C, a) más generales. ^{[ 12 ]}

La suma de Abel es similar a la definición de sumas de series divergentes que intentó dar Euler, pero evita las objeciones de Callet y N. Bernoulli al construir con precisión la función a utilizar. De hecho, es probable que Euler pretendiera limitar su definición a series de potencias ^{[ 13 ]} , y en la práctica la utilizó casi exclusivamente ^{[ 14 ]} en una forma que ahora se conoce como el método de Abel.

Dada una serie a₀ + a₁ + a₂ ₊ ... _, se _forma una nueva serie a₀ ₊ a₁x ₊ a₂x² ⁺ ... Si esta última serie converge para 0 < x _< 1 a una función con un límite cuando x tiende a 1, entonces este límite se denomina suma de Abel de la serie original, en referencia al teorema de Abel , que garantiza que el procedimiento es consistente con la suma ordinaria. Para la serie de Grandi se tiene

${\displaystyle A\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}\sum _{n=0}^{\infty }(-x)^{n}=\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {1}{1+x}}={\frac {1}{2}}.}$^{[ 15 ]}

Dada cualquier función φ(x) tal que φ(0) = 1, y la derivada de φ sea integrable sobre (0, +∞), entonces la suma generalizada de φ de la serie de Grandi existe y es igual a ¹ ⁄ ₂ :

${\displaystyle S_{\varphi }=\lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}\varphi (\delta k)={\frac {1}{2}}.}$

La suma de Cesàro o Abel se recupera al hacer que φ sea una función triangular o exponencial , respectivamente. Si además se supone que φ es continuamente diferenciable, entonces la afirmación se puede demostrar aplicando el teorema del valor medio y convirtiendo la suma en una integral. En resumen:

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}S_{\varphi }&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }\left[\varphi (2k\delta )-\varphi (2k\delta +\delta )\right]\\[1em]&=&\displaystyle \lim _{\delta \downarrow 0}\sum _{k=0}^{\infty }\varphi '(2k\delta +c_{k})(-\delta )\\[1em]&=&\displaystyle -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }\varphi '(x)\,dx=-{\frac {1}{2}}\varphi (x)|_{0}^{\infty }={\frac {1}{2}}.\end{array}}}$^{[ 19 ]}

La suma de Borel _de la serie de Grandi es nuevamente ^1/2 , ya que

${\displaystyle 1-x+{\frac {x^{2}}{2!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =e^{-x}}$

y

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-x}e^{-x}\,dx=\int _{0}^{\infty }e^{-2x}\,dx={\frac {1}{2}}.}$^{[ 20 ]}

La serie también puede ser resumida mediante métodos generalizados (B, r). ^{[ 21 ]}

Las entradas de la serie de Grandi pueden emparejarse con los autovalores de un operador de dimensión infinita en un espacio de Hilbert . Darle a la serie esta interpretación da lugar a la idea de asimetría espectral , que aparece con frecuencia en física. El valor al que suma la serie depende del comportamiento asintótico de los autovalores del operador. Así, por ejemplo, sea${\displaystyle \{\omega _{n}\}}$sea ​​una secuencia de autovalores tanto positivos como negativos. La serie de Grandi corresponde a la suma formal

${\displaystyle \sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})\;}$

dónde${\displaystyle \operatorname {sgn}(\omega _{n})=\pm 1}$es el signo del valor propio. A la serie se le pueden dar valores concretos considerando varios límites. Por ejemplo, el regulador del núcleo de calor conduce a la suma

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\sum _{n}\operatorname {sgn}(\omega _{n})e^{-t|\omega _{n}|}}$

que, en muchos casos interesantes, es finito para t distinto de cero y converge a un valor finito en el límite.

El método de la función integral con p _n = exp ( − cn ² ) y c > 0. ^{[ 22 ]}

El método de la constante de momento con

${\displaystyle d\chi =e^{-k(\log x)^{2}}x^{-1}dx}$

y k > 0. ^{[ 23 ]}

Guido Grandi ilustró la serie con una parábola que involucra a dos hermanos que comparten una gema.

La lámpara de Thomson es una supertarea en la que una lámpara hipotética se enciende y apaga infinitas veces en un intervalo de tiempo finito. Se puede pensar que encender la lámpara equivale a sumar 1 a su estado, y apagarla a restar 1. En lugar de preguntar por la suma de la serie, se pregunta por el estado final de la lámpara. ^{[ 25 ]}

Una de las parábolas clásicas más conocidas a las que se han aplicado series infinitas, Aquiles y la tortuga , también puede adaptarse al caso de la serie de Grandi. ^{[ 26 ]}

La serie de Grandi es solo un ejemplo de una serie geométrica divergente .

La serie reordenada 1 − 1 − 1 + 1 + 1 − 1 − 1 + ⋯ aparece en el tratamiento de Euler de 1775 del teorema del número pentagonal como el valor de la función de Euler en q  =  1.

La serie de potencias más famosamente asociada con la serie de Grandi es su función generadora ordinaria ,

${\displaystyle f(x)=1-x+x^{2}-x^{3}+\cdots ={\frac {1}{1+x}}.}$

Al multiplicar los términos de la serie de Grandi por 1/ n ^z se obtiene la serie de Dirichlet.

${\displaystyle \eta (z)=1-{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}-{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{z}}},}$

que converge únicamente para números complejos z con parte real positiva. La serie de Grandi se recupera haciendo z  =  0.

A diferencia de la serie geométrica, la serie de Dirichlet para η no es útil para determinar qué "debería" ser 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·. Incluso en el semiplano derecho, η ( z ) no está dada por ninguna expresión elemental, y no hay evidencia inmediata de su límite cuando z tiende a 0. ^{[ 30 ]} Por otro lado, si se utilizan métodos de sumabilidad más fuertes, entonces la serie de Dirichlet para η define una función en todo el plano complejo —la función eta de Dirichlet— y además, esta función es analítica . Para z con parte real > − 1 basta con usar la suma de Cesàro, y por lo tanto η (0) = ¹ ⁄ ₂ después de todo.   

La función η está relacionada con una serie y función de Dirichlet más famosa:

${\displaystyle {\begin{aligned}\eta (z)&=1+{\frac {1}{2^{z}}}+{\frac {1}{3^{z}}}+{\frac {1}{4^{z}}}+\cdots -{\frac {2}{2^{z}}}\left(1+{\frac {1}{2^{z}}}+\cdots \right)\\[5pt]&=\left(1-{\frac {2}{2^{z}}}\right)\zeta (z),\end{aligned}}}$

donde ζ es la función zeta de Riemann . Teniendo en cuenta la serie de Grandi, esta relación explica por qué ζ(0)  = − ¹ ⁄ ₂ ; véase también 1 + 1 + 1 + 1 + · · · . La relación también implica un resultado mucho más importante. Dado que η ( z ) y (1 − 2 ^{1 − z} ) son analíticas en todo el plano y el único cero de esta última función es un cero simple en z = 1, se deduce que ζ( z ) es meromorfa con un único polo simple en z = 1. ^{[ 31 ]}       

Dado un complejo CW S que contiene un vértice, una arista, una cara y, en general, exactamente una celda de cada dimensión, la fórmula de Euler V − E + F − · · · para la característica de Euler de S devuelve 1 − 1 + 1 − · · · . Hay algunas razones para definir una característica de Euler generalizada para un espacio de este tipo que resulta ser 1/2.

Un enfoque proviene de la geometría combinatoria . El intervalo abierto (0, 1) tiene una característica de Euler de − 1, por lo que su conjunto potencia 2 ^{(0, 1)} debería tener una característica de Euler de 2 ^{− 1} = 1/2. El conjunto potencia apropiado a tomar es el "conjunto potencia pequeño" de subconjuntos finitos del intervalo, que consiste en la unión de un punto (el conjunto vacío), un intervalo abierto (el conjunto de elementos únicos), un triángulo abierto, etc. Entonces, la característica de Euler del conjunto potencia pequeño es 1 − 1 + 1 − · · · . James Propp define una medida de Euler regularizada para conjuntos poliédricos que, en este ejemplo, reemplaza 1 − 1 + 1 − · · · con 1 − t + t ² − · · · , suma la serie para | t | < 1, y analíticamente continúa hasta t = 1, encontrando esencialmente la suma de Abel de 1 − 1 + 1 − · · · , que es 1/2. En general, encuentra χ(2 ^A ) = 2 ^{χ( A )} para cualquier conjunto poliédrico A , y la base del exponente se generaliza también a otros conjuntos. ^{[ 32 ]}

El espacio proyectivo real de dimensión infinita RP ^∞ es otra estructura con una celda de cada dimensión y, por lo tanto, una característica de Euler de 1 − 1 + 1 − · · · . Este espacio puede describirse como el cociente de la esfera de dimensión infinita identificando cada par de puntos antipodales . Dado que la esfera de dimensión infinita es contraíble , su característica de Euler es 1, y su cociente de 2 a 1 debería tener una característica de Euler de 1/2. ^{[ 33 ]}

Esta descripción de RP ^∞ también lo convierte en el espacio clasificador de Z ₂ , el grupo cíclico de orden 2 . Tom Leinster da una definición de la característica de Euler de cualquier categoría que evita el espacio clasificador y se reduce a 1/| G | para cualquier grupo cuando se considera como una categoría de un solo objeto. En este sentido, la característica de Euler de Z ₂ es en sí misma ¹ ⁄ ₂ . ^{[ 34 ]}

Las series de Grandi, y sus generalizaciones, aparecen con frecuencia en muchas ramas de la física; más típicamente en las discusiones de campos fermiónicos cuantizados (por ejemplo, el modelo de bolsa quiral ), que tienen valores propios tanto positivos como negativos ; aunque series similares también aparecen para bosones , como en el efecto Casimir .

La serie general se analiza con mayor detalle en el artículo sobre asimetría espectral , mientras que los métodos utilizados para sumarla se analizan en los artículos sobre regularización y, en particular, sobre el regulador de la función zeta .

La serie Grandi se ha aplicado, por ejemplo, al ballet por Benjamin Jarvis, en The Invariant Journal . PDF aquí: https://invariants.org.uk/assets/TheInvariant_HT2016.pdf Archivado el 16 de mayo de 2016 en Wayback Machine.

El artista de música noise Jliat tiene un sencillo musical de 2000, Still Life #7: The Grandi Series , anunciado como "arte conceptual"; consiste en casi una hora de silencio. ^{[ 35 ]}