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Articulo de referencia

1 + 2 + 3 + 4 + ⋯

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Un gráfico que representa la serie con cajas superpuestas y una parábola que desciende justo por debajo del eje Y.
Las primeras cuatro sumas parciales de la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . La parábola es su asíntota suavizada ; su intersección con el eje y es −1/12. [ 1 ]

La serie infinita cuyos términos son los enteros positivos 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es una serie divergente . La n -ésima suma parcial de la serie es el número triangular.

∑k=1nortek=norte(norte+1)2,{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}},}

que aumenta sin límite cuando n tiende a infinito . Debido a que la secuencia de sumas parciales no converge a un límite finito , la serie no tiene suma.

Si bien la serie en sí diverge al infinito, en ciertos contextos matemáticos se le puede asignar un valor finito. En particular, los métodos de regularización de la función zeta y la suma de Ramanujan asignan a la serie un valor de ⁠ − + 1 / 12 ⁠ , que se expresa mediante la famosa fórmula [ 2 ].

1+2+3+4+⋯=−112,{\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{\frac {1}{12}},}

donde el lado izquierdo debe interpretarse como el valor obtenido mediante uno de los métodos mencionados anteriormente y no como la suma de una serie infinita en su sentido habitual. Estos métodos tienen aplicaciones en otros campos como el análisis complejo , la teoría cuántica de campos y la teoría de cuerdas . [ 3 ]

En una monografía sobre la teoría del licor casero , el matemático de la Universidad de Alberta, Terry Gannon, califica esta ecuación como "una de las fórmulas más notables de la ciencia". [ 4 ]

Sumas parciales

Los primeros seis números triangulares

Las sumas parciales de la serie 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ⋯ son 1, 3, 6, 10, 15 , etc. La enésima suma parcial viene dada por una fórmula sencilla:

∑k=1nortek=norte(norte+1)2.{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}.}

Esta ecuación era conocida por los pitagóricos ya en el siglo VI a. C. [ 5 ] Los números de esta forma se llaman números triangulares , porque se pueden organizar formando un triángulo equilátero.

La sucesión infinita de números triangulares diverge a +∞, por lo que, por definición, la serie infinita 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también diverge a +∞. La divergencia es una simple consecuencia de la forma de la serie: los términos no se aproximan a cero, por lo que la serie diverge según el criterio de los términos .

Sumabilidad

Entre las series divergentes clásicas, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ es relativamente difícil de manipular para obtener un valor finito. Se utilizan muchos métodos de suma para asignar valores numéricos a las series divergentes, algunos más potentes que otros. Por ejemplo, la suma de Cesàro es un método conocido que suma la serie de Grandi , la serie ligeramente divergente 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ , a ⁠ 1 / 2 ⁠ . La suma de Abel es un método más potente que no solo suma la serie de Grandi a ⁠ 1 / 2 ⁠ , sino que también suma la serie más compleja 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ a ⁠ 1 / 4 ⁠ .

A diferencia de la serie anterior, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ no es sumable de Cesàro ni de Abel. Estos métodos funcionan con series divergentes oscilantes, pero no pueden producir una respuesta finita para una serie que diverge a +∞. [ 6 ] La mayoría de las definiciones más elementales de la suma de una serie divergente son estables y lineales, y cualquier método que sea a la vez estable y lineal no puede sumar 1 + 2 + 3 + ⋯ a un valor finito . Se requieren métodos más avanzados, como la regularización de la función zeta o la suma de Ramanujan . También es posible argumentar a favor del valor de ⁠ − + 1 / 12 ⁠ utilizando algunas heurísticas aproximadas relacionadas con estos métodos.

Heurísticas

Fragmento del primer cuaderno de Ramanujan que describe la "constante" de la serie.

Srinivasa Ramanujan presentó dos derivaciones de " 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ " en el capítulo 8 de su primer cuaderno. [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] El argumento más simple procede en dos pasos, como sigue.

La primera idea clave es que la serie de números positivos 1 + 2 + 3 + 4 + ... se asemeja mucho a la serie alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ... . Esta última serie también es divergente, pero es mucho más fácil de manejar; existen varios métodos clásicos que le asignan un valor, los cuales se han explorado desde el siglo XVIII. [ 10 ]

Para transformar la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ en 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ , se puede restar 4 al segundo término, 8 al cuarto término, 12 al sexto término, y así sucesivamente. La cantidad total a restar es 4 + 8 + 12 + 16 + ⋯ , que es 4 veces la serie original. Estas relaciones se pueden expresar mediante álgebra. Cualquiera que sea la "suma" de la serie, llamémosla c = 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯. Luego, multiplicamos esta ecuación por 4 y restamos la segunda ecuación de la primera: do=1+2+3+4+5+6+⋯4do=4+8+12+⋯do−4do=1−2+3−4+5−6+⋯{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}c={}&&1+2&&{}+3+4&&{}+5+6+\cdots \\4c={}&&4&&{}+8&&{}+12+\cdots \\c-4c={}&&1-2&&{}+3-4&&{}+5-6+\cdots \end{alignedat}}}

La segunda idea clave es que la serie alternada 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ es la expansión formal en serie de potencias (para x en el punto 0) de la función ⁠ 1 / (1 + x ) 2 ⁠ que es 1 − 2 x + 3 x 2 − 4 x 3 + ⋯ evaluada con x definido como 1. En consecuencia, Ramanujan escribe: −3do=1−2+3−4+⋯=1(1+1)2=14.{\displaystyle -3c=1-2+3-4+\cdots ={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}

Dividiendo ambos lados por −3, se obtiene c  = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . 

En términos generales, es incorrecto manipular series infinitas como si fueran sumas finitas. Por ejemplo, si se insertan ceros en posiciones arbitrarias de una serie divergente, es posible obtener resultados que no son consistentes consigo mismos, y mucho menos consistentes con otros métodos. En particular, el paso 4c = 0 + 4 + 0 + 8 + ... no se justifica únicamente por la ley de identidad aditiva . Como ejemplo extremo, anteponer un solo cero al principio de la serie puede conducir a un resultado diferente. [ 1 ]

Una forma de remediar esta situación y restringir los lugares donde se pueden insertar ceros es hacer un seguimiento de cada término de la serie adjuntándole una dependencia de alguna función. [ 11 ] En la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , cada término n es simplemente un número. Si el término n se convierte en una función n −s , donde s es una variable compleja, entonces se puede asegurar que solo se sumen términos semejantes. La serie resultante se puede manipular de forma más rigurosa, y la variable s se puede establecer en −1 posteriormente. La implementación de esta estrategia se llama regularización de la función zeta .

Regularización de la función zeta

Gráfico de ζ ( s ) . Para s > 1 , la serie converge y ζ ( s ) > 1 . La continuación analítica alrededor del polo en s = 1 conduce a una región de valores negativos, incluyendo ζ (−1) = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ .

En la regularización de la función zeta , la serie∑norte=1∞norte{\textstyle \sum _ {n=1}^{\infty }n}es reemplazado por la serie∑norte=1∞norte−s.{\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}.}Esta última serie es un ejemplo de una serie de Dirichlet . Cuando la parte real de s es mayor que 1, la serie de Dirichlet converge y su suma es la función zeta de Riemann ζ ( s ) . Por otro lado, la serie de Dirichlet diverge cuando la parte real de s es menor o igual que 1, por lo que, en particular, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ que resulta de establecer s = −1 no converge. La ventaja de introducir la función zeta de Riemann es que se puede definir para otros valores de s mediante continuación analítica . Entonces se puede definir la suma regularizada por zeta de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ como ζ (−1) .

A partir de este punto, existen varias maneras de demostrar que ζ (−1) = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . Un método, siguiendo el razonamiento de Euler, [ 12 ] utiliza la relación entre la función zeta de Riemann y la función eta de Dirichlet η ( s ) . La función eta se define mediante una serie de Dirichlet alternada, por lo que este método es similar a las heurísticas anteriores. Donde ambas series de Dirichlet convergen, se cumplen las identidades:

ζ(s)=1−s+2−s+3−s+4−s+5−s+6−s+⋯2×2−sζ(s)=2×2−s+2×4−s+2×6−s+⋯(1−21−s)ζ(s)=1−s−2−s+3−s−4−s+5−s−6−s+⋯=η(s).{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}\zeta (s)&{}={}&1^{-s}+2^{-s}&&{}+3^{-s}+4^{-s}&&{}+5^{-s}+6^{-s}+\cdots &\\2\times 2^{-s}\zeta (s)&{}={}&2\times 2^{-s}&&{}+2\times 4^{-s}&&{}+2\times 6^{-s}+\cdots &\\\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)&{}={}&1^{-s}-2^{-s}&&{}+3^{-s}-4^{-s}&&{}+5^{-s}-6^{-s}+\cdots &=\eta (s).\end{alignedat}}}

La identidad(1−21−s)ζ(s)=η(s){\displaystyle (1-2^{1-s})\zeta (s)=\eta (s)}sigue siendo válido cuando ambas funciones se extienden mediante continuación analítica para incluir valores de s para los cuales divergen las series anteriores. Sustituyendo s = −1 , se obtiene −3 ζ (−1) = η (−1) . Ahora, calcular η (−1) es una tarea más sencilla, ya que la función eta es igual a la suma de Abel de su serie definitoria, [ 13 ] que es un límite lateral :

−3ζ(−1)=η(−1)=límiteincógnita→1−(1−2incógnita+3incógnita2−4incógnita3+⋯)=límiteincógnita→1−1(1+incógnita)2=14.{\displaystyle -3\zeta (-1)=\eta (-1)=\lim _{x\to 1^{-}}\left(1-2x+3x^{2}-4x^{3}+\cdots \right)=\lim _{x\to 1^{-}}{\frac {1}{(1+x)^{2}}}={\frac {1}{4}}.}

Dividiendo ambos lados por −3, se obtiene ζ (−1) = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ .

Regularización de corte

Un gráfico que representa la serie con recuadros superpuestos.
La serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
Un gráfico que representa la serie suavizada con franjas curvas superpuestas.
Después de alisar
Un gráfico que muestra una parábola que desciende justo por debajo del eje y.
Comportamiento asintótico del suavizado. La intersección con el eje y de la parábola es ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . [ 1 ]

El método de regularización mediante una función de corte puede "suavizar" la serie para llegar a ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . El suavizado es un puente conceptual entre la regularización de la función zeta, que se basa en el análisis complejo , y la suma de Ramanujan, que ofrece un atajo a la fórmula de Euler-Maclaurin . En cambio, el método opera directamente sobre transformaciones conservativas de la serie, utilizando métodos del análisis real .

La idea es reemplazar la serie discreta de mal comportamiento.∑norte=0nortenorte{\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N}n}con una versión suavizada

∑norte=0∞norteF(nortenorte),{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }nf\left({\frac {n}{N}}\right),}

donde f es una función de corte con propiedades apropiadas. La función de corte debe normalizarse a f (0) = 1 ; esta es una normalización diferente a la utilizada en ecuaciones diferenciales. La función de corte debe tener suficientes derivadas acotadas para suavizar las irregularidades de la serie, y debe decaer a 0 más rápido que el crecimiento de la serie. Para mayor comodidad, se puede requerir que f sea suave , acotada y con soporte compacto . Entonces se puede demostrar que esta suma suavizada es asintótica a ⁠ − + 1 / 12 ⁠ + CN 2 , donde C es una constante que depende de f . El término constante de la expansión asintótica no depende de f : es necesariamente el mismo valor dado por continuación analítica, ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . [ 1 ] 

Resumen de Ramanujan

La suma de Ramanujan de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también es ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . Ramanujan escribió en su segunda carta a GH Hardy , fechada el 27 de febrero de 1913: 

Estimado señor: Me complace enormemente leer su carta del 8 de febrero de 1913. Esperaba una respuesta suya similar a la que me escribió un profesor de matemáticas de Londres, en la que me pedía que estudiara con detenimiento la serie infinita de Bromwich y que no cayera en las trampas de las series divergentes. ... Le dije que la suma de un número infinito de términos de la serie: 1 + 2 + 3 + 4 + ... = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ según mi teoría. Si le digo esto, enseguida pensará que mi objetivo es el manicomio. Me extiendo sobre esto simplemente para convencerle de que no podrá seguir mis métodos de demostración si le indico las líneas que sigo en una sola carta. [ 14 ]

La suma de Ramanujan es un método para aislar el término constante en la fórmula de Euler-Maclaurin para las sumas parciales de una serie. Para una función f , la suma clásica de Ramanujan de la serie∑k=1∞F(k){\displaystyle \textstyle \sum _{k=1}^{\infty }f(k)}se define como

do=−12F(0)−∑k=1∞B2k(2k)¡F(2k−1)(0),{\displaystyle c=-{\frac {1}{2}}f(0)-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {B_{2k}}{(2k)!}}f^{(2k-1)}(0),}

donde f (2 k −1) es la (2 k  −  1)-ésima derivada de f y B 2 k es el (2 k )-ésimo número de Bernoulli : B 2 = ⁠ 1 / 6 ⁠ , B 4 = ⁠ − + 1 / 30 ⁠ , y así sucesivamente. Haciendo f ( x ) = x , la primera derivada de f es 1, y todos los demás términos se anulan, por lo que [ 15 ]

do=−16×12¡=−112.{\displaystyle c=-{\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{2!}}=-{\frac {1}{12}}.}

Para evitar inconsistencias, la teoría moderna de la suma de Ramanujan requiere que f sea "regular" en el sentido de que las derivadas de orden superior de f decaigan lo suficientemente rápido como para que los términos restantes en la fórmula de Euler-Maclaurin tiendan a 0. Ramanujan asumió tácitamente esta propiedad. [ 15 ] El requisito de regularidad impide el uso de la suma de Ramanujan en series espaciadas como 0 + 2 + 0 + 4 + ... , porque ninguna función regular toma esos valores. En cambio, dicha serie debe interpretarse mediante la regularización de la función zeta. Por esta razón, Hardy recomienda "gran precaución" al aplicar las sumas de Ramanujan de series conocidas para hallar las sumas de series relacionadas. [ 16 ]

Fallo de los métodos de suma lineal estables

Un método de suma lineal y estable no puede sumar la serie 1 + 2 + 3 + ... a ningún valor finito. (Estable significa que agregar un término al principio de la serie aumenta la suma en el valor del término agregado). Esto se puede ver de la siguiente manera: Si

1+2+3+⋯=incógnita,{\displaystyle 1+2+3+\cdots =x,}

luego, sumando 0 a ambos lados se obtiene

0+1+2+3+⋯=0+incógnita=incógnita{\displaystyle 0+1+2+3+\cdots =0+x=x}

por estabilidad. Por linealidad, se puede restar la segunda ecuación de la primera (restando cada componente de la segunda línea de la primera línea en columnas) para obtener

1+1+1+⋯=incógnita−incógnita=0.{\displaystyle 1+1+1+\cdots =x-x=0.}

Sumando 0 a ambos lados nuevamente se obtiene

0+1+1+1+⋯=0,{\displaystyle 0+1+1+1+\cdots =0,}

y restando las dos últimas series se obtiene

1+0+0+0+⋯=0,{\displaystyle 1+0+0+0+\cdots =0,}

estabilidad contradictoria.

Por lo tanto, todo método que dé un valor finito a la suma 1 + 2 + 3 + ⋯ no es estable ni lineal. [ 17 ]

Física

En la teoría de cuerdas bosónicas , el objetivo es calcular los posibles niveles de energía de una cuerda, en particular, el nivel de energía más bajo. En términos informales, cada armónico de la cuerda puede considerarse como una colección de D − 2 osciladores armónicos cuánticos independientes , uno para cada dirección transversal , donde D es la dimensión del espacio-tiempo. Si la frecuencia de oscilación fundamental es ω , entonces la energía en un oscilador que contribuye al n -ésimo armónico es nħω /2 . Así, utilizando la serie divergente, la suma sobre todos los armónicos es −ħω ( D − 2)/24 . En última instancia, es este hecho, combinado con el teorema de Goddard-Thorn , lo que lleva a que la teoría de cuerdas bosónicas no sea consistente en dimensiones distintas de 26. [ 18 ]

La regularización de 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ también interviene en el cálculo de la fuerza de Casimir para un campo escalar en una dimensión. [ 19 ] Una función de corte exponencial es suficiente para suavizar la serie, lo que representa el hecho de que los modos de energía arbitrariamente alta no son bloqueados por las placas conductoras. La simetría espacial del problema es responsable de cancelar el término cuadrático de la expansión. Lo único que queda es el término constante −1/12, y el signo negativo de este resultado refleja el hecho de que la fuerza de Casimir es atractiva. [ 20 ]

Se realiza un cálculo similar en tres dimensiones, utilizando la función zeta de Epstein en lugar de la función zeta de Riemann. [ 21 ]

Historia

No está claro si Leonhard Euler sumó la serie a ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . Según Morris Kline , el trabajo inicial de Euler sobre series divergentes se basó en expansiones de funciones, de las cuales concluyó 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ∞ . [ 22 ] Según Raymond Ayoub, el hecho de que la serie zeta divergente no sea sumable de Abel impidió que Euler utilizara la función zeta con la misma libertad que la función eta, y «no pudo haberle atribuido un significado» a la serie. [ 23 ] Otros autores han atribuido a Euler la suma, sugiriendo que Euler habría extendido la relación entre las funciones zeta y eta a enteros negativos. [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] En la literatura primaria, la serie 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ se menciona en la publicación de Euler de 1760, De seriebus divergentibus, junto con la serie geométrica divergente 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯ . Euler insinúa que las series de este tipo tienen sumas finitas y negativas, y explica lo que esto significa para las series geométricas, pero no vuelve a discutir 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ . En la misma publicación, Euler escribe que la suma de 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ es infinita. [ 27 ]

La novela de David Leavitt de 2007, El empleado indio, incluye una escena en la que Hardy y Littlewood discuten el significado de esta serie. Concluyen que Ramanujan ha redescubierto ζ (−1) y toman la frase "manicomio" en su segunda carta como una señal de que Ramanujan está jugando con ellos. [ 28 ]

La obra de Simon McBurney de 2007, A Disappearing Number, se centra en la serie en la escena inicial. El personaje principal, Ruth, entra en un aula y presenta la idea de una serie divergente antes de proclamar: "Voy a mostrarles algo realmente emocionante", a saber, 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ . Mientras Ruth comienza a derivar la ecuación funcional de la función zeta, otro actor se dirige al público, admitiendo que son actores: "Pero las matemáticas son reales. Es aterrador, pero es real". [ 29 ] [ 30 ]

En enero de 2014, Numberphile produjo un video de YouTube sobre la serie, que obtuvo más de 1,5  millones de visualizaciones en su primer mes. [ 31 ] El video de 8 minutos está narrado por Tony Padilla, un físico de la Universidad de Nottingham . Padilla comienza con 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ y 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ y relaciona este último con 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ utilizando una resta término por término similar al argumento de Ramanujan. [ 32 ] Numberphile también publicó una versión de 21 minutos del vídeo con el físico de Nottingham Ed Copeland , quien describe con más detalle cómo 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = ⁠ 1 / 4 ⁠ como una suma de Abel, y 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ = ⁠ − + 1 / 12 ⁠ como ζ (−1) . [ 33 ] Tras recibir quejas sobre la falta de rigor en el primer vídeo, Padilla también escribió una explicación en su página web relacionando las manipulaciones del vídeo con identidades entre las continuaciones analíticas de la serie de Dirichlet correspondiente. [ 34 ]

En la cobertura del New York Times sobre el video Numberphile, el matemático Edward Frenkel comentó: "Este cálculo es uno de los secretos mejor guardados de las matemáticas. Nadie ajeno a este mundo lo conoce". [ 31 ]

La cobertura de este tema en la revista Smithsonian describe el video Numberphile como engañoso y señala que la interpretación de la suma como ⁠ − + 1 / 12 ⁠ se basa en un significado especializado para el signo de igualdad , de las técnicas de continuación analítica , en las que la igualdad significa que está asociada con . [ 35 ] El video Numberphile fue criticado por razones similares por el matemático alemán Burkard Polster en su canal de YouTube Mathologer en 2018, y su video recibió 2,7 millones de visualizaciones para 2023. [ 36 ]

Referencias

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  32. ↑ ASOMBROSO: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ = –1/12 en YouTube .
  33. ↑ Suma de los números naturales (segunda demostración y metraje adicional) en YouTube .
  34. ↑ Padilla, Tony. "¿Qué obtenemos si sumamos todos los números naturales?" . Consultado el 3 de febrero de 2014 .
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Bibliografía

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  • Zee, A. (2003). Teoría cuántica de campos en pocas palabras . Princeton UP. ISBN 0-691-01019-6.

Lecturas adicionales

  • Zwiebach, Barton (2004). Un primer curso de teoría de cuerdas . Cambridge UP. ISBN 0-521-83143-1.Véase la página  293.
  • Elizalde, Emilio (2004). "Cosmología: Técnicas y Aplicaciones". Actas de la II Conferencia Internacional sobre Interacciones Fundamentales . arXiv : gr-qc/0409076 . Bibcode : 2004gr.qc.....9076E .
  • Watson, GN (abril de 1929), "Teoremas enunciados por Ramanujan (VIII): Teoremas sobre series divergentes", Journal of the London Mathematical Society , 1, 4 (2): 82– 86, doi : 10.1112/jlms/s1-4.14.82
  • Lamb E. (2014), " ¿Realmente 1+2+3... es igual a –1/12? ", Blogs de Scientific American .
  • Hallazgos de esta semana en física matemática (Semana 124) , (Semana 126) , (Semana 147) , (Semana 213)
    • Demostración de Euler de que 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 – por John Baez
    • John Baez (19 de septiembre de 2008). "Mis números favoritos: 24" (PDF) .
  • La fórmula de Euler-Maclaurin, los números de Bernoulli, la función zeta y la continuación analítica de variables reales por Terence Tao
  • Una evaluación recursiva de zeta de enteros negativos por Luboš Motl
  • Enlace al vídeo de Numberphile: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ = –1/12
    • La suma de los números naturales (segunda demostración y metraje adicional) incluye una demostración del método de Euler.
    • ¿Qué obtenemos si sumamos todos los números naturales? Respuesta a los comentarios sobre el vídeo de Tony Padilla.
    • Artículo relacionado del New York Times
    • Por qué –1/12 es una joya: continuación del vídeo de Numberphile con Edward Frenkel.
  • Series divergentes: por qué 1 + 2 + 3 + ⋯ = −1/12 por Brydon Cais de la Universidad de Arizona