24 celdas

En geometría tetradimensional , la celda de 24 caras es un politopo regular convexo de 4 caras , ^{[ 1 ]} un análogo tetradimensional de un sólido platónico . Recibe su nombre de los 24 octaedros que forman su límite.

También se le llama C ₂₄ , o icositetracoron , ^{[ 2 ]} octaplex (abreviatura de "complejo octaédrico"), icosatetrahedroid , ^{[ 3 ]} octacubo , hiperdiamante o polioctaedro , estando construido a partir de celdas octaédricas .

Descripción geométrica

La celda de 24 caras es un límite de politopo convexo de cuatro dimensiones, una analogía del cuboctaedro y su dual, el dodecaedro rómbico, en cuatro dimensiones. ^{[ 4 ]} Está compuesta por 24 celdas octaédricas , seis de las cuales se unen en cada vértice y tres en cada arista. ^{[ 5 ]} En conjunto, tiene 96 caras triangulares, 96 aristas y 24 vértices. Al igual que otros politopos regulares de cuatro dimensiones, como la celda de 5 caras , la celda de 24 caras es autodual . La celda de 24 caras y el teseracto son los únicos 4-politopos regulares convexos en los que la longitud de la arista es igual al radio. Su geometría se resume mediante su símbolo de Schläfli . $\{3,4,3\}$ , lo que indica que sus caras son 3-gonos regulares (triángulos), sus celdas son octaedros (poliedros con caras de 3 lados, 4 de los cuales se unen en cada vértice) y la figura del vértice es un cubo (un poliedro con caras de 4 lados, 3 de los cuales se unen en cada vértice).

La celda de 24 puntos contiene tres celdas de 8 puntos y 16 elementos (rojo, verde y azul), rotadas 60 grados una respecto a la otra.

La red de una celda de 24 celdas está compuesta por octaedros regulares.

La celda de 24 incorpora las geometrías de todos los politopos regulares convexos en las primeras cuatro dimensiones, excepto la celda de 5, aquellos con un 5 en su símbolo de Schlӓfli y los polígonos regulares con 7 o más lados. En otras palabras, la celda de 24 contiene todos los politopos regulares formados por triángulos y cuadrados que existen en cuatro dimensiones, excepto la celda regular de 5, pero ninguno de los politopos pentagonales. Las relaciones geométricas entre todos estos politopos regulares se pueden observar en una sola celda de 24 o en el panal de abejas de 24 celdas .

El 24-celda es el cuarto en la secuencia de seis 4-politopos regulares convexos (en orden de tamaño y complejidad). Los 4-politopos regulares convexos se pueden ordenar por tamaño como una medida de contenido de 4 dimensiones (hipervolumen) para el mismo radio. Este es su orden de enumeración propio, el orden en el que se anidan unos dentro de otros como compuestos. ^{[ 6 ]} Cada politopo mayor en la secuencia es más redondo que su predecesor, encerrando más contenido dentro del mismo radio. El 4-símplex (5-celda) es el caso límite más pequeño, y el 120-celda es el más grande. La complejidad (como se mide comparando matrices de configuración o simplemente el número de vértices) sigue el mismo orden. Esto proporciona un esquema de nomenclatura numérica alternativo para politopos regulares en el que la celda de 24 puntos es el politopo de 4 puntos de 24 puntos: cuarto en la secuencia ascendente que va del politopo de 4 puntos de 5 puntos al politopo de 4 puntos de 600 puntos. Se puede deconstruir en 3 instancias superpuestas de su predecesor, el teseracto (celda de 8 puntos), así como la celda de 8 puntos se puede deconstruir en 2 instancias de su predecesor, la celda de 16 puntos . ^{[ 7 ]} El procedimiento inverso para construir cada uno de estos a partir de una instancia de su predecesor conserva el radio del predecesor, pero generalmente produce un sucesor con una longitud de arista menor.

La celda de 24 lados es la envoltura convexa de sus vértices que se puede describir como las 24 permutaciones de coordenadas de: ^{[ 8 ]} $(\pm 1,\pm 1,0,0)\in \mathbb {R} ^{4}.$ Esas coordenadas se pueden construir como la celda de 24 lados , rectificando la celda de 16 lados con los 8 vértices que son permutaciones de $(\pm 2,0,0,0)$ [ ⁸^] La figura del vértice de una celda de 16 lados es el octaedro ; por lo tanto, al cortar los vértices de la celda ^de 16 lados en el punto medio de sus aristas incidentes se obtienen 8 celdas octaédricas. Este proceso también rectifica las celdas tetraédricas de la celda de 16 lados, que se convierten en 16 octaedros, dando como resultado 24 celdas octaédricas para la celda de 24 lados. ^[⁹^]

Los 12 ejes y 16 hexágonos de la celda de 24 constituyen una configuración de Reye , que en el lenguaje de configuraciones se escribe como 12 ₄ 16 ₃ para indicar que cada eje pertenece a 4 hexágonos y cada hexágono contiene 3 ejes. ^{[ 10 ]}

Esta matriz de configuración representa la celda de 24 elementos. Las filas y columnas corresponden a vértices, aristas, caras y celdas. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de cada tipo aparecen en la celda de 24 elementos. Los números de la diagonal indican cuántos elementos de la columna aparecen en o en el elemento de la fila. ^{[ 11 ]} ${\begin{bmatrix}24&8&12&6\\2&96&3&3\\3&3&96&2\\6&12&8&24\end{bmatrix}}.$

Sistemas radiculares

Los 24 vectores raíz del sistema de raíces D ₄ del grupo de Lie simple SO(8) forman los vértices de una celda de 24 vértices. Estos vértices se pueden observar en 3 hiperplanos , con los 6 vértices de una celda octaédrica en cada uno de los hiperplanos exteriores y los 12 vértices de un cuboctaedro en un hiperplano central. Estos vértices, junto con los 8 vértices de la celda de 16 vértices , representan los 32 vectores raíz de los grupos de Lie simples B ₄ y C _{4 .}

Los 48 vértices (o, estrictamente hablando, sus vectores de radio) de la unión de la 24-celda y su dual forman el sistema de raíces de tipo F ₄ . ^{[ 12 ]} Los 24 vértices de la 24-celda original forman un sistema de raíces de tipo D ₄ ; su tamaño tiene la razón √ 2 :1. Esto es igualmente cierto para los 24 vértices de su dual. El grupo de simetría completo de la 24-celda es el grupo de Weyl de F ₄ , que se genera por reflexiones a través de los hiperplanos ortogonales a las raíces de F _4. Este es un grupo resoluble de orden 1152. El grupo de simetría rotacional de la 24-celda es de orden 576.

interpretación cuaterniónica

Cuando se interpreta como cuaterniones , la red raíz F ₄ (que es el espacio entero generado por los vértices de la celda de 24 elementos) es cerrada bajo la multiplicación y, por lo tanto, es un anillo . Este es el anillo de cuaterniones enteros de Hurwitz . Los vértices de la celda de 24 elementos forman el grupo de unidades (es decir, el grupo de elementos invertibles) en el anillo de cuaterniones de Hurwitz (este grupo también se conoce como el grupo tetraédrico binario ). Los vértices de la celda de 24 elementos son precisamente los 24 cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado 1, y los vértices de la celda de 24 elementos dual son aquellos con norma al cuadrado 2. La red raíz D ₄ es la dual de la F ₄ y está dada por el subanillo de cuaterniones de Hurwitz con norma al cuadrado par. ^[¹³^]

Vistas como los cuaterniones de Hurwitz de 24 unidades , las coordenadas del radio unitario de la celda de 24 representan (en pares antipodales) las 12 rotaciones de un tetraedro regular. ^{[ 5 ]}

Los vértices de otros 4-politopos regulares convexos también forman grupos multiplicativos de cuaterniones, pero pocos de ellos generan una red de raíces. ^{[ 14 ]}

Celdas de Voronoi y teselación

Las celdas de Voronoi de la red raíz D ₄ son celdas regulares de 24 celdas. La teselación de Voronoi correspondiente da la teselación del espacio euclidiano de cuatro dimensiones mediante celdas regulares de 24 celdas, el panal de 24 celdas . Como politopo que puede cubrirse mediante traslación, la celda de 24 celdas es un ejemplo de paralelepípedo , el más simple que no es también un zonotopo . ^{[ 15 ]} El símbolo de Schläfli para esta teselación es $\{3,4,3,3\}$ Es una de las tres únicas teselaciones regulares de $\mathbb {R} ^{4}$ Las celdas de 24 elementos están centradas en los puntos de la red D ₄ (cuaterniones de Hurwitz con norma par al cuadrado), mientras que los vértices se encuentran en los puntos de la red F ₄ con norma impar al cuadrado. Cada celda de 24 elementos de esta teselación tiene 24 vecinos. Con cada uno de ellos comparte un octaedro. Además, tiene otros 24 vecinos con los que comparte un único vértice. Ocho celdas de 24 elementos confluyen en cualquier vértice de esta teselación.

La teselación dual del panal de 24 celdas {3,4,3,3} es el panal de 16 celdas {3,3,4,3} . La tercera teselación regular del espacio tetradimensional es el panal teseractico {4,3,3,4} , cuyos vértices pueden describirse mediante coordenadas cartesianas de 4 enteros. Las relaciones de congruencia entre estas tres teselaciones pueden ser útiles para visualizar el panal de 24 celdas, en particular la simetría radial equilátera que comparte con el teseracto.

Rotaciones

Los 4-politopos convexos regulares son una expresión de su simetría subyacente , conocida como SO(4) , el grupo de rotaciones alrededor de un punto fijo en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. ^{[ 16 ]}

Proyección 3D de un modelo de 24 celdas realizando una rotación simple .

Proyección 3D de un modelo de 24 celdas realizando una doble rotación .

Las rotaciones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones pueden verse como la composición de dos rotaciones bidimensionales en planos completamente ortogonales. ^{[ 17 ]} Por lo tanto, la rotación general en el espacio de 4 dimensiones es una rotación doble . ^{[ 18 ]} Hay dos casos especiales importantes: una rotación simple (en la que un ángulo de rotación es 0) y una rotación isoclínica (similar pero no idéntica a dos rotaciones simples que pasan por el mismo ángulo).

En el modelo de 24 celdas, existe una rotación simple que lleva cualquier vértice directamente a cualquier otro vértice, desplazando también la mayoría de los demás vértices, pero dejando fijos al menos 2 y como máximo 6 vértices (los vértices que interseca el plano central fijo). El vértice se mueve a lo largo de un círculo máximo en el plano invariante de rotación entre vértices adyacentes de un hexágono máximo, un cuadrado máximo o un digon máximo , y el plano fijo completamente ortogonal es un digon, un cuadrado o un hexágono, respectivamente.
Las rotaciones dobles se presentan en dos formas quirales : rotaciones izquierdas y derechas . En una rotación doble, cada vértice se mueve en espiral a lo largo de dos círculos máximos ortogonales simultáneamente. La trayectoria puede ser de rosca derecha (como la mayoría de los tornillos y pernos), moviéndose a lo largo de los círculos en las mismas direcciones, o de rosca izquierda (como un perno de rosca inversa), moviéndose a lo largo de los círculos en direcciones opuestas (según la regla de la mano derecha, que indica la dirección "hacia arriba" en cada uno de los cuatro ejes de coordenadas). ^{[ 19 ]} En las rotaciones dobles de la celda de 24 caras que llevan vértices a vértices, un plano de rotación invariante contiene un hexágono máximo, un cuadrado máximo o solo un eje (dos vértices, un digon máximo). El plano de rotación invariante completamente ortogonal contendrá necesariamente un digon máximo, un cuadrado máximo o un hexágono máximo, respectivamente. La selección de un plano de rotación invariante, una dirección y un ángulo de rotación para girarlo, y una dirección y un ángulo de rotación para girar su plano completamente ortogonal, determina por completo la naturaleza del desplazamiento rotacional. En la celda de 24 celdas, existen varios tipos notables de doble rotación permitidos por estos parámetros. ^{[ 20 ]}
Cuando los ángulos de rotación en los dos planos invariantes completamente ortogonales son exactamente iguales, ocurre una transformación notablemente simétrica : ^[²¹^] todos los planos de círculo máximo paralelos de Clifford al par de planos invariantes se convierten en pares de planos de rotación invariantes, a través de ese mismo ángulo, y el 4-politopo rota isoclínicamente en muchas direcciones a la vez. ^[²²^] Cada vértice se mueve una distancia igual en cuatro direcciones ortogonales al mismo tiempo. En la celda de 24, cualquier rotación isoclínica a través de 60 grados en un plano hexagonal lleva cada vértice a un vértice a dos longitudes de arista de distancia, rota los 16 hexágonos 60 grados y lleva cada polígono de círculo máximo (cuadrado, hexágono o triángulo) a un polígono de círculo máximo paralelo de Clifford del mismo tipo a 120 grados de distancia. Una rotación isoclínica también se llama desplazamiento de Clifford , en honor a su descubridor .

La celda de 24 capas en la animación de doble rotación parece invertirse. Lo parece, porque en realidad lo hace, invirtiendo la quiralidad de todo el politopo de 4 capas, del mismo modo que el espejo del baño invierte la quiralidad de la imagen con una reflexión de 180 grados. Cada rotación isoclínica de 360 grados es como si la superficie de la celda de 24 capas se hubiera despojado como un guante y se hubiera dado la vuelta, convirtiendo un guante de mano derecha en uno de mano izquierda (o viceversa). ^{[ 23 ]}

Ortoesquema característico

Cada 4-politopo regular tiene su 4-ortoesquema característico , una 5-celda irregular . La 5-celda característica de la 24-celda regular está representada por el diagrama de Coxeter-Dynkin , que puede leerse como una lista de los ángulos diedros entre sus caras especulares. Es una pirámide tetraédrica irregular basada en el tetraedro característico del octaedro regular . La 24-celda regular se subdivide mediante sus hiperplanos de simetría en 1152 instancias de su 5-celda característica que convergen en su centro. ^[²⁷^]

La celda característica de 5 lados (ortoesquema de 4 lados) tiene cuatro aristas más que su tetraedro característico base (ortoesquema de 3 lados), uniendo los cuatro vértices de la base a su ápice (el quinto vértice del ortoesquema de 4 lados, en el centro de la celda regular de 24 lados). Si la celda regular de 24 lados tiene radio y longitud de arista 𝒍 = 1, las diez aristas de su celda característica de 5 lados tienen longitudes ${\sqrt {\tfrac {1}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ alrededor de su cara exterior triangular rectángulo (los bordes opuestos a los ángulos característicos 𝟀, 𝝉, 𝟁), más ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ (las otras tres aristas de la faceta exterior del 3-ortoesquema forman el tetraedro característico, que son los radios característicos del octaedro), más $1$ , ${\sqrt {\tfrac {3}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {2}{3}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ (aristas que son los radios característicos de la celda de 24). El camino de 4 aristas a lo largo de las aristas ortogonales del ortoesquema es ${\sqrt {\tfrac {1}{4}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{12}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{6}}}$ , ${\sqrt {\tfrac {1}{2}}}$ , primero desde un vértice de 24 celdas hasta el centro de una arista de 24 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una cara de 24 celdas, luego girando 90° hasta el centro de una celda octaédrica de 24 celdas, y finalmente girando 90° hasta el centro de 24 celdas.

Reflexiones

La celda de 24 vértices se puede construir mediante las reflexiones de su celda de 5 vértices característica en sus propias facetas (sus paredes de espejo tetraédricas). Las reflexiones y las rotaciones están relacionadas: una reflexión en un número par de espejos que se intersecan es una rotación. ^{[ 28 ]} En consecuencia, los politopos regulares se pueden generar mediante reflexiones o rotaciones. Por ejemplo, cualquier rotación isoclínica de 720° de la celda de 24 vértices en un plano invariante hexagonal lleva cada uno de los 24 vértices a través de otros 5 vértices y de vuelta a sí mismo, en una isoclina geodésica hexagrama ₂ sesgada que se enrolla dos veces alrededor de la esfera de 3 vértices en cada segundo vértice del hexagrama. Cualquier conjunto de cuatro pares ortogonales de vértices antipodales (los 8 vértices de una de las tres celdas de 16 inscripciones ) que realicen la mitad de dicha órbita visitan 3 * 8 = 24 vértices distintos y generan la celda de 24 secuencialmente en 3 pasos de una única rotación isoclínica de 360°, del mismo modo que cualquier celda característica de 5 que se refleja en sus propias paredes de espejo genera los 24 vértices simultáneamente por reflexión.

El seguimiento de la órbita de un vértice de 16 celdas durante la rotación isoclínica de 360° revela más sobre la relación entre reflexiones y rotaciones como operaciones generativas. El vértice sigue una isoclina (un círculo geodésico de doble curvatura) en lugar de un círculo máximo ordinario. La isoclina conecta vértices separados por dos longitudes de arista, pero se curva alejándose de la trayectoria del círculo máximo sobre las dos aristas que conectan esos vértices, omitiendo el vértice intermedio. Aunque la isoclina no sigue ningún círculo máximo, está contenida dentro de un anillo de otro tipo: en la de 24 celdas permanece dentro de un anillo de 6 celdas octaédricas esféricas ^{[ 29 ]} , intersecando un vértice en cada celda y pasando a través del volumen de dos celdas adyacentes cerca del vértice omitido.

Operaciones de simetría quiral

Una operación de simetría es una rotación o reflexión que deja el objeto indistinguible de sí mismo antes de la transformación. La celda de 24 caras tiene 1152 operaciones de simetría distintas (576 rotaciones y 576 reflexiones). Cada rotación equivale a dos reflexiones en un par distinto de planos de simetría no paralelos.

En la imagen se muestran conjuntos de polígonos de círculo máximo disjuntos , cada uno en un plano central distinto de la celda de 24 vértices. Por ejemplo, {24/4}=4{6} es una proyección ortogonal de la celda de 24 vértices que representa 4 de sus [16] planos de hexágonos máximos. Los 4 planos son paralelos en el sentido de Clifford al plano de proyección y entre sí, y sus polígonos máximos constituyen colectivamente una fibración de Hopf discreta de 4 círculos máximos que no se intersecan y que recorren los 24 vértices una sola vez.

Cada fila de la tabla describe una clase de rotaciones distintas. Cada clase de rotación lleva los planos de la izquierda mostrados a los planos de la derecha correspondientes mostrados. Los vértices de los planos móviles se mueven en paralelo a lo largo de las trayectorias isoclinas poligonales mostradas. Por ejemplo, la $[32]R_{q7,q8}$ La clase de rotación consta de [32] desplazamientos rotacionales distintos por una distancia de arco de ⁠ 2𝝅 / 3 ⁠ = 120° entre 16 planos de hexágonos mayores representados por el grupo de cuaterniones. $q7$ y un conjunto correspondiente de 16 planos hexagonales grandes representados por el grupo de cuaterniones $q8$ Una de las [32] rotaciones distintas de esta clase mueve la coordenada del vértice representativo. $({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}})$ a la coordenada del vértice $({\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}},-{\tfrac {1}{2}})$ .

En una clase rotativa $[d]{R_{ql,qr}}$ cada grupo de cuaterniones $\pm {q_{n}}$ puede ser representativo no solo de su propia fibración de planos paralelos de Clifford sino también de las otras fibraciones congruentes. Por ejemplo, la clase de rotación $[4]R_{q7,q8}$ toma los 4 planos hexagonales de $q7$ a los 4 planos hexagonales de $q8$ que están a 120° de distancia, en una rotación isoclínica. Pero en una rotación rígida de este tipo, todos los planos hexagonales [16] se mueven en desplazamientos rotacionales congruentes, por lo que esta clase de rotación también incluye $[4]R_{-q7,-q8}$ , $[4]R_{q8,q7}$ y $[4]R_{-q8,-q7}$ El nombre $[16]R_{q7,q8}$ es la representación convencional para todos los desplazamientos planos congruentes [16].

Estas clases de rotación son todas subclases de $[32]R_{q7,q8}$ que tiene [32] desplazamientos rotacionales distintos en lugar de [16] porque hay dos formas quirales de realizar cualquier clase de rotaciones, denominadas sus rotaciones izquierdas y sus rotaciones derechas . Los [16] desplazamientos izquierdos de esta clase no son congruentes con los [16] desplazamientos derechos, sino enantiomorfos como un par de zapatos. Cada rotación isoclínica izquierda (o derecha) lleva [16] planos izquierdos a [16] planos derechos, pero los planos izquierdo y derecho se corresponden de manera diferente en las rotaciones izquierda y derecha. Los desplazamientos rotacionales izquierdo y derecho del mismo plano izquierdo lo llevan a diferentes planos derechos.

Cada clase de rotación (fila de la tabla) describe una rotación isoclínica izquierda (y derecha) distinta . Las rotaciones izquierda (o derecha) llevan los planos izquierdos a los planos derechos simultáneamente, a través de un ángulo de rotación característico. Por ejemplo, la $[32]R_{q7,q8}$ La rotación mueve todos los [16] planos hexagonales a la vez en ⁠ 2𝝅 / 3 ⁠ = 120° cada uno. Repetida 6 veces, esta rotación isoclínica izquierda (o derecha) mueve cada plano 720° y de vuelta a sí mismo en la misma orientación , pasando por los 4 planos de la $q7$ Conjunto izquierdo y los 4 planos del $q8$ conjunto derecho una vez cada uno. La imagen en la columna de isoclinas representa esta unión de los conjuntos planos izquierdo y derecho. En el $[32]R_{q7,q8}$ Por ejemplo, puede verse como un conjunto de 4 hexagramas sesgados paralelos de Clifford , cada uno con un borde en cada plano del hexágono mayor, y sesgados hacia la izquierda (o derecha) en cada vértice a lo largo de la rotación isoclínica izquierda (o derecha).

Visualización

Escultura de acero de ocho cubos en la Universidad Estatal de Pensilvania.

Anillos celulares

El 24-celda está delimitado por 24 celdas octaédricas . Para fines de visualización, es conveniente que el octaedro tenga caras paralelas opuestas (una característica que comparte con las celdas del teseracto y el 120-celda ). Se pueden apilar octaedros cara con cara en una línea recta curvada en la cuarta dirección formando un círculo máximo con una circunferencia de 6 celdas. ^[³¹^]^[³²^] Las ubicaciones de las celdas se prestan a una descripción hiperesférica . Elija una celda arbitraria y etiquétela como el " Polo Norte ". Ocho meridianos de círculo máximo (de dos celdas de longitud) irradian en 3 dimensiones, convergiendo en la tercera celda, el " Polo Sur ". Este esqueleto representa 18 de las 24 celdas (2 + 8 × 2 ). Véase la tabla a continuación.

La celda de 24 celdas se puede dividir en conjuntos disjuntos de cuatro de estos anillos de círculo máximo de 6 celdas, formando una fibración de Hopf discreta de cuatro anillos enlazados que no se intersecan. Un anillo es "vertical" y abarca las celdas polares y cuatro celdas meridianas. Los otros tres anillos abarcan cada uno dos celdas ecuatoriales y cuatro celdas meridianas, dos del hemisferio norte y dos del hemisferio sur. ^{[ 33 ]}

politopos relacionados

El polígono complejo regular ₄ {3} ₄ , o contiene los 24 vértices de la celda de 24 lados y 24 aristas de 4 lados que corresponden a los cuadrados centrales de 24 de las 48 celdas octaédricas. Su simetría es ₄ [3] ₄ , orden 96. ^[³⁴^]

A continuación se muestran algunos politopos construidos a partir de la estructura de 24 celdas.

La celda de 24 celdas también se puede obtener como una celda rectificada de 16 celdas:

Véase también

Citas

↑ Coxeter 1973 , pág. 118, Capítulo VII: Politopos ordinarios en el espacio superior.
↑ Johnson 2018 , pág. 249, 11.5.
↑ Ghyka 1977 , pág. 68.
↑ Coxeter 1995 , p. 25, (Artículo 3) Dos aspectos de la celda regular de 24 celdas en cuatro dimensiones .
1 2 Stillwell 2001 , pág. 22.
↑ Coxeter 1973 , pág. 136, §7.8 La enumeración de posibles figuras regulares.
↑ Coxeter 1973 , pág. 302, Tabla VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: ver columna de resultados
1 2 Coxeter 1973 , p. 156, §8.7. Coordenadas cartesianas.
↑ Coxeter 1973 , pp. 145–146, §8.1 Las truncaciones simples del politopo regular general.
↑ Waegell y Aravind 2009 , págs. 4–5, §3.4 La celda de 24: puntos, líneas y configuración de Reye; En la celda de 24, los "puntos" y las "líneas" de Reye son ejes y hexágonos, respectivamente.
↑ Coxeter 1973 , pág. 12, §1.8. Configuraciones.
↑ van Ittersum 2020 , p. 78, §4.2.5.
↑ Egan 2021 ; cuaterniones, el grupo tetraédrico binario y el grupo octaédrico binario, con ilustraciones giratorias.
^ Koca, Al-Ajmi y Koc 2007 .
↑ Coxeter 1968 , p. 70, §4.12 La clasificación de los zonohedros.
↑ Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 lados; la celda de 24 lados tiene 1152 operaciones de simetría (rotaciones y reflexiones) como se enumera en la Tabla 2, grupo de simetría 𝐹₄ .
↑ Kim y Rote 2016 , pág. 6, §5. Rotaciones cuatridimensionales.
↑ Pérez-Gracia y Thomas 2017 , §7. Conclusiones; «Las rotaciones en tres dimensiones están determinadas por un eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de este, donde el eje de rotación es perpendicular al plano en el que se rotan los puntos. La situación en cuatro dimensiones es más compleja. En este caso, las rotaciones están determinadas por dos planos ortogonales y dos ángulos, uno para cada plano. Cayley demostró que una rotación general en 4D siempre puede descomponerse en dos rotaciones en 4D, cada una de ellas determinada por dos ángulos de rotación iguales salvo un cambio de signo.»
↑ Pérez-Gracia y Thomas 2017 , págs. 12-13, §5. Un mapeo útil.
↑ Coxeter 1995 , pp. 30–32, (Artículo 3) Dos aspectos de la 24-celda regular en cuatro dimensiones ; §3. El aspecto dodecagonal; Coxeter considera la doble rotación de 150°/30° de período 12 que ubica 12 de las 225 24-celdas distintas inscritas en la 120-celda , un 4-politopo regular con 120 celdas dodecaédricas que es la envoltura convexa del compuesto de 25 24-celdas disjuntas.
↑ Pérez-Gracia y Thomas 2017 , págs. 2-3, §2. Rotaciones isoclínicas.
↑ Kim y Rote 2016 , págs. 7–10, §6. Ángulos entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones.
↑ Coxeter 1973 , p. 141, §7.x. Observaciones históricas; " Möbius se dio cuenta, ya en 1827, de que se requeriría una rotación de cuatro dimensiones para que dos sólidos enantiomorfos coincidieran. Esta idea fue ingeniosamente empleada por H.G. Wells en La historia de Plattner ."
↑ Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); "24 celdas".
↑ Coxeter 1973 , pág. 139, §7.9 El simplex característico.
↑ Coxeter 1973 , pág. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".
↑ Kim y Rote 2016 , págs. 17–20, §10 La clasificación de Coxeter de grupos puntuales de cuatro dimensiones.
↑ Coxeter 1973 , pp. 33–38, §3.1 Transformaciones congruentes.
↑ Coxeter 1973 , p. 138; «Permitimos que el símbolo de Schläfli {p,..., v} tenga tres significados diferentes: un politopo euclidiano, un politopo esférico y un panal esférico. Esto no tiene por qué causar confusión, siempre que se reconozca la situación con franqueza. Las diferencias se aprecian claramente en el concepto de ángulo diedro.»
↑ Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 dimensiones, Tabla 2, Operaciones de simetría.
↑ Coxeter 1970 , p. 18, §8. El simplex, el cubo, el politopo cruzado y la 24-celda; Coxeter estudió los anillos de celdas en el caso general de su geometría y teoría de grupos , identificando cada anillo de celda como un politopo en sí mismo que llena una variedad tridimensional (como la 3-esfera ) con su correspondiente panal . Encontró que los anillos de celdas siguen polígonos de Petrie y que algunos (pero no todos) los anillos de celdas y sus panales están retorcidos , apareciendo en formas quirales levógiras y dextrógiras. Específicamente, encontró que dado que las celdas octaédricas de la 24-celda tienen caras opuestas, los anillos de celdas en la 24-celda son del tipo no quiral (directamente congruente). Cada uno de los anillos de celdas de 24 celdas tiene su correspondiente panal en el espacio euclidiano (en lugar del hiperbólico), por lo que las teselas de 24 celdas se desplazan en el espacio euclidiano de 4 dimensiones mediante traslación para formar el panal de 24 celdas .
↑ Banchoff 2013 , estudió la descomposición de 4-politopos regulares en panales de toros que recubren el toro de Clifford , mostró cómo los panales corresponden a fibraciones de Hopf , e hizo un estudio particular de los 4 anillos de 6 celdas octaédricas de la celda de 24 celdas con ilustraciones.
↑ Banchoff 2013 , págs. 265–266.
↑ Coxeter 1991 .

Referencias

Kepler, Johannes (1619). Harmonices Mundi (La armonía del mundo) . Johann Planck.
Coxeter, HSM (1973) [1948]. Politopos regulares (3.ª ed.). Nueva York: Dover.
Coxeter, HSM (1991), Politopos complejos regulares (2.ª ed.), Cambridge: Cambridge University Press
Coxeter, HSM (1995), Sherk, F. Arthur; McMullen, Peter; Thompson, Anthony C.; Weiss, Asia Ivic (eds.), Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter (2.ª ed.), Publicación Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 3) HSM Coxeter, Dos aspectos de la celda regular de 24 celdas en cuatro dimensiones
- (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semiregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
- (Artículo 23) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
Coxeter, HSM (1968). La belleza de la geometría: doce ensayos (2.ª ed.). Nueva York: Dover.
Coxeter, HSM (1989). "Trisecting an Orthoscheme" . Computers Math. Applic . 17 ( 1–3 ): 59–71 . doi : 10.1016/0898-1221(89)90148-X .
Coxeter, HSM (1970), "Panales retorcidos", Conference Board of the Mathematical Sciences Regional Conference Series in Mathematics , 4 , Providence, Rhode Island: American Mathematical Society
Stillwell, John (enero de 2001). "La historia de la celda de 120" (PDF) . Notices of the AMS . 48 (1): 17– 25.
Johnson, Norman (2018), Geometrías y transformaciones , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-10340-5
Johnson, Norman (1991), Politopos uniformes ( Edición manuscrita)
Johnson, Norman (1966), La teoría de los politopos uniformes y los panales de abeja ( ed. de doctorado)
Weisstein, Eric W. "24-Cell" . MathWorld .(también bajo Icositetrachoron)
Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 4D (policoros) x3o4o3o - ico" .
Ghyka, Matila (1977). La geometría del arte y la vida . Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-23542-4.
Banchoff, Thomas F. (2013). «Descomposiciones toroidales de politopos regulares en el espacio de 4 dimensiones». En Senechal, Marjorie (ed.). Shaping Space . Springer New York. pp. 257–266 . doi : 10.1007/978-0-387-92714-5_20 . ISBN 978-0-387-92713-8.
Copher, Jessica (2019). "Sumas y productos de longitudes de cuerda al cuadrado de politopos regulares". arXiv : 1903.06971 [ math.MG ].
van Ittersum, Clara (2020). Grupos de simetría de politopos regulares en tres y cuatro dimensiones (Tesis). Universidad Tecnológica de Delft .
Kim, Heuna; Rote, G. (2016). "Prueba de congruencia de conjuntos de puntos en 4 dimensiones". arXiv : 1603.07269 [ cs.CG ].
Pérez-Gracia, Alba; Thomas, Federico (2017). "Sobre la factorización de Cayley de rotaciones 4D y aplicaciones" (PDF) . Adv. Appl. Clifford Algebras . 27 : 523–538 . doi : 10.1007/s00006-016-0683-9 . hdl : 2117/113067 . S2CID 12350382 .
Waegell, Mordecai; Aravind, PK (2009-11-12). "No coloraciones críticas de la celda de 600 que demuestran el teorema de Bell-Kochen-Specker". Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 43 (10) 105304. arXiv : 0911.2289 . doi : 10.1088/1751-8113/43/10/105304 . S2CID 118501180 .
Tyrrell, JA; Semple, JG (1971). Paralelismo de Clifford generalizado . Cambridge University Press . ISBN 0-521-08042-8.
Egan, Greg (23 de diciembre de 2021). "Simetrías y la célula de 24" . gregegan.net . Consultado el 10 de octubre de 2022 .
Mamone, Salvatore; Pileio, Giuseppe; Levitt, Malcolm H. (2010). "Esquemas de muestreo orientacional basados en politopos de cuatro dimensiones" . Symmetry . 2 (3): 1423– 1449. Bibcode : 2010Symm....2.1423M . doi : 10.3390/sym2031423 .
Mebius, Johan (julio de 2015) [11 de enero de 1994]. Aplicaciones de los cuaterniones a la simulación dinámica, los gráficos por computadora y la biomecánica (tesis). Universidad Tecnológica de Delft . doi : 10.13140/RG.2.1.3310.3205 .
Feynman, Richard; Weinberg, Steven (1987). Partículas elementales y las leyes de la física . Cambridge University Press.
Dorst, Leo (2019). "Rotores de Villarceau conformes" . Advances in Applied Clifford Algebras . 29 (44) 44. doi : 10.1007/s00006-019-0960-5 . S2CID 253592159 .
Koca, Mehmet; Al-Ajmi, Mudhahir; Koc, Ramazan (noviembre de 2007). "Poliedros obtenidos a partir de grupos de Coxeter y cuaterniones" . Journal of Mathematical Physics . 48 (11): 113514. Bibcode : 2007JMP....48k3514K . doi : 10.1063/1.2809467 .

Enlaces externos

animaciones de 24 celdas
Proyecciones estereográficas de 24 celdas
Subsunciones de politopos regulares
Descripción y diagramas de 24 celdas. Archivado el 15/07/2007 en Wayback Machine.
Dodecágonos de Petrie en el modelo de 24 celdas: matemáticas y software de animación

[FOOTNOTECoxeter1973118Chapter_VII:_Ordinary_Polytopes_in_Higher_Space-1] Coxeter 1973 , pág. 118, Capítulo VII: Politopos ordinarios en el espacio superior.

[FOOTNOTEJohnson201824911.5-2] Johnson 2018 , pág. 249, 11.5.

[FOOTNOTEGhyka197768-3] Ghyka 1977 , pág. 68.

[FOOTNOTECoxeter199525(Paper_3)_''Two_aspects_of_the_regular_24-cell_in_four_dimensions''-4] Coxeter 1995 , p. 25, (Artículo 3) Dos aspectos de la celda regular de 24 celdas en cuatro dimensiones .

[FOOTNOTEStillwell200122-5] 1 2 Stillwell 2001 , pág. 22.

[FOOTNOTECoxeter1973136§7.8_The_enumeration_of_possible_regular_figures-6] Coxeter 1973 , pág. 136, §7.8 La enumeración de posibles figuras regulares.

[FOOTNOTECoxeter1973302Table_VI_(ii):_𝐈𝐈_=_{3,4,3}-7] Coxeter 1973 , pág. 302, Tabla VI (ii): 𝐈𝐈 = {3,4,3}: ver columna de resultados

[FOOTNOTECoxeter1973156§8.7._Cartesian_Coordinates-8] 1 2 Coxeter 1973 , p. 156, §8.7. Coordenadas cartesianas.

[FOOTNOTECoxeter1973145–146§8.1_The_simple_truncations_of_the_general_regular_polytope-9] Coxeter 1973 , pp. 145–146, §8.1 Las truncaciones simples del politopo regular general.

[FOOTNOTEWaegellAravind20094–5§3.4_The_24-cell:_points,_lines_and_Reye's_configuration-10] Waegell y Aravind 2009 , págs. 4–5, §3.4 La celda de 24: puntos, líneas y configuración de Reye; En la celda de 24, los "puntos" y las "líneas" de Reye son ejes y hexágonos, respectivamente.

[FOOTNOTECoxeter197312§1.8._Configurations-11] Coxeter 1973 , pág. 12, §1.8. Configuraciones.

[FOOTNOTEvan_Ittersum202078§4.2.5-12] van Ittersum 2020 , p. 78, §4.2.5.

[FOOTNOTEEgan2021-13] Egan 2021 ; cuaterniones, el grupo tetraédrico binario y el grupo octaédrico binario, con ilustraciones giratorias.

[FOOTNOTEKocaAl-AjmiKoc2007-14] Koca, Al-Ajmi y Koc 2007 .

[FOOTNOTECoxeter196870§4.12_The_Classification_of_Zonohedra-15] Coxeter 1968 , p. 70, §4.12 La clasificación de los zonohedros.

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes-16] Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 lados; la celda de 24 lados tiene 1152 operaciones de simetría (rotaciones y reflexiones) como se enumera en la Tabla 2, grupo de simetría 𝐹₄ .

[FOOTNOTEKimRote20166§5._Four-Dimensional_Rotations-17] Kim y Rote 2016 , pág. 6, §5. Rotaciones cuatridimensionales.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas2017§7._Conclusions-18] Pérez-Gracia y Thomas 2017 , §7. Conclusiones; «Las rotaciones en tres dimensiones están determinadas por un eje de rotación y el ángulo de rotación alrededor de este, donde el eje de rotación es perpendicular al plano en el que se rotan los puntos. La situación en cuatro dimensiones es más compleja. En este caso, las rotaciones están determinadas por dos planos ortogonales y dos ángulos, uno para cada plano. Cayley demostró que una rotación general en 4D siempre puede descomponerse en dos rotaciones en 4D, cada una de ellas determinada por dos ángulos de rotación iguales salvo un cambio de signo.»

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas201712−13§5._A_useful_mapping-19] Pérez-Gracia y Thomas 2017 , págs. 12-13, §5. Un mapeo útil.

[FOOTNOTECoxeter199530–32(Paper_3)_''Two_aspects_of_the_regular_24-cell_in_four_dimensions''-20] Coxeter 1995 , pp. 30–32, (Artículo 3) Dos aspectos de la 24-celda regular en cuatro dimensiones ; §3. El aspecto dodecagonal; Coxeter considera la doble rotación de 150°/30° de período 12 que ubica 12 de las 225 24-celdas distintas inscritas en la 120-celda , un 4-politopo regular con 120 celdas dodecaédricas que es la envoltura convexa del compuesto de 25 24-celdas disjuntas.

[FOOTNOTEPerez-GraciaThomas20172−3§2._Isoclinic_rotations-21] Pérez-Gracia y Thomas 2017 , págs. 2-3, §2. Rotaciones isoclínicas.

[FOOTNOTEKimRote20167–10§6._Angles_between_two_Planes_in_4-Space-22] Kim y Rote 2016 , págs. 7–10, §6. Ángulos entre dos planos en el espacio de 4 dimensiones.

[FOOTNOTECoxeter1973141§7.x._Historical_remarks-23] Coxeter 1973 , p. 141, §7.x. Observaciones históricas; " Möbius se dio cuenta, ya en 1827, de que se requeriría una rotación de cuatro dimensiones para que dos sólidos enantiomorfos coincidieran. Esta idea fue ingeniosamente empleada por H.G. Wells en La historia de Plattner ."

[FOOTNOTECoxeter1973292–293Table_I(ii);_"24-cell"-24] Coxeter 1973 , págs. 292–293, Tabla I(ii); "24 celdas".

[FOOTNOTECoxeter1973139§7.9_The_characteristic_simplex-25] Coxeter 1973 , pág. 139, §7.9 El simplex característico.

[FOOTNOTECoxeter1973290Table_I(ii);_"dihedral_angles"-26] Coxeter 1973 , pág. 290, Tabla I(ii); "ángulos diedros".

[FOOTNOTEKimRote201617–20§10_The_Coxeter_Classification_of_Four-Dimensional_Point_Groups-27] Kim y Rote 2016 , págs. 17–20, §10 La clasificación de Coxeter de grupos puntuales de cuatro dimensiones.

[FOOTNOTECoxeter197333–38§3.1_Congruent_transformations-28] Coxeter 1973 , pp. 33–38, §3.1 Transformaciones congruentes.

[FOOTNOTECoxeter1973138-29] Coxeter 1973 , p. 138; «Permitimos que el símbolo de Schläfli {p,..., v} tenga tres significados diferentes: un politopo euclidiano, un politopo esférico y un panal esférico. Esto no tiene por qué causar confusión, siempre que se reconozca la situación con franqueza. Las diferencias se aprecian claramente en el concepto de ángulo diedro.»

[FOOTNOTEMamonePileioLevitt20101438–1439§4.5_Regular_Convex_4-Polytopes,_Table_2,_Symmetry_operations-30] Mamone, Pileio y Levitt 2010 , págs. 1438–1439, §4.5 Politopos convexos regulares de 4 dimensiones, Tabla 2, Operaciones de simetría.

[FOOTNOTECoxeter197018§8._The_simplex,_cube,_cross-polytope_and_24-cell-31] Coxeter 1970 , p. 18, §8. El simplex, el cubo, el politopo cruzado y la 24-celda; Coxeter estudió los anillos de celdas en el caso general de su geometría y teoría de grupos , identificando cada anillo de celda como un politopo en sí mismo que llena una variedad tridimensional (como la 3-esfera ) con su correspondiente panal . Encontró que los anillos de celdas siguen polígonos de Petrie y que algunos (pero no todos) los anillos de celdas y sus panales están retorcidos , apareciendo en formas quirales levógiras y dextrógiras. Específicamente, encontró que dado que las celdas octaédricas de la 24-celda tienen caras opuestas, los anillos de celdas en la 24-celda son del tipo no quiral (directamente congruente). Cada uno de los anillos de celdas de 24 celdas tiene su correspondiente panal en el espacio euclidiano (en lugar del hiperbólico), por lo que las teselas de 24 celdas se desplazan en el espacio euclidiano de 4 dimensiones mediante traslación para formar el panal de 24 celdas .

[FOOTNOTEBanchoff2013-32] Banchoff 2013 , estudió la descomposición de 4-politopos regulares en panales de toros que recubren el toro de Clifford , mostró cómo los panales corresponden a fibraciones de Hopf , e hizo un estudio particular de los 4 anillos de 6 celdas octaédricas de la celda de 24 celdas con ilustraciones.

[FOOTNOTEBanchoff2013265–266-33] Banchoff 2013 , págs. 265–266.

[FOOTNOTECoxeter1991-34] Coxeter 1991 .

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 8 ]

[

[ 11 ]

[ 12 ]

[

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[

[

[ 23 ]

[

[ 28 ]

[ 29 ]

[

[

[ 33 ]

[