2 22 panal

En geometría , el panal de abejas 2 ₂₂ es una teselación uniforme del espacio euclidiano de seis dimensiones. Se puede representar mediante el símbolo de Schläfli {3,3,3 ^2,2 }. Está construido a partir de 2 ₂₁ facetas y tiene una figura de vértice 1 ₂₂ , con 54 2 ₂₁ politopos alrededor de cada vértice.

Su disposición de vértices es la red E ₆ y el sistema de raíces del grupo de Lie E ₆ , por lo que también se le puede llamar panal E ₆ .

Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 7 espejos hiperplanos en un espacio de 6 dimensiones.

La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin , .

Al eliminar un nodo en el extremo de una de las ramas de 2 nodos queda el 2 ₂₁ , su único tipo de faceta ,

La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que 1 ₂₂ , .

La figura de arista es la figura de vértice de la figura de vértice, siendo aquí un 5-símplex birectificado , t ₂ {3 ⁴ }, .

La figura de la cara es la figura del vértice de la figura de la arista, siendo aquí un duoprismo triangular , {3} × {3}, .

Cada vértice de esta teselación es el centro de una 5-esfera en el empaquetamiento más denso conocido en 6 dimensiones, con número de contacto 72, representado por los vértices de su figura de vértice 1 ₂₂ .

La disposición de vértices del panal 2 ₂₂ se denomina red E ₆ . ^{[ 1 ]}

La red E ₆ ² , con simetría [[3,3,3 ^2,2 ]] , se puede construir mediante la unión de dos redes E _{6 :}

∪

La red E ₆ ^{* [ 2 ]} (o E ₆ ³ ) con simetría [[3,3 ^2,2,2 ]]. La celda de Voronoi de la red E ₆ ^* es el politopo rectificado 1 ₂₂ , y la teselación de Voronoi es un panal bitruncado 2 22. _[ ^{3 ] Está} construida por 3 copias de los vértices de la red E ₆ , una de cada una de las tres ramas del diagrama de Coxeter.

∪ ∪ = dual a .

El${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$El grupo está relacionado con el${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$mediante un plegado geométrico , de modo que este panal se puede proyectar en el panal de 16 celdas de 4 dimensiones .

El panal 2 ₂₂ es uno de los 127 panales uniformes (39 únicos) con${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$simetría. 24 de ellos tienen simetría doble [[3,3,3 ^2,2 ]] con 2 ramas igualmente anilladas, y 7 tienen simetría sextuplicada (3 ! ) [[3,3 ^2,2,2 ]] con anillos idénticos en las 3 ramas. No hay panales regulares en la familia ya que su diagrama de Coxeter es un gráfico no lineal, pero los 2 ₂₂ y birectificados 2 ₂₂ son isotópicos , con solo un tipo de faceta : 2 ₂₁ y politopos rectificados 1 _{22 respectivamente.}

• Coxeter, La belleza de la geometría: doce ensayos , Dover Publications, 1999, ISBN 978-0-486-40919-1(Capítulo 3: Construcción de Wythoff para politopos uniformes)
• Politopos regulares de Coxeter (1963), Macmillan Company
  • Politopos regulares , tercera edición, (1973), edición Dover, ISBN 0-486-61480-8(Capítulo 5: El caleidoscopio)
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6, Google Book
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45]
• RT Worley , La región de Voronoi de E6* . J. Austral. Math. Soc. Ser. A, 43 (1987), 268–278.
• Conway, John H.; Sloane , Neil JA (1998). Empaquetamientos, retículos y grupos de esferas (3.ª  ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-98585-9.págs. 125–126, 8.3 Las redes de 6 dimensiones: E6 y E6*
• Klitzing, Richard. "Hexacombs 6D x3o3o3o3o *c3o3o - jakoh" .
• Klitzing, Richard. "Hexacombs 6D o3o3x3o3o *c3o3o - ramoh" .