Hispanopedia WikiEn geometría de 6 dimensiones , el politopo 1 22 es un politopo uniforme , construido a partir del grupo E 6. Fue publicado por primera vez en la lista de politopos semirregulares de EL Elte de 1912, denominado V 72 (por sus 72 vértices). [ 1 ]
Su símbolo de Coxeter es 1 22 , que describe su diagrama de Coxeter-Dynkin bifurcado , con un solo anillo en el extremo de la secuencia de 1 nodo. Hay dos rectificaciones del 1 22 , construidas mediante puntos de posición en los elementos de 1 22. El 1 22 rectificado se construye mediante puntos en los medios de las aristas del 1 22. El 1 22 birrectificado se construye mediante puntos en los centros de las caras triangulares del 1 22 .
Estos politopos pertenecen a una familia de 39 politopos uniformes convexos en 6 dimensiones , formados por facetas de politopos uniformes y figuras de vértices , definidos por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin : .
1 22 politopo
El politopo 1 22 contiene 72 vértices y 54 facetas 5-demímbicas . Tiene una figura de vértice 5-símplex birectificada . Sus 72 vértices representan los vectores raíz del grupo de Lie simple E 6 .
Nombres alternativos
- Pentacontatetrapeton (Acrónimo: mo) - polipeton de 54 facetas (Jonathan Bowers) [ 2 ]
Imágenes
En esta proyección, los vértices están coloreados según su multiplicidad, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde. Las multiplicidades de los vértices por color se indican entre paréntesis.
Construcción
Se crea mediante una construcción de Wythoff sobre un conjunto de 6 espejos hiperplanos en un espacio de 6 dimensiones.
La información de la faceta se puede extraer de su diagrama de Coxeter-Dynkin , .
Al eliminar el nodo en cualquiera de las ramas de longitud 2, queda el 5-demicube , 1 21 , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el nodo vecino. Esto hace que el 5-símplex birectificado sea , 0 22 , .
Visto en una matriz de configuración , el recuento de elementos se puede derivar mediante la eliminación de simetrías y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [ 3 ]
poliedro complejo relacionado
El poliedro complejo regular 3 {3} 3 {4} 2 , , en
tiene una representación real como el politopo 1 22 en el espacio de 4 dimensiones. Tiene 72 vértices, 216 3-aristas y 54 3{3}3 caras. Su grupo de reflexión complejo es 3 [3] 3 [4] 2 , orden 1296. Tiene una construcción cuasirregular de semi-simetría como , como rectificación del poliedro hessiano , . [ 4 ]
Politopos relacionados y panal de abejas
Junto con el politopo semirregular, 2 21 , también es uno de una familia de 39 politopos uniformes convexos en 6 dimensiones, formados por facetas de politopos uniformes y figuras de vértices , definidos por todas las permutaciones de anillos en este diagrama de Coxeter-Dynkin : .
Plegado geométrico
El 1 22 está relacionado con la celda de 24 mediante un plegado geométrico E6 → F4 de diagramas de Coxeter-Dynkin , donde E6 corresponde al 1 22 en 6 dimensiones y F4 a la celda de 24 en 4 dimensiones. Esto se puede observar en las proyecciones del plano de Coxeter . Los 24 vértices de la celda de 24 se proyectan en los mismos dos anillos que se ven en el 1 22 .
Teselaciones
Este politopo es la figura del vértice para una teselación uniforme del espacio de 6 dimensiones, 2 22 , .
Politopo rectificado 1 22
El politopo rectificado 1 22 (también llamado 0 221 ) puede teselar el espacio de 6 dimensiones como la celda de Voronoi de la red de panal E6* (dual de la red E6). [ 5 ]
Nombres alternativos
- Politopo birectificado 2 21
- pentacontatetrapetón rectificado (Acrónimo: ram) - polipetón rectificado de 54 facetas (Jonathan Bowers) [ 6 ]
Imágenes
En esta proyección, los vértices están coloreados según su multiplicidad, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, morado.
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E 6 y se puede extraer información del diagrama de Coxeter-Dynkin anillado que representa este politopo: .
Al quitar el anillo de la rama corta queda el 5-simplex birectificado , .
Al quitar el anillo en cualquiera de las ramas de longitud 2, el 5-ortoplex birectificado queda en su forma alternada: t 2 (2 11 ) , .
La figura del vértice se determina eliminando el nodo anillado y anillando el anillo vecino. Esto hace que el prisma duoprístico 3-3 , {3}×{3}×{}, .
Visto en una matriz de configuración , el recuento de elementos se puede derivar mediante la eliminación de simetrías y las proporciones de los órdenes del grupo de Coxeter . [ 3 ] [ 6 ]
Politopo truncado 1 22
Nombres alternativos
- Politopo truncado 1 22 (Acrónimo: tim) [ 7 ]
Construcción
Su construcción se basa en el grupo E 6 y se puede extraer información del diagrama de Coxeter-Dynkin anillado que representa este politopo: .
Imágenes
En esta proyección, los vértices están coloreados según su multiplicidad, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul.
Politopo birectificado 1 22
Nombres alternativos
- Bicantelado 2 21
- Pentacontatetrapetón birectificado (barm) (Jonathan Bowers) [ 8 ]
Imágenes
En esta proyección, los vértices están coloreados según su multiplicidad, en orden progresivo: rojo, naranja, amarillo, verde, cian, azul, púrpura, magenta, rojo violeta.
Politopo trirectificado 1 22
Nombres alternativos
- Tricantelado 2 21
- Trapetón pentacontate trirectificado (Acrónimo: trim, antiguo: cacam, tram, mak) (Jonathan Bowers) [ 9 ]
Véase también
Notas
- ↑ Elte, 1912
- ↑ Klitzing, (o3o3o3o3o *c3x - mo )
- 1 2 Coxeter, Politopos regulares, 11.8 Figuras de Gosset en seis, siete y ocho dimensiones, págs. 202–203
- ↑ Coxeter, HSM, Politopos complejos regulares , (1991) segunda edición, Cambridge University Press, pág. 30 y pág. 47
- ↑ Las celdas de Voronoi de las redes E6* y E7* Archivado el 30/01/2016 en Wayback Machine , Edward Pervin
- 1 2 Klitzing, (o3o3x3o3o *c3o - ram )
- ↑ Klitzing, (o3o3x3o3o *c3x - tim )
- ↑ Klitzing, (o3x3o3x3o *c3o - barm )
- ↑ Klitzing, (x3o3o3o3x *c3o - recortar )
Referencias
- Elte, EL (1912), Los politopos semirregulares de los hiperespacios , Groningen: Universidad de Groningen
- HSM Coxeter , Politopos regulares , 3.ª edición, Dover, Nueva York, 1973
- Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivić Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, wiley.com , ISBN 978-0-471-01003-6
- (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3–45], pág. 334 (figura 3.6a) por Peter McMullen: (grafo de nodos y aristas 12-gonales de 1 22 )
- Klitzing, Richard. "Polítopos uniformes 6D (polipeta) con acrónimos" .o3o3o3o3o *c3x - mo, o3o3x3o3o *c3o - ram, o3o3x3o3o *c3x - tim, o3x3o3x3o *c3o - barm, x3o3o3o3x *c3o - recortar
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