Panal de abeja de 5 celdas

En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de abeja de 4-símplex , panal de abeja de 5 celdas o panal de abeja pentacórico-dispentacórico es un panal de abeja con teselación que llena el espacio . Está compuesto por 5 celdas y facetas rectificadas de 5 celdas en una proporción de 1:1.

Las celdas de la figura del vértice son diez tetraedros y 20 prismas triangulares , correspondientes a las diez celdas de 5 y las 20 celdas de 5 rectificadas que se encuentran en cada vértice. Todos los vértices se encuentran en reinos paralelos en los que forman panales cúbicos alternados , siendo los tetraedros las partes superiores de la celda de 5 rectificada o las bases de la celda de 5, y los octaedros las partes inferiores de la celda de 5 rectificada. ^[1]

• Tetracomba ciclopentacórica
• Tetracomba pentacórica-dispentacórica

El panal de abejas de 5 celdas se puede proyectar en el mosaico cuadrado bidimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :

Se pueden obtener dos mosaicos aperiódicos diferentes con simetría quíntuple proyectando cortes bidimensionales del panal: el mosaico de Penrose compuesto de rombos y el mosaico de triángulos de Tübingen compuesto de triángulos isósceles. ^[2]

La disposición de vértices del panal de 5 celdas se denomina red A4 o red 4-símplex . Los 20 vértices de su figura de vértice , la red de 5 celdas runcinadas, representan las 20 raíces del grupo de Coxeter. ^{[3] [4]} Es el caso de 4 dimensiones de un panal simpléctico . ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

La A^*
₄La red ^[5] es la unión de cinco redes A ₄ , y es el dual del panal de abejas 5-símplex omnitruncado , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es una celda 5-omnitruncada

∪∪∪∪= dual de

Las partes superiores de las 5 celdas de este panal se unen a las bases de las 5 celdas, y viceversa, en láminas (o capas) adyacentes; pero las láminas alternas pueden invertirse de modo que las partes superiores de las 5 celdas rectificadas se unan a las partes superiores de las 5 celdas rectificadas y las bases de las 5 celdas se unan a las bases de otras 5 celdas. Esta inversión da como resultado otro panal convexo uniforme no wythoffiano. También se pueden insertar prismas octaédricos y prismas tetraédricos entre las láminas alternadas, lo que da como resultado dos panales uniformes alargados no wythoffianos más. ^[6]

Este panal es uno de los siete panales uniformes únicos ^[7] construidos por el grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin : ${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$

El panal de abeja rectificado de 4 celdas simples o panal de abeja rectificado de 5 celdas es un panal de abeja con teselación que llena el espacio .

• Tetracomba pentacórica ciclorombada pequeña
• Tetracombo prismático dispentacórico pequeño

El panal de abeja ciclotruncado de 4 celdas o panal de abeja ciclotruncado de 5 celdas es un panal de abeja con teselación que llena el espacio . También se puede considerar como un panal de abeja birectificado de 5 celdas .

Está compuesto por facetas de 5 celdas , facetas truncadas de 5 celdas y facetas bitruncadas de 5 celdas en una proporción de 2:2:1. Su figura de vértice es un antiprisma tetraédrico , con 2 tetraedros regulares , 8 pirámides triangulares y 6 celdas difenoides tetragonales , que definen 2 facetas de 5 celdas , 8 facetas truncadas de 5 celdas y 6 facetas bitruncadas de 5 celdas alrededor de un vértice.

Puede construirse como cinco conjuntos de hiperplanos paralelos que dividen el espacio en dos semiespacios. Los hiperplanos de 3 espacios contienen panales cúbicos de un cuarto como facetas de colección. ^[8]

• Tetracomba pentacórica ciclotruncada
• Tetracomba pentacorica truncada pequeña

El panal truncado de 4 celdas o panal truncado de 5 celdas es un panal con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal truncado de 5 celdas ciclocantitruncado .

• Gran tetracomba pentacórica ciclorrombada
• Gran tetracomba pentacorica truncada

El panal de abejas cantelado de 4 celdas o panal de abejas cantelado de 5 celdas es un panal de abejas con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal de abejas cicloruncitruncado de 5 celdas .

• Tetracomba pentacórica cicloprismática homónima
• Gran tetracomba prismatodispentacórica

El panal bitruncado de 4 celdas o panal bitruncado de 5 celdas es un panal con teselación que llena el espacio . También se lo puede llamar panal cicloruncicantitruncado de 5 celdas .

• Gran tetracomba pentacórica cicloprismática
• Gran tetracombo prismáticodispentacórico

El panal omnitruncado de 4-símplex o panal omnitruncado de 5 celdas es un panal de teselación que llena el espacio . También se lo puede considerar como un panal de 5 celdas ciclosteriruncicantitruncado .

Está compuesto enteramente de facetas omnitruncadas de 5 celdas (omnitruncadas 4-símplex).

Coxeter llama a esto el panal de Hinton en honor a C. H. Hinton , quien lo describió en su libro La cuarta dimensión en 1906. ^[9]

Las facetas de todos los panales simplécticos omnitruncados se denominan permutoedros y pueden posicionarse en el espacio n+1 con coordenadas integrales, permutaciones de los números enteros (0,1,..,n).

• Tetracomba ciclopentacórica omnitruncada
• Tetracomba gran prismático decacórica

La A^*
₄La red es la unión de cinco redes A ₄ , y es el dual del panal omnitruncado de 5 celdas, y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es un panal omnitruncado de 5 celdas . ^[10]

∪∪∪∪= dual de

Este panal se puede alternar , creando celdas de 5 celdas omnisnub con celdas de 5 celdas irregulares creadas en los vértices eliminados. Aunque no es uniforme, las celdas de 5 celdas tienen una simetría de orden 10.

Panales regulares y uniformes en 4 espacios:

• Panal teseractico
• Panal de abeja de 16 celdas
• Panal de abeja de 24 celdas
• Panal truncado de 24 celdas
• Panal de abeja de 24 celdas

• Manuscrito de politopos uniformes de Norman Johnson (1991)
• Caleidoscopios: escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos de espacio uniformes)
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semirregulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Tetracombs panoploides uniformes , Manuscrito (2006) (Lista completa de 11 teselaciónes convexas uniformes, 28 panales convexos uniformes y 143 tetracombs convexos uniformes) Modelo 134
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D"., x3o3o3o3o3*a - cipit - O134, x3x3x3x3x3*a - otcipit - 135, x3x3x3o3o3*a - gociropit - O137, x3x3o3x3o3*a - ciproppit - O138, x3x3x3x3o3*a - gocipapit - O139, x3x3x3x3x3*a - otcipit - 140
• Grupo Affine Coxeter Wa (A4), cuaterniones y cuasicristales decagonales, Mehmet Koca, Nazife O. Koca, Ramazan Koc (2013) arXiv : 1209.1878