panal de abeja de 5 celdas

En la geometría euclidiana de cuatro dimensiones , el panal de abeja de 4-símplex , el panal de abeja de 5 celdas o el panal de abeja pentacórico-dispentacórico es un panal de abeja de teselación que llena el espacio . Está compuesto por facetas de 5 celdas y facetas rectificadas de 5 celdas en una proporción de 1:1.

Las celdas de la figura del vértice son diez tetraedros y 20 prismas triangulares , que corresponden a las diez celdas de 5 elementos y las 20 celdas de 5 elementos rectificadas que se encuentran en cada vértice. Todos los vértices se encuentran en reinos paralelos en los que forman panales cúbicos alternados , siendo los tetraedros las partes superiores o las bases de las celdas de 5 elementos rectificadas, y los octaedros las partes inferiores de dichas celdas. ^{[ 1 ]}

• tetracomb ciclopentacórico
• tetracomb pentacórico-dispentacórico

El panal de 5 celdas se puede proyectar en el teselado cuadrado bidimensional mediante una operación de plegado geométrico que mapea dos pares de espejos entre sí, compartiendo la misma disposición de vértices :

Se pueden obtener dos teselaciones aperiódicas diferentes con simetría quíntuple proyectando secciones bidimensionales del panal: la teselación de Penrose compuesta por rombos y la teselación triangular de Tubinga compuesta por triángulos isósceles. ^{[ 2 ]}

La disposición de vértices del panal de 5 celdas se llama retículo A4 o retículo 4-símplex . Los 20 vértices de su figura de vértice , el 5-celda runcinado, representan las 20 raíces del${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$Grupo de Coxeter. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Es el caso de 4 dimensiones de un panal simpléctico .

La red A ^* ₄ ^{[ 5 ]} es la unión de cinco redes A ₄ , y es la dual del panal de abejas 5-símplex omnitruncado , y por lo tanto la celda de Voronoi de esta red es una celda 5-símplex omnitruncada.

∪ ∪ ∪ ∪ = dual de

Las partes superiores de las celdas de 5 elementos en este panal se unen a las bases de las celdas de 5 elementos, y viceversa, en las láminas (o capas) adyacentes; pero las láminas alternas pueden invertirse de manera que las partes superiores de las celdas de 5 elementos rectificadas se unan a las partes superiores de las celdas de 5 elementos rectificadas y las bases de las celdas de 5 elementos se unan a las bases de otras celdas de 5 elementos. Esta inversión da como resultado otro panal convexo uniforme no wythoffiano. También se pueden insertar prismas octaédricos y tetraédricos entre las láminas alternas, lo que da como resultado dos panales uniformes alargados no wythoffianos más. ^{[ 6 ]}

Este panal es uno de los siete panales uniformes únicos ^{[ 7 ]} construidos por el${\displaystyle {\tilde {A}}_{4}}$Grupo de Coxeter . La simetría se puede multiplicar por la simetría de los anillos en los diagramas de Coxeter-Dynkin :

Esta estructura de panal puede alternarse , creando celdas de 5 miembros omnisnub con celdas de 5 miembros irregulares creadas en los vértices eliminados. Aunque no es uniforme, las celdas de 5 miembros tienen una simetría de orden 10.

Panales regulares y uniformes en 4 espacios:

• panal teserático
• panal de abeja de 16 celdas
• Panal de abeja de 24 celdas
• Panal truncado de 24 celdas
• Panal de abeja de 24 celdas con forma de snub

• Norman Johnson, Politopos Uniformes , Manuscrito (1991)
• Caleidoscopios: Escritos selectos de HSM Coxeter , editado por F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
  • (Artículo 22) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi regulares I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10] (1.9 Rellenos espaciales uniformes)
  • (Artículo 24) HSM Coxeter, Politopos regulares y semi-regulares III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• George Olshevsky, Tetracombs Panoploides Uniformes , Manuscrito (2006) (Lista completa de 11 teselaciones uniformes convexas, 28 panales uniformes convexos y 143 tetracombs uniformes convexos) Modelo 134
• Klitzing, Richard. "Teselaciones euclidianas 4D" ., x3o3o3o3o3*a - cypit - O134, x3x3x3x3x3*a - otcypit - 135, x3x3x3o3o3*a - gocyropit - O137, x3x3o3x3o3*a - cypropit - O138, x3x3x3x3o3*a - gocypapit - O139, x3x3x3x3x3*a - otcypit - 140
• Grupo Affine Coxeter Wa (A4), cuaterniones y cuasicristales decagonales, Mehmet Koca, Nazife O. Koca, Ramazan Koc (2013) arXiv : 1209.1878