Coeficiente W de Racah

Los coeficientes W de Racah fueron introducidos por Giulio Racah en 1942. ^{[ 1 ]} Estos coeficientes tienen una definición puramente matemática. En física se utilizan en cálculos que involucran la descripción mecánica cuántica del momento angular , por ejemplo en la teoría atómica .

Los coeficientes aparecen cuando hay tres fuentes de momento angular en el problema. Por ejemplo, consideremos un átomo con un electrón en un orbital s y otro en un orbital p . Cada electrón tiene momento angular de espín electrónico y, además, el orbital p tiene momento angular orbital (un orbital s tiene momento angular orbital cero). El átomo puede describirse mediante acoplamiento LS o mediante acoplamiento jj , como se explica en el artículo sobre acoplamiento de momento angular . La transformación entre las funciones de onda que corresponden a estos dos acoplamientos implica un coeficiente W de Racah.

Aparte de un factor de fase, los coeficientes W de Racah son iguales a los símbolos 6-j de Wigner , por lo que cualquier ecuación que los involucre puede reescribirse usando símbolos 6- j . Esto suele ser ventajoso porque las propiedades de simetría de los símbolos 6- j son más fáciles de recordar.

Los coeficientes de Racah están relacionados con los coeficientes de reacoplamiento mediante

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})\equiv {\frac {\langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12},j_{3})J\rangle }{\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}}.}$

Los coeficientes de reacoplamiento son elementos de una transformación unitaria y su definición se da en la siguiente sección. Los coeficientes de Racah tienen propiedades de simetría más convenientes que los coeficientes de reacoplamiento (pero menos convenientes que los símbolos 6- j ). ^{[ 2 ]}

Acoplamiento de dos momentos angulares${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$es la construcción de autofunciones simultáneas de${\displaystyle \mathbf {J} ^{2}}$y${\displaystyle J_{z}}$, dónde${\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} _{1}+\mathbf {j} _{2}}$, como se explica en el artículo sobre los coeficientes de Clebsch-Gordan . El resultado es

${\displaystyle |(j_{1}j_{2})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle \langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|JM\rangle ,}$

dónde${\displaystyle J=|j_{1}-j_{2}|,\ldots ,j_{1}+j_{2}}$y${\displaystyle M=-J,\ldots ,J}$.

Acoplamiento de tres momentos angulares${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$,${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$, y${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$, puede hacerse acoplando primero${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$a${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$y siguiente acoplamiento${\displaystyle \mathbf {J} _{12}}$y${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$al momento angular total${\displaystyle \mathbf {J} }$:

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{M_{12}=-J_{12}}^{J_{12}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|(j_{1}j_{2})J_{12}M_{12}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle \langle J_{12}M_{12}j_{3}m_{3}|JM\rangle }$

Alternativamente, uno puede primero emparejar${\displaystyle \mathbf {j} _{2}}$y${\displaystyle \mathbf {j} _{3}}$a${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$y la siguiente pareja${\displaystyle \mathbf {j} _{1}}$y${\displaystyle \mathbf {J} _{23}}$a${\displaystyle \mathbf {J} }$:

${\displaystyle |(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle =\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{M_{23}=-J_{23}}^{J_{23}}|j_{1}m_{1}\rangle |(j_{2}j_{3})J_{23}M_{23}\rangle \langle j_{1}m_{1}J_{23}M_{23}|JM\rangle }$

Ambos esquemas de acoplamiento dan como resultado bases ortonormales completas para la${\displaystyle (2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}$espacio dimensional abarcado por

${\displaystyle |j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle ,\;\;m_{1}=-j_{1},\ldots ,j_{1};\;\;m_{2}=-j_{2},\ldots ,j_{2};\;\;m_{3}=-j_{3},\ldots ,j_{3}.}$

Por lo tanto, las dos bases de momento angular total están relacionadas por una transformación unitaria. Los elementos de matriz de esta transformación unitaria vienen dados por un producto escalar y se conocen como coeficientes de acoplamiento. Los coeficientes son independientes de${\displaystyle M}$y así tenemos

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle \langle (j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})J|((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})J\rangle .}$

La independencia de${\displaystyle M}$Se deduce fácilmente escribiendo esta ecuación para${\displaystyle M=J}$y aplicando el operador de descenso${\displaystyle J_{-}}$a ambos lados de la ecuación. La definición de los coeficientes W de Racah nos permite escribir esta expresión final como

${\displaystyle |((j_{1}j_{2})J_{12}j_{3})JM\rangle =\sum _{J_{23}}|(j_{1},(j_{2}j_{3})J_{23})JM\rangle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23}){\sqrt {(2J_{12}+1)(2J_{23}+1)}}.}$

Dejar

${\displaystyle \Delta (a,b,c)=[(a+b-c)!(a-b+c)!(-a+b+c)!/(a+b+c+1)!]^{1/2}}$

Sea el factor triangular usual, entonces el coeficiente de Racah es un producto de cuatro de estos por una suma sobre factoriales,

${\displaystyle W(abcd;ef)=\Delta (a,b,e)\Delta (c,d,e)\Delta (a,c,f)\Delta (b,d,f)w(abcd;ef)}$

dónde

${\displaystyle w(abcd;ef)\equiv \sum _{z}{\frac {(-1)^{z+\beta _{1}}(z+1)!}{(z-\alpha _{1})!(z-\alpha _{2})!(z-\alpha _{3})!(z-\alpha _{4})!(\beta _{1}-z)!(\beta _{2}-z)!(\beta _{3}-z)!}}}$

y

${\displaystyle \alpha _{1}=a+b+e;\quad \beta _{1}=a+b+c+d;}$

${\displaystyle \alpha _{2}=c+d+e;\quad \beta _{2}=a+d+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{3}=a+c+f;\quad \beta _{3}=b+c+e+f;}$

${\displaystyle \alpha _{4}=b+d+f.}$

La suma sobre${\displaystyle z}$es finito en el rango ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \max(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\alpha _{4})\leq z\leq \min(\beta _{1},\beta _{2},\beta _{3}).}$

Los coeficientes W de Racah están relacionados con los símbolos 6-j de Wigner , que poseen propiedades de simetría aún más convenientes.

${\displaystyle W(abcd;ef)(-1)^{a+b+c+d}={\begin{Bmatrix}a&b&e\\d&c&f\end{Bmatrix}}.}$

Cf. ^{[ 4 ]} o

${\displaystyle W(j_{1}j_{2}Jj_{3};J_{12}J_{23})=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}+J}{\begin{Bmatrix}j_{1}&j_{2}&J_{12}\\j_{3}&J&J_{23}\end{Bmatrix}}.}$

• Coeficientes de Clebsch-Gordan
• Símbolo 3-j
• Símbolo 6-j
• Teorema de Pandya

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• Messiah, Albert (1981). Mecánica cuántica (Volumen II) (12.ª  ed.). Nueva York: North Holland Publishing . ISBN 0-7204-0045-7.
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• Brink, DM; Satchler, GR (1993). «Capítulo 2» . Momento angular (3.ª  ed.). Oxford: Clarendon Press . ISBN 0-19-851759-9.
• Zare, Richard N. (1988). «Capítulo 2». Momento angular . Nueva York: John Wiley . ISBN 0-471-85892-7.
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• "Coeficientes de Racah-Wigner" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]