Intervalo de confianza

Según la inferencia frecuentista , un intervalo de confianza ( IC ) es un rango de valores que probablemente contenga (en muestreos repetidos) el valor verdadero de un parámetro estadístico desconocido , como la media poblacional . ^{[ 1 ]} En lugar de informar una estimación puntual única (por ejemplo, "el tiempo promedio frente a la pantalla es de 3 horas al día"), un intervalo de confianza proporciona un rango, como de 2 a 4 horas, junto con un nivel de confianza especificado , generalmente del 95 %.

Un nivel de confianza del 95 % no implica una probabilidad del 95 % de que el parámetro verdadero se encuentre dentro de un intervalo calculado particular, que en cambio se asocia con el intervalo creíble en la inferencia bayesiana . El nivel de confianza refleja la fiabilidad a largo plazo del método utilizado para generar el intervalo. ^{[ 2 ] [ 3 ]} En otras palabras, si el mismo procedimiento de muestreo se repitiera 100 veces de la misma población, se esperaría que aproximadamente 95 de los intervalos resultantes contuvieran la verdadera media poblacional. El enfoque frecuentista considera la verdadera media poblacional como una constante fija desconocida, mientras que el intervalo de confianza se calcula utilizando datos de una muestra aleatoria. Debido a que la muestra es aleatoria, los extremos del intervalo son variables aleatorias.

Dejar${\displaystyle X}$sea ​​una muestra aleatoria de una distribución de probabilidad con parámetro estadístico${\displaystyle (\theta,\varphi)}$. Aquí,${\displaystyle \theta }$es la cantidad a estimar, mientras que${\displaystyle \varphi }$Incluye otros parámetros (si los hay) que determinan la distribución. Un intervalo de confianza para el parámetro${\displaystyle \theta }$, con nivel de confianza o coeficiente${\displaystyle \gamma }$, es un intervalo${\displaystyle (u(X),v(X))}$determinado por variables aleatorias${\displaystyle u(X)}$y${\displaystyle v(X)}$con la propiedad: $${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))=\gamma \quad {\text{para todo }}(\theta ,\varphi ).}$$

El número${\displaystyle \gamma }$, que suele ser grande (por ejemplo, 0,95), a veces se da en la forma${\displaystyle 1-\alpha }$(o como porcentaje)${\displaystyle 100\%\cdot (1-\alpha )}$), dónde${\displaystyle \alpha }$es un número positivo pequeño, a menudo 0,05. Significa que el intervalo${\textstyle (u(X),v(X))}$tiene una probabilidad${\textstyle \gamma }$de cubrir el valor de${\textstyle \theta }$en muestreos repetidos.

En muchas aplicaciones, es difícil construir intervalos de confianza que tengan exactamente el nivel de confianza requerido, pero se pueden calcular intervalos aproximados. La regla para construir el intervalo puede aceptarse si

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\approx \ \gamma }$$

a un nivel de aproximación aceptable. Alternativamente, algunos autores ^{[ 4 ]} simplemente requieren que

$${\displaystyle P(u(X)<\theta <v(X))\geq \ \gamma }$$ Cuando se sabe que la probabilidad de cobertura puede ser estrictamente mayor que${\displaystyle \gamma }$Para algunos valores de los parámetros, el intervalo de confianza se denomina conservador, es decir, se tiende a ser demasiado precavido; lo que también significa que el intervalo puede ser más amplio de lo necesario.

Suponer${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$es una muestra independiente de una población con distribución normal y parámetros desconocidos media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}.}$Defina la media muestral .${\displaystyle {\bar {X}}}$y varianza de muestra insesgada${\displaystyle S^{2}}$como

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {X}}&={\frac {1}{n}}\left(X_{1}+\cdots +X_{n}\right),\\S^{2}&={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}\left(X_{i}-{\bar {X}}\right)^{2}.\end{aligned}}}$$

Entonces el valor

$${\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$$

tiene una distribución t de Student con${\textstyle n-1}$grados de libertad. ^{[ 5 ]} Este valor es útil porque su distribución no depende de los valores de los parámetros no observables.${\textstyle \mu }$y${\textstyle \sigma ^{2}}$; es decir, es una cantidad fundamental .

Supongamos que quisiéramos calcular un intervalo de confianza del 95% para${\textstyle \mu .}$Primero, dejemos${\textstyle c}$ser el percentil 97,5 de la distribución de${\textstyle T}$Entonces hay una probabilidad del 2,5% de que${\textstyle T}$será menor que${\textstyle -c}$y una probabilidad del 2,5% de que sea mayor que${\textstyle +c}$(ya que la distribución t es simétrica respecto a 0). En otras palabras,

$${\displaystyle P_{T}(-c\leq T\leq c)=0.95.}$$

En consecuencia, al reemplazar${\textstyle T}$con${\displaystyle {\frac {{\bar {X}}-\mu }{S/{\sqrt {n}}}}}$y renegociando los términos,

$${\displaystyle P_{X}{\left({\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\right)}=0.95}$$

dónde${\displaystyle P_{X}}$es la medida de probabilidad para la muestra${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$.

Significa que hay un 95% de probabilidad de que esta condición${\displaystyle {\bar {X}}-{\frac {cS}{\sqrt {n}}}\leq \mu \leq {\bar {X}}+{\frac {cS}{\sqrt {n}}}}$ocurre en el muestreo repetido. Después de observar una muestra, encontramos valores${\displaystyle {\bar {x}}}$para${\displaystyle {\bar {X}}}$y${\displaystyle s}$para${\displaystyle S,}$A partir de lo cual calculamos el siguiente intervalo, y decimos que es un intervalo de confianza del 95% para la media.

$${\displaystyle \left[{\bar {x}}-{\frac {cs}{\sqrt {n}}},{\bar {x}}+{\frac {cs}{\sqrt {n}}}\right].}$$

Se pueden dar varias interpretaciones de un intervalo de confianza (tomando como ejemplo el intervalo de confianza del 95% a continuación).

• El intervalo de confianza puede expresarse en términos de una frecuencia a largo plazo en muestras repetidas (o en remuestreo ): "Si este procedimiento se repitiera en numerosas muestras, la proporción de intervalos de confianza del 95% calculados que abarcarían el verdadero valor del parámetro poblacional tendería hacia el 95%". ^{[ 6 ]}
• El intervalo de confianza puede expresarse en términos de probabilidad con respecto a una única muestra teórica (aún por realizarse): "Hay una probabilidad del 95% de que el intervalo de confianza del 95% calculado a partir de una muestra futura dada cubra el verdadero valor del parámetro poblacional". ^{[ 7 ]} Esto esencialmente reformula la interpretación de "muestras repetidas" como una probabilidad en lugar de una frecuencia.
• El intervalo de confianza puede expresarse en términos de significancia estadística, por ejemplo: "El intervalo de confianza del 95% representa valores que no son estadísticamente diferentes de la estimación puntual al nivel de 0,05". ^{[ 8 ]}

malentendidos comunes

Los intervalos y niveles de confianza se malinterpretan con frecuencia, y estudios publicados han demostrado que incluso los científicos profesionales a menudo los malinterpretan. ^{[ 9 ]}

Contrariamente a las ideas erróneas comunes, un nivel de confianza del 95% no significa que:

• Para un intervalo realizado dado, existe una probabilidad del 95% de que el parámetro de la población se encuentre dentro del intervalo; ^{[ 10 ] [ 11 ]}
• El 95% de los datos de la muestra se encuentran dentro del intervalo de confianza; ^{[ 1 ]} o
• Existe una probabilidad del 95% de que la estimación del parámetro obtenida al repetir el experimento se encuentre dentro del intervalo de confianza calculado a partir de un experimento dado. ^{[ 11 ]}

Por ejemplo, supongamos que una fábrica produce varillas de metal y que una muestra aleatoria de 25 varillas proporciona un intervalo de confianza del 95 % de 36,8 a 39,0  mm para la longitud media de la población. ^{[ 12 ]}

• Es incorrecto afirmar que existe una probabilidad del 95 % de que la media poblacional real se encuentre dentro de este intervalo: la media real es fija, no aleatoria. La media real podría ser 37  mm, que se encuentra dentro del intervalo de confianza, o 40  mm, que no; en cualquier caso, que se encuentre entre 36,8 y 39,0  mm es un hecho, no una probabilidad.
• No es necesariamente cierto que la longitud del 95% de las varillas muestreadas se encuentre dentro de este intervalo. En este caso, no puede ser cierto: el 95% de 25 no es un número entero.
• No es cierto que exista una probabilidad del 95 % de que la longitud media de la muestra (una estimación de la longitud media de la población) en una segunda muestra se encuentre dentro de este intervalo. De hecho, si la longitud media real está lejos de este intervalo de confianza específico, es muy improbable que la siguiente media de la muestra se encuentre dentro de dicho intervalo.

En cambio, el nivel de confianza del 95% significa que si tomáramos 100 muestras de este tipo, esperaríamos que la verdadera media poblacional se encontrara dentro de aproximadamente el 95% de los intervalos calculados. ^{[ 1 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]}

La interpretación de los intervalos de confianza es especialmente compleja cuando intervienen varios grupos. Dos ideas erróneas comunes son: que dos grupos son significativamente diferentes si sus intervalos de confianza "apenas se tocan", y que difieren cuando el intervalo de confianza de un grupo excluye la media del otro. Ninguna de estas afirmaciones es cierta en general, pero incluso los investigadores experimentados suelen cometer estos errores. ^{[ 13 ]}

Ejemplos de cómo una interpretación ingenua de los intervalos de confianza puede resultar problemática.

Procedimiento de confianza para la ubicación uniforme

Welch ^{[ 15 ]} presentó un ejemplo que muestra claramente la diferencia entre la teoría de los intervalos de confianza y otras teorías de estimación por intervalos (incluidos los intervalos fiduciales de Fisher y los intervalos bayesianos objetivos ). Robinson ^{[ 16 ]} calificó este ejemplo como «posiblemente el mejor contraejemplo conocido de la versión de Neyman de la teoría de los intervalos de confianza». Para Welch, demostraba la superioridad de la teoría de los intervalos de confianza; para los críticos de la teoría, mostraba una deficiencia. Aquí presentamos una versión simplificada.

Supongamos que${\displaystyle X_{1},X_{2}}$son observaciones independientes de una fuente uniforme${\displaystyle (\theta -1/2,\theta +1/2)}$distribución. Luego, el procedimiento óptimo de confianza del 50% para${\displaystyle \theta }$es ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\begin{cases}{\dfrac {|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|<1/2\\[8pt]{\dfrac {1-|X_{1}-X_{2}|}{2}}&{\text{if }}|X_{1}-X_{2}|\geq 1/2.\end{cases}}}$$

Se puede utilizar un argumento bayesiano objetivo o fiducial para derivar la estimación del intervalo. $${\displaystyle {\bar {X}}\pm {\frac {1-|X_{1}-X_{2}|}{4}},}$$ que también es un procedimiento de confianza del 50%. Welch demostró que el primer procedimiento de confianza domina al segundo, según los requisitos de la teoría del intervalo de confianza; para cada${\displaystyle \theta _{1}\neq \theta }$, la probabilidad de que el primer procedimiento contenga${\displaystyle \theta _{1}}$es menor o igual a la probabilidad de que el segundo procedimiento contenga${\displaystyle \theta _{1}}$La amplitud promedio de los intervalos del primer procedimiento es menor que la del segundo. Por lo tanto, según la teoría clásica de los intervalos de confianza, se prefiere el primer procedimiento.

Sin embargo, cuando${\displaystyle |X_{1}-X_{2}|\geq 1/2}$, los intervalos del primer procedimiento están garantizados para contener el valor verdadero${\displaystyle \theta }$Por lo tanto, el coeficiente de confianza nominal del 50 % no guarda relación con la incertidumbre que deberíamos tener de que un intervalo específico contenga el valor verdadero. El segundo procedimiento no posee esta propiedad.

Además, cuando el primer procedimiento genera un intervalo muy corto, esto indica que${\displaystyle X_{1},X_{2}}$Los intervalos están muy próximos entre sí y, por lo tanto, solo ofrecen información en un único punto de datos. Sin embargo, el primer intervalo, debido a su corta amplitud, excluye casi todos los valores razonables del parámetro. El segundo procedimiento no presenta esta característica.

Las dos propiedades contraintuitivas del primer procedimiento: cobertura del 100% cuando${\displaystyle X_{1},X_{2}}$están muy separados y casi 0% de cobertura cuando${\displaystyle X_{1},X_{2}}$están muy cerca entre sí, lo que permite obtener una cobertura promedio del 50 %. Sin embargo, a pesar de que el primer procedimiento es óptimo, sus intervalos no ofrecen una evaluación de la precisión de la estimación ni de la incertidumbre que cabe tener respecto a que el intervalo contenga el valor verdadero.

Este ejemplo se utiliza para refutar las interpretaciones ingenuas de los intervalos de confianza. Si se afirma que un procedimiento de confianza posee propiedades que van más allá de la cobertura nominal (como su relación con la precisión o con la inferencia bayesiana), dichas propiedades deben demostrarse; no se derivan del hecho de que un procedimiento sea un procedimiento de confianza.

Procedimiento de confianza para ω ²

Steiger ^{[ 18 ]} sugirió varios procedimientos de confianza para medidas comunes del tamaño del efecto en ANOVA . Morey et al. ^{[ 10 ]} señalan que varios de estos procedimientos de confianza, incluido el de ω ² , tienen la propiedad de que a medida que el estadístico F se vuelve cada vez más pequeño —lo que indica un ajuste deficiente con todos los valores posibles de ω ² — el intervalo de confianza se reduce e incluso puede contener solo el único valor ω ²  =  0; es decir, el IC es infinitesimalmente estrecho (esto ocurre cuando${\displaystyle p\geq 1-\alpha /2}$por un${\displaystyle 100(1-\alpha )\%}$CI).

Este comportamiento es consistente con la relación entre el procedimiento de confianza y la prueba de significancia : cuando F se vuelve tan pequeño que las medias de los grupos están mucho más cerca entre sí de lo que cabría esperar por azar, una prueba de significancia podría indicar el rechazo para la mayoría o todos los valores de ^ω² . Por lo tanto ^, el intervalo será muy estrecho o incluso vacío (o, según una convención sugerida por Steiger, contendrá solo el 0). Sin embargo, esto no indica que la estimación de ω² sea muy precisa. En cierto sentido, indica lo contrario: que la fiabilidad de los resultados mismos puede estar en duda. Esto contradice la interpretación común de los intervalos de confianza, que revelan la precisión de la estimación.

Los métodos para calcular intervalos de confianza para la proporción binomial aparecieron a partir de la década de 1920. ^{[ 19 ] [ 20 ]} Las ideas principales sobre los intervalos de confianza en general se desarrollaron a principios de la década de 1930, ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} y la primera descripción completa y general fue dada por Jerzy Neyman en 1937. ^{[ 7 ]}

Neyman describió el desarrollo de las ideas de la siguiente manera (se han cambiado los números de referencia): ^{[ 23 ]}

[Mi trabajo sobre intervalos de confianza] tuvo su origen alrededor de 1930 en una simple pregunta de Waclaw Pytkowski, entonces mi alumno en Varsovia, quien realizaba un estudio empírico sobre economía agrícola. La pregunta era: ¿cómo caracterizar de forma no dogmática la precisión de un coeficiente de regresión estimado?

La monografía de Pytkowski... apareció impresa en 1932. ^{[ 24 ]} Dio la casualidad de que, algo antes, Fisher publicó su primer artículo ^{[ 25 ]} sobre distribuciones fiduciales y argumento fiducial. De manera bastante inesperada, si bien el marco conceptual del argumento fiducial es completamente diferente al de los intervalos de confianza, las soluciones específicas de varios problemas particulares coincidieron. Así, en el primer artículo en el que presenté la teoría de los intervalos de confianza, publicado en 1934, ^{[ 21 ]} reconocí la prioridad de Fisher para la idea de que la estimación por intervalos es posible sin ninguna referencia al teorema de Bayes y con la solución siendo independiente de las probabilidades a priori . Al mismo tiempo, sugerí levemente que el enfoque de Fisher al problema implicaba un pequeño malentendido.

En las revistas médicas, los intervalos de confianza se promovieron en la década de 1970, pero no se generalizaron hasta la década de 1980. ^{[ 26 ]} Para 1988, las revistas médicas exigían la presentación de intervalos de confianza. ^{[ 27 ]}

• Intervalo de confianza para la distribución binomial
• Intervalo de confianza para el exponente de la distribución de ley de potencias
• Intervalo de confianza para la media de la distribución exponencial
• Intervalo de confianza para la media de la distribución de Poisson
• Intervalos de confianza para la media y la varianza de la distribución normal (también aquí )
• Intervalo de confianza para los parámetros de una regresión lineal simple.
• Intervalo de confianza para la diferencia de medias (basado en datos de distribuciones normales, sin asumir varianzas iguales).
• Intervalo de confianza para la diferencia entre dos proporciones

• Límites superiores de CL (física de partículas)
• Regla 68–95–99.7
• Banda de confianza , una estimación de intervalo para una curva
• Distribución de confianza : un concepto en estadística. 
• Región de confianza : versión multidimensional de un intervalo de confianza , una generalización de mayor dimensión. 
• Credencia (estadística) – Medida de la fuerza de la creencia utilizada en estadística 
• Intervalo de credibilidad , una alternativa bayesiana para la estimación por intervalos.
• Intervalo de confianza no paramétrico basado en la función de distribución acumulativa : clase de intervalos de confianza en torno a funcionales estadísticos de una distribución. 
• Barra de error : Representaciones gráficas de la variabilidad de los datos. 
• Estadística de estimación : enfoque de análisis de datos en estadística frecuentista 
• Margen de error , la mitad del ancho del intervalo de confianza
• Valor p : función de los resultados de la muestra observada. 
• Intervalo de predicción , una estimación por intervalo para una variable aleatoria.
• Error probable
• Intervalos de confianza robustos : indicadores estadísticos de la desviación de una muestra. Páginas que muestran descripciones breves de los destinos de redireccionamiento. 

• Programas tutoriales de software exploratorio para intervalos de confianza que se ejecutan en Excel.
• Calculadoras de intervalos de confianza para R cuadrado , coeficientes de regresión e intersecciones de regresión.
• Weisstein, Eric W. "Intervalo de confianza" . MathWorld .
• CAUSEweb.org Muchos recursos para la enseñanza de la estadística, incluyendo intervalos de confianza.
• Una introducción interactiva a los intervalos de confianza.
• Intervalos de confianza: Nivel de confianza, tamaño de la muestra y margen de error, por Eric Schulz, del Proyecto de Demostraciones de Wolfram .
• Intervalos de confianza en salud pública. Archivado el 9 de agosto de 2016 en Wayback Machine . Descripción sencilla con ejemplos y qué hacer con muestras pequeñas o tasas cercanas a cero.