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Modelo AKLT

En física de la materia condensada , el modelo Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki ( AKLT ) es una extensión del modelo de espín de Heisenberg cuántico unidimensional . La propuesta y s...

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En física de la materia condensada , el modelo Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki ( AKLT ) es una extensión del modelo de espín de Heisenberg cuántico unidimensional . La propuesta y solución exacta de este modelo por Ian Affleck , Elliott H. Lieb , Tom Kennedy y Hal Tasaki [ 1 ] proporcionaron información crucial sobre la física de la cadena de Heisenberg de espín 1. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] También ha servido como un ejemplo útil para conceptos como el orden sólido de enlace de valencia, el orden topológico protegido por simetría [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] y las funciones de onda de estado de producto matricial.

Fondo

Una de las principales motivaciones para el modelo AKLT fue la cadena de Majumdar-Ghosh . Dado que dos de cada conjunto de tres espines vecinos en un estado fundamental de Majumdar-Ghosh se emparejan en un singlete o enlace de valencia, los tres espines juntos nunca pueden encontrarse en un estado de espín 3/2. De hecho, el hamiltoniano de Majumdar-Ghosh no es más que la suma de todos los proyectores de tres espines vecinos sobre un estado 3/2.

La principal conclusión del artículo de AKLT fue que esta construcción podría generalizarse para obtener modelos exactamente solubles para tamaños de espín distintos de 1/2. Así como un extremo de un enlace de valencia es un espín 1/2, los extremos de dos enlaces de valencia pueden combinarse en un espín 1, tres en un espín 3/2, etc.

Definición

Affleck y colaboradores estaban interesados ​​en construir un estado unidimensional con un enlace de valencia entre cada par de sitios. Dado que esto da lugar a dos espines 1/2 para cada sitio, el resultado debe ser la función de onda de un sistema de espín 1.

Para cada par adyacente de espines 1, dos de los cuatro espines 1/2 constituyentes se encuentran en un estado de espín cero total. Por lo tanto, cada par de espines 1 tiene prohibido estar en un estado combinado de espín 2. Al escribir esta condición como una suma de proyectores que favorecen el estado de espín 2 de pares de espines 1, AKLT llegó al siguiente hamiltoniano.

H^=∑⟨ij⟩PAG⟨ij⟩(2)∼∑jS→j⋅S→j+1+13(S→j⋅S→j+1)2{\displaystyle {\hat {H}}=\sum _{\langle ij\rangle }{\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}\sim \sum _{j}{\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1}+{\frac {1}{3}}({\vec {S}}_{j}\cdot {\vec {S}}_{j+1})^{2}}

hasta una constante, donde laSi→{\textstyle {\vec {S_{i}}}}son operadores de espín 1, yPAG⟨ij⟩(2){\textstyle {\textit {P}}_{\langle ij\rangle }^{(2)}}el proyector local de 2 puntos que favorece el estado de espín 2 de un par de espines adyacentes.

Este hamiltoniano es similar al modelo de espín cuántico de Heisenberg unidimensional de espín 1, pero tiene un término de interacción de espín "bicuadrático" adicional.

Estado fundamental

Por construcción, el estado fundamental del hamiltoniano AKLT es el sólido de enlaces de valencia con un único enlace de valencia que conecta cada par de sitios vecinos. Gráficamente, esto se puede representar como

Aquí los puntos sólidos representan espines 1/2 que se colocan en estados singlete. Las líneas que conectan los espines 1/2 son los enlaces de valencia que indican el patrón de singletes. Los óvalos son operadores de proyección que "unen" dos espines 1/2 en un solo espín 1, proyectando el subespacio de espín 0 o singlete y conservando solo el subespacio de espín 1 o triplete. Los símbolos "+", "0" y "−" etiquetan los estados base estándar de espín 1 (autoestados delSz{\displaystyle S^{z}}operador). [ 10 ]

Giro 1/2 estados de borde

En el caso de espines dispuestos en un anillo ( condiciones de contorno periódicas ), la construcción AKLT produce un estado fundamental único. Sin embargo, en el caso de una cadena abierta, el primer y el último espín 1 tienen un único vecino, dejando uno de sus espines 1/2 constituyentes sin aparear. Como resultado, los extremos de la cadena se comportan como momentos de espín 1/2 libres, aunque el sistema esté compuesto únicamente por espines 1.

Los estados de borde de espín 1/2 de la cadena AKLT se pueden observar de varias maneras. Para cadenas cortas, los estados de borde se mezclan en un singlete o un triplete, dando lugar a un estado fundamental único o a un multiplete triple de estados fundamentales. Para cadenas más largas, los estados de borde se desacoplan exponencialmente rápido en función de la longitud de la cadena, lo que conduce a una variedad de estados fundamentales que es cuádruplemente degenerada. [ 11 ] Mediante el uso de un método numérico como DMRG para medir la magnetización local a lo largo de la cadena, también es posible ver los estados de borde directamente y demostrar que se pueden eliminar colocando espines 1/2 reales en los extremos. [ 12 ] Incluso se ha demostrado que es posible detectar los estados de borde de espín 1/2 en mediciones de un compuesto magnético cuasi-1D que contiene una pequeña cantidad de impurezas cuyo papel es romper las cadenas en segmentos finitos. [ 13 ] En 2021, se encontró una firma espectroscópica directa de estados de borde de espín 1/2 en cadenas de espín cuánticas aisladas construidas a partir de trianguleno , un hidrocarburo aromático policíclico de espín 1. [ 14 ]

Representación de estado del producto matricial

La simplicidad del estado fundamental AKLT permite representarlo de forma compacta como un estado de producto matricial . Esta es una función de onda de la forma

|Ψ⟩=∑{s}Tran⁡[As1As2…Asnorte]|s1s2…snorte⟩.{\displaystyle |\Psi \rangle =\sum _{\{s\}}\operatorname {Tr} [A^{s_{1}}A^{s_{2}}\ldots A^{s_{N}}]|s_{1}s_{2}\ldots s_{N}\rangle .}

Aquí las A son un conjunto de tres matrices etiquetadas porsj{\displaystyle s_{j}}y la traza proviene de asumir condiciones de contorno periódicas.

La función de onda del estado fundamental AKLT corresponde a la elección: [ 10 ]

A+=+23 σ+{\displaystyle A^{+}=+{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{+}}
A0=−13 σz{\displaystyle A^{0}=-{\sqrt {\tfrac {1}{3}}}\ \sigma ^{z}}
A−=−23 σ−{\displaystyle A^{-}=-{\sqrt {\tfrac {2}{3}}}\ \sigma ^{-}}

dóndeσ{\displaystyle \sigma }es una matriz de Pauli .

Generalizaciones y extensiones

El modelo AKLT se ha resuelto en redes de dimensiones superiores, [ 1 ] [ 15 ] incluso en cuasicristales . El modelo también se ha construido para álgebras de Lie superiores, incluyendo SU( n ) , [ 16 ] [ 17 ] SO( n ) , [ 18 ] Sp(n) [ 19 ] y se ha extendido a los grupos cuánticos SUq( n ). [ 20 ]

Referencias

  1. 1 2 Affleck, Ian; Kennedy, Tom; Lieb, Elliott H.; Tasaki, Hal (1987). "Resultados rigurosos sobre los estados fundamentales de enlace de valencia en antiferromagnetos". Physical Review Letters . 59 (7): 799– 802. Bibcode : 1987PhRvL..59..799A . doi : 10.1103/PhysRevLett.59.799 . PMID 10035874 . 
  2. ↑ Haldane, FDM (1983). "Teoría de campo no lineal de antiferromagnetos de Heisenberg de espín grande: solitones cuantizados semiclasicamente del estado de Néel de eje fácil unidimensional" . Phys. Rev. Lett . 50 (15): 1153. Bibcode : 1983PhRvL..50.1153H . doi : 10.1103/physrevlett.50.1153 .
  3. ↑ Haldane, FDM (1983). "Dinámica continua del antiferromagneto de Heisenberg 1-D: Identificación con el modelo sigma no lineal O(3)". Phys. Lett. A . 93 (9): 464. Bibcode : 1983PhLA...93..464H . doi : 10.1016/0375-9601(83)90631-x .
  4. ↑ Affleck, I.; Haldane, FDM (1987). "Teoría crítica de las cadenas de espín cuánticas". Phys. Rev. B . 36 (10): 5291– 5300. Bibcode : 1987PhRvB..36.5291A . doi : 10.1103/physrevb.36.5291 . PMID 9942166 . 
  5. ↑ Affleck, I. (1989). "Cadenas de espín cuánticas y la brecha de Haldane". J. Phys.: Condens. Matter . 1 (19): 3047. Bibcode : 1989JPCM....1.3047A . doi : 10.1088/0953-8984/1/19/001 . S2CID 250850599 . 
  6. ↑ Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2009). "Enfoque de renormalización de filtrado de entrelazamiento tensorial y orden topológico protegido por simetría". Phys. Rev. B . 80 (15) 155131. arXiv : 0903.1069 . Bibcode : 2009PhRvB..80o5131G . doi : 10.1103/physrevb.80.155131 . S2CID 15114579 . 
  7. ↑ Pollmann, F.; Berg, E.; Turner, Ari M.; Oshikawa, Masaki (2012). "Protección de simetría de fases topológicas en sistemas de espín cuántico unidimensionales" (PDF) . Phys. Rev. B. 85 ( 7) 075125. arXiv : 0909.4059 . Bibcode : 2012PhRvB..85g5125P . doi : 10.1103/PhysRevB.85.075125 . S2CID 53135907 . 
  8. ↑ Chen, Xie; Gu, Zheng-Cheng; Wen, Xiao-Gang (2011). "Clasificación de fases simétricas con brecha en sistemas de espín 1D". Phys. Rev. B . 83 (3) 035107. arXiv : 1008.3745 . Bibcode : 2011PhRvB..83c5107C . doi : 10.1103/physrevb.83.035107 . S2CID 9139955 . 
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