Grupo de renormalización de la matriz de densidad

El grupo de renormalización de la matriz de densidad ( DMRG ) es una técnica variacional numérica diseñada para obtener la física de baja energía de sistemas cuánticos de muchos cuerpos con alta precisión. El algoritmo DMRG intenta encontrar la función de onda del estado de producto matricial de energía más baja de un hamiltoniano . Fue inventado en 1992 por Steven R. White ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} y actualmente es el método más eficiente para sistemas unidimensionales. ^{[ 3 ]}

Historia

La primera aplicación del DMRG, por Steven R. White y Reinhard Noack , fue encontrar el espectro de un modelo de enlace fuerte 1D, que es la versión de red discreta de una partícula 1D en una caja ; este modelo había sido propuesto por Kenneth G. Wilson como prueba para cualquier nuevo método de grupo de renormalización , porque todos fallaban con este problema simple. ^{[ 4 ]} El DMRG superó los problemas de los métodos de grupo de renormalización anteriores al conectar dos bloques con los dos sitios en el medio, en lugar de simplemente agregar un solo sitio a un bloque en cada paso, así como al identificar los estados más importantes que se deben mantener al final de cada paso usando valores propios de la matriz de densidad , en lugar de valores propios de energía. Después de tener éxito con el modelo de juguete , el método DMRG se probó con éxito en el modelo cuántico de Heisenberg . ^{[ 5 ]}

Principio

El principal problema de la física cuántica de muchos cuerpos es el hecho de que el espacio de Hilbert crece exponencialmente con el tamaño. En otras palabras, si se considera una red, con algún espacio de Hilbert de dimensión $d$ en cada sitio de la red, entonces el espacio de Hilbert total tendría dimensión $d^{N}$ , dónde $N$ es el número de sitios en la red. Por ejemplo, una cadena de espín 1/2 de longitud L tiene ^2L grados de libertad. El DMRG es un método iterativo y variacional que reduce los grados de libertad efectivos a aquellos más importantes para un estado objetivo. El estado que más suele interesar es el estado fundamental .

Tras un ciclo de calentamiento , el método divide el sistema en dos subsistemas, o bloques, que no necesariamente tienen el mismo tamaño, y dos sitios intermedios. Durante el calentamiento, se ha seleccionado un conjunto de estados representativos para cada bloque. Este conjunto (bloques izquierdos + dos sitios + bloques derechos) se conoce como superbloque . Ahora se puede encontrar un estado candidato para el estado fundamental del superbloque, que es una versión reducida del sistema completo. Si bien su precisión puede ser baja, el método es iterativo y mejora con los pasos que se describen a continuación.

Descomposición del sistema en bloques izquierdo y derecho, según DMRG.

El estado fundamental candidato encontrado se proyecta en el subespacio de Hilbert para cada bloque mediante una matriz de densidad , de ahí su nombre. De este modo, se actualizan los estados relevantes para cada bloque.

Ahora, uno de los bloques crece a expensas del otro y el procedimiento se repite. Cuando el bloque en crecimiento alcanza su tamaño máximo, el otro comienza a crecer en su lugar. Cada vez que volvemos a la situación original (tamaños iguales), decimos que se ha completado un barrido . Normalmente, unos pocos barridos son suficientes para obtener una precisión de 10¹⁰ en una red ^{unidimensional} .

Guía de implementación

La implementación práctica del algoritmo DMRG es un trabajo extenso . Algunos de los principales trucos computacionales son los siguientes:

Dado que el tamaño del hamiltoniano renormalizado suele ser del orden de unos pocos o decenas de miles, mientras que el autoestado buscado es precisamente el estado fundamental, este último se obtiene mediante un algoritmo iterativo como el algoritmo de diagonalización de matrices de Lanczos. Otra opción es el método de Arnoldi , especialmente cuando se trabaja con matrices no hermíticas.
El algoritmo de Lanczos suele comenzar con la mejor estimación de la solución. Si no se dispone de ninguna estimación, se elige un vector aleatorio. En DMRG, el estado fundamental obtenido en un paso determinado, transformado adecuadamente, constituye una estimación razonable y, por lo tanto, funciona significativamente mejor que un vector inicial aleatorio en el siguiente paso de DMRG.
En sistemas con simetrías, podemos tener números cuánticos conservados, como el espín total en un modelo de Heisenberg. Es conveniente encontrar el estado fundamental dentro de cada uno de los sectores en los que se divide el espacio de Hilbert.

Aplicaciones

El DMRG se ha aplicado con éxito para obtener las propiedades de baja energía de cadenas de espín: modelo de Ising en un campo transversal, modelo de Heisenberg , etc., sistemas fermiónicos, como el modelo de Hubbard , problemas con impurezas como el efecto Kondo , sistemas de bosones y la física de puntos cuánticos unidos con nanocables cuánticos . También se ha extendido para trabajar con grafos de árbol y ha encontrado aplicaciones en el estudio de dendrímeros . Para sistemas 2D con una de las dimensiones mucho mayor que la otra, el DMRG también es preciso y ha demostrado ser útil en el estudio de escaleras.

El método se ha extendido para estudiar la física estadística del equilibrio en 2D y para analizar fenómenos de no equilibrio en 1D.

El DMRG también se ha aplicado al campo de la química cuántica para estudiar sistemas fuertemente correlacionados.

Ejemplo: Modelo cuántico de Heisenberg

Consideremos un algoritmo DMRG "infinito" para el $S=1$ Cadena cuántica de Heisenberg antiferromagnética . La receta se puede aplicar a cualquier red unidimensional invariante traslacionalmente .

DMRG es una técnica de grupo de renormalización porque ofrece una truncación eficiente del espacio de Hilbert de sistemas cuánticos unidimensionales.

Punto de partida

Para simular una cadena infinita, comience con cuatro sitios. El primero es el sitio del bloque , el último el sitio del bloque del universo y los restantes son los sitios agregados , el de la derecha se agrega al sitio del bloque del universo y el otro al sitio del bloque.

El espacio de Hilbert para el sitio único es ${\mathfrak {H}}$ con la base $\{|S,S_{z}\rangle \}\equiv \{|1,1\rangle ,|1,0\rangle ,|1,-1\rangle \}$ . Con esta base los operadores de giro son $S_{x}$ , $S_{y}$ y $S_{z}$ para el sitio único. Para cada bloque, los dos bloques y los dos sitios, hay su propio espacio de Hilbert. ${\mathfrak {H}}_{b}$ , su base $\{|w_{i}\rangle \}$ ( $i:1\dots \dim({\mathfrak {H}}_{b})$ )y sus propios operadores $O_{b}:{\mathfrak {H}}_{b}\rightarrow {\mathfrak {H}}_{b}$ dónde

bloquear: ${\mathfrak {H}}_{B}$ , $\{|u_{i}\rangle \}$ , $H_{B}$ , $S_{x_{B}}$ , $S_{y_{B}}$ , $S_{z_{B}}$
lado izquierdo: ${\mathfrak {H}}_{l}$ , $\{|t_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{l}}$ , $S_{y_{l}}$ , $S_{z_{l}}$
sitio correcto: ${\mathfrak {H}}_{r}$ , $\{|s_{i}\rangle \}$ , $S_{x_{r}}$ , $S_{y_{r}}$ , $S_{z_{r}}$
universo: ${\mathfrak {H}}_{U}$ , $\{|r_{i}\rangle \}$ , $H_{U}$ , $S_{x_{U}}$ , $S_{y_{U}}$ , $S_{z_{U}}$

En el punto de partida, los cuatro espacios de Hilbert son equivalentes a ${\mathfrak {H}}$ , todos los operadores de giro son equivalentes a $S_{x}$ , $S_{y}$ y $S_{z}$ y $H_{B}=H_{U}=0$ En las siguientes iteraciones, esto solo será cierto para los lados izquierdo y derecho.

Paso 1: Formar la matriz hamiltoniana para el superbloque.

Los ingredientes son los cuatro operadores de bloque y los cuatro operadores de bloque de universo, que en la primera iteración son $3\times 3$ matrices , los tres operadores de espín del sitio izquierdo y los tres operadores de espín del sitio derecho, que siempre son $3\times 3$ matrices. La matriz hamiltoniana del superbloque (la cadena), que en la primera iteración tiene solo cuatro sitios, está formada por estos operadores. En el modelo antiferromagnético de Heisenberg S=1, el hamiltoniano es:

$\mathbf {H} _{SB}=-J\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _ {z_ {j}}$

Estos operadores viven en el espacio de estados del superbloque: ${\mathfrak {H}}_{SB}={\mathfrak {H}}_{B}\otimes {\mathfrak {H}}_{l}\otimes {\mathfrak {H}}_{r}\otimes {\mathfrak {H}}_{U}$ , la base es $\{|f\rangle =|u\rangle \otimes |t\rangle \otimes |s\rangle \otimes |r\rangle \}$ Por ejemplo: (convención):

$|1000\dots 0\rangle \equiv |f_{1}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{1}\rangle \equiv |100,100,100,100\rangle$

$|0100\dots 0\rangle \equiv |f_{2}\rangle =|u_{1},t_{1},s_{1},r_{2}\rangle \equiv |100,100,100,010\rangle$

El hamiltoniano en la forma DMRG es (establecemos $J=-1$ ):

$\mathbf {H} _{SB}=\mathbf {H} _{B}+\mathbf {H} _{U}+\sum _{\langle i,j\rangle }\mathbf {S} _{x_{i}}\mathbf {S} _{x_{j}}+\mathbf {S} _{y_{i}}\mathbf {S} _{y_{j}}+\mathbf {S} _{z_{i}}\mathbf {S} _{z_{j}}$

Los operadores son $(d*3*3*d)\times (d*3*3*d)$ matrices, $d=\dim({\mathfrak {H}}_{B})\equiv \dim({\mathfrak {H}}_{U})$ , Por ejemplo:

$\langle f|\mathbf {H} _{B}|f'\rangle \equiv \langle u,t,s,r|H_{B}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} |u',t',s',r'\rangle$

$\mathbf {S} _{x_{B}}\mathbf {S} _{x_{l}}=S_{x_{B}}\mathbb {I} \otimes \mathbb {I} S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \mathbb {I} \otimes \mathbb {I} \mathbb {I} =S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}\otimes \mathbb {I} \otimes \mathbb {I}$

Paso 2: Diagonalizar el hamiltoniano del superbloque

En este punto, debe elegir el autoestado del hamiltoniano para el cual se calculan algunos observables ; este es el estado objetivo . Al principio, puede elegir el estado fundamental y utilizar algún algoritmo avanzado para encontrarlo; uno de ellos se describe en:

El cálculo iterativo de algunos de los autovalores más bajos y los autovectores correspondientes de matrices reales simétricas grandes , Ernest R. Davidson ; Journal of Computational Physics 17, 87-94 (1975)

Este paso es la parte del algoritmo que consume más tiempo.

Si $|\Psi \rangle =\sum \Psi _{i,j,k,w}|u_{i},t_{j},s_{k},r_{w}\rangle$ es el estado objetivo, el valor esperado de varios operadores se puede medir en este punto usando $|\Psi \rangle$ .

Paso 3: Reducir la matriz de densidad

Formar la matriz de densidad reducida $\rho$ para el primer sistema de dos bloques, el bloque y el lado izquierdo. Por definición es el $(d*3)\times (d*3)$ matriz: $\rho _{i,j;i',j'}\equiv \sum _{k,w}\Psi _{i,j,k,w}\Psi _{i',j',k,w}^{*}$

Diagonalizar $\rho$ y formar el $m\times (d*3)$ matriz $T$ , cuáles filas son las $m$ vectores propios asociados con el $m$ autovalores más grandes $e_{\alpha }$ de $\rho$ . Entonces $T$ está formada por los autoestados más significativos de la matriz de densidad reducida. Usted elige $m$ mirando el parámetro $P_{m}\equiv \sum _{\alpha =1}^{m}e_{\alpha }$ : $1-P_{m}\cong 0$ .

Paso 4: Nuevos operadores de bloque y de bloque universo

Formar el $(d*3)\times (d*3)$ Representación matricial de operadores para el sistema compuesto del bloque y el sitio izquierdo, y para el sistema compuesto del sitio derecho y el bloque del universo, por ejemplo:

$H_{B-l}=H_{B}\otimes \mathbb {I} +S_{x_{B}}\otimes S_{x_{l}}+S_{y_{B}}\otimes S_{y_{l}}+S_{z_{B}}\otimes S_{z_{l}}$

$S_{x_{B-l}}=\mathbb {I} \otimes S_{x_{l}}$

$H_{r-U}=\mathbb {I} \otimes H_{U}+S_{x_{r}}\otimes S_{x_{U}}+S_{y_{r}}\otimes S_{y_{U}}+S_{z_{r}}\otimes S_{z_{U}}$

$S_{x_{r-U}}=S_{x_{r}}\otimes \mathbb {I}$

Ahora, forme el $m\times m$ Las representaciones matriciales de los operadores del nuevo bloque y del bloque universo forman un nuevo bloque cambiando la base con la transformación. $T$ , Por ejemplo: ${\begin{matrix}&H_{B}=TH_{B-l}T^{\dagger }&S_{x_{B}}=TS_{x_{B-l}}T^{\dagger }\end{matrix}}$ En este punto, la iteración finaliza y el algoritmo vuelve al paso 1.

El algoritmo se detiene correctamente cuando la magnitud observable converge a algún valor.

Ansatz de producto matricial

El éxito del DMRG para sistemas 1D está relacionado con el hecho de que es un método variacional dentro del espacio de estados de producto matricial (MPS). ^{[ 6 ]} Estos son estados de la forma

|\Psi \rangle =\sum _{s_{1}\cdots s_{N}}\operatorname {Tr} (A^{s_{1}}\cdots A^{s_{N}})|s_{1}\cdots s_{N}\rangle

dónde $s_{1}\cdots s_{N}$ son los valores de la componente z del espín en una cadena de espín , y las A ^{s _i} son matrices de dimensión arbitraria m . Cuando m → ∞, la representación se vuelve exacta.

En la aplicación de la química cuántica, $s_{i}$ representa las cuatro posibilidades de la proyección del número cuántico de espín de los dos electrones que pueden ocupar un solo orbital, por lo tanto $s_{i}=|00\rangle ,|10\rangle ,|01\rangle ,|11\rangle$ , donde la primera (segunda) entrada de estos kets corresponde al electrón con espín hacia arriba (hacia abajo). En química cuántica, $A^{s_{1}}$ (para un dado $s_{i}$ ) y $A^{s_{N}}$ (para un dado $s_{N}$ ) se eligen tradicionalmente como matrices de filas y columnas, respectivamente. De esta manera, el resultado de $A^{s_{1}}\ldots A^{s_{N}}$ es un valor escalar y la operación de traza es innecesaria. $N$ es el número de sitios (básicamente los orbitales) utilizados en la simulación.

Las matrices en el ansatz MPS no son únicas, se puede, por ejemplo, insertar $B^{-1}B$ a mediados de $A^{s_{i}}A^{s_{i+1}}$ , luego definir ${\tilde {A}}^{s_{i}}=A^{s_{i}}B^{-1}$ y ${\tilde {A}}^{s_{i+1}}=BA^{s_{i+1}}$ y el estado permanecerá sin cambios. Esta libertad de calibre se emplea para transformar las matrices en una forma canónica. Existen tres tipos de forma canónica: (1) forma normalizada a la izquierda, cuando

\sum _{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }{\tilde {A}}^{s_{i}}=I

a pesar de $i$ , (2) forma normalizada a la derecha, cuando

\sum _{s_{i}}{\tilde {A}}^{s_{i}}\left({\tilde {A}}^{s_{i}}\right)^{\dagger }=I

a pesar de $i$ y (3) forma canónica mixta cuando existen matrices normalizadas tanto a la izquierda como a la derecha entre las $N$ matrices en el ansatz MPS anterior .

El objetivo del cálculo DMRG es entonces resolver los elementos de cada uno de los $A^{s_{i}}$ Matrices. Para este propósito se han ideado los algoritmos denominados de un sitio y de dos sitios. En el algoritmo de un sitio, solo se resuelve una matriz (un sitio) cuyos elementos se calculan a la vez. El algoritmo de dos sitios implica que dos matrices se contraen (multiplican) en una sola matriz, y luego se resuelven sus elementos. Se propone el algoritmo de dos sitios porque el algoritmo de un sitio es mucho más propenso a quedar atrapado en un mínimo local. Tener la matriz de autovalores en una de las formas canónicas mencionadas anteriormente tiene la ventaja de facilitar el cálculo, ya que conduce al problema de autovalores ordinario. Sin la canonización, se estaría tratando con un problema de autovalores generalizado.

Extensiones

En 2004, se desarrolló el método de decimación de bloques con evolución temporal para implementar la evolución en tiempo real de los estados de producto de matrices. ^{[ 7 ]} La idea se basa en la simulación clásica de una computadora cuántica . Posteriormente, se ideó un nuevo método para calcular la evolución en tiempo real dentro del formalismo DMRG basado en Runge-Kutta . ^{[ 8 ]}

En los últimos años, se han presentado algunas propuestas que extienden la definición de los estados de producto matricial y los métodos DMRG a 2D y 3D. ^{[ 9 ]}

Lecturas adicionales

Un libro de texto sobre DMRG y sus orígenes.
Una amplia reseña de Karen Hallberg
Dos revisiones de Ulrich Schollwöck, una que analiza la formulación original y otra en términos de estados de producto de matriz.
La tesis doctoral de Javier Rodríguez Laguna
Una visión general introductoria de DMRG y su extensión dependiente del tiempo.
Artículo de revisión sobre DMRG para química cuántica ab initio y vídeo introductorio de Sebastian Wouters.
Una lista de preimpresiones de DMRG en arXiv

Software relacionado

El kit de herramientas para productos matriciales : un conjunto de herramientas gratuitas bajo licencia GPL para manipular estados de productos matriciales finitos e infinitos, escritas en C++.
Uni10 : una biblioteca que implementa numerosos algoritmos de redes tensoriales (DMRG, TEBD, MERA, PEPS...) en C++.
Powder with Power: una distribución gratuita de código DMRG dependiente del tiempo escrito en Fortran ( Archivado el 4 de diciembre de 2017 en Wayback Machine )
El paquete de software ALPS : una distribución gratuita de códigos Python para simular sistemas correlacionados, que incluye algoritmos de diagonalización exacta , DMRG y Monte Carlo cuántico para diferentes modelos.
DMRG++ : una implementación gratuita de DMRG escrita en C++.
La biblioteca ITensor (Intelligent Tensor): una biblioteca gratuita para realizar cálculos DMRG basados en estados de tensores y productos de matrices escrita en C++ y Julia ^{[ 10 ].}
OpenMPS : una implementación de DMRG de código abierto basada en estados de producto matricial escrita en Python/Fortran2003.
Snake : un programa DMRG, tDMRG y DMRG de temperatura finita de código abierto escrito en C++ ^{[ 11 ]}
CheMPS2 : código DMRG de código abierto (GPL) adaptado al espín para química cuántica ab initio escrito en C++ ^{[ 12 ]}
Block : marco de trabajo DMRG de código abierto para química cuántica y hamiltonianos modelo escrito en C++. Admite simetrías SU(2) y no abelianas generales.
Bloque 2 : Una implementación paralela eficiente de DMRG, DMRG dinámico, tdDMRG y DMRG de temperatura finita para química cuántica y modelos escritos en Python/C++.
TenPy : Una biblioteca de Python eficiente para métodos de estado de producto tensorial creada para simular sistemas cuánticos de muchos cuerpos. ^{[ 13 ]}

Véase también

Referencias

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