Grupo ortogonal

En matemáticas , el grupo ortogonal en dimensión $n$ , denotado $O(n)$ , es el grupo de transformaciones que preservan la distancia en un espacio euclidiano de dimensión $n$ y que conservan un punto fijo (el origen), donde la operación de grupo se da mediante la composición de transformaciones. El grupo ortogonal a veces se denomina grupo ortogonal general , por analogía con el grupo lineal general . De forma equivalente, es el grupo de matrices ortogonales $n \times n$ , donde la operación de grupo se da mediante la multiplicación de matrices (una matriz ortogonal es una matriz real cuya inversa es igual a su transpuesta ). El grupo ortogonal es un grupo algebraico y un grupo de Lie . Es compacto .

El grupo ortogonal en dimensión $n$ tiene dos componentes conexas . La que contiene el elemento identidad es un subgrupo normal , llamado grupo ortogonal especial , y se denota $SO(n)$ . Consiste en todas las matrices ortogonales de determinante 1. Este grupo también se denomina grupo de rotación , generalizando el hecho de que en el espacio n-dimensional sus elementos son las rotaciones usuales alrededor de un punto (en dimensión 2), una línea (en dimensión 3) o, en general, alrededor de un subespacio (n-2)-dimensional. En dimensiones bajas, estos grupos han sido ampliamente estudiados, véase $SO(2)$ , $SO(3)$ y $SO(4)$ . La otra componente consta de todas las matrices ortogonales de determinante −1. Esta componente no forma un grupo, ya que el producto de cualesquiera dos de sus elementos tiene determinante 1 y, por lo tanto, no es un elemento de la componente.

Por extensión, para cualquier cuerpo $F$ , una matriz $n \times n$ con entradas en $F$ tales que su inversa es igual a su transpuesta se llama matriz ortogonal sobre $F.$ Las matrices ortogonales $n \times n$ forman un subgrupo, denotado $O(n, F)$ , del grupo lineal general $GL(n, F)$ ; es decir $\operatorname {O} (n,F)=\left\{Q\in \operatorname {GL} (n,F)\mid Q^{\mathsf {T}}Q=QQ^{\mathsf {T}}=I\right\}.$

De forma más general, dada una forma bilineal simétrica no degenerada o una forma cuadrática ^{[ nota 1 ]} en un espacio vectorial sobre un cuerpo , el grupo ortogonal de la forma es el grupo de aplicaciones lineales invertibles que preservan la forma. Los grupos ortogonales anteriores son el caso especial en el que, sobre alguna base, la forma bilineal es el producto escalar , o, equivalentemente, la forma cuadrática es la suma del cuadrado de las coordenadas.

Todos los grupos ortogonales son grupos algebraicos , ya que la condición de preservar una forma puede expresarse como una igualdad de matrices.

Nombre

El nombre de "grupo ortogonal" proviene de la siguiente caracterización de sus elementos. Dado un espacio vectorial euclidiano $E$ de dimensión $n$ , los elementos del grupo ortogonal $O(n)$ son, salvo una escala uniforme ( homotecia ), las aplicaciones lineales de $E$ a $E$ que transforman vectores ortogonales en vectores ortogonales.

En geometría euclidiana

La ortogonal $\operatorname {O} (n)$ es el subgrupo del grupo lineal general $\operatorname {GL} (n,\mathbb {R} )$ , que consiste en todos los endomorfismos que preservan la norma euclidiana ; es decir, endomorfismos $g$ de tal manera que $\|g(x)\|=\|x\|.$

Dejar $\operatorname {E} (n)$ sea el grupo de las isometrías euclidianas de un espacio euclidiano $S$ de dimensión $n$ Este grupo no depende de la elección de un espacio particular, ya que todos los espacios euclidianos de la misma dimensión son isomorfos . El subgrupo estabilizador de un punto $x\in S$ es el subgrupo de los elementos $g\in \operatorname {E} (n)$ de tal manera que $g(x)=x$ Este estabilizador es (o, más exactamente, es isomorfo a) $\operatorname {O} (n)$ , puesto que la elección de un punto como origen induce un isomorfismo entre el espacio euclidiano y su espacio vectorial euclidiano asociado.

Existe un homomorfismo de grupo natural $p$ de $\operatorname {E} (n)$ a $\operatorname {O} (n)$ , que se define por

p(g)(y-x)=g(y)-g(x),

donde, como es habitual, la resta de dos puntos denota el vector de traslación que mapea el segundo punto al primero. Este es un homomorfismo bien definido, ya que una verificación directa muestra que, si dos pares de puntos tienen la misma diferencia, lo mismo ocurre con sus imágenes por $g$ (Para más detalles, véase Espacio afín § Sustracción y axiomas de Weyl ).

El núcleo de $p$ es el espacio vectorial de las traslaciones. Por lo tanto, las traslaciones forman un subgrupo normal de $\operatorname {E} (n)$ , los estabilizadores de dos puntos son conjugados bajo la acción de las traslaciones, y todos los estabilizadores son isomorfos a $\operatorname {O} (n)$ .

Además, el grupo euclidiano es un producto semidirecto de $\operatorname {O} (n)$ y el grupo de traducciones. De ello se deduce que el estudio del grupo euclidiano se reduce esencialmente al estudio de $\operatorname {O} (n)$ .

grupo ortogonal especial

Al elegir una base ortonormal de un espacio vectorial euclidiano, el grupo ortogonal puede identificarse con el grupo (bajo la multiplicación de matrices) de matrices ortogonales , que son las matrices tales que

QQ^{\mathsf {T}}=I.

De esta ecuación se deduce que el cuadrado del determinante de $Q$ es igual $a 1$ , y por lo tanto el determinante de $Q$ es $1$ o $-1$ . Las matrices ortogonales con determinante $1$ forman un subgrupo llamado grupo ortogonal especial , denotado $SO(n)$ , que consta de todas las isometrías directas de $O(n)$ , que son aquellas que preservan la orientación del espacio.

$SO(n)$ es un subgrupo normal de $O(n)$ , ya que es el núcleo del determinante, que es un homomorfismo de grupos cuya imagen es el grupo multiplicativo ${-1, +1} . Esto implica que el grupo ortogonal es un$ producto semidirecto interno de $SO(n)$ y cualquier subgrupo formado con la identidad y una reflexión .

El grupo con dos elementos ${\pm I}$ (donde $I$ es la matriz identidad) es un subgrupo normal e incluso un subgrupo característico de $O(n)$ , y, si $n$ es par, también de $SO(n)$ . Si $n$ es impar, $O(n)$ es el producto directo interno de $SO(n)$ y ${\pm I}$ .

El grupo $SO(2)$ es abeliano (mientras que $SO(n)$ no lo es cuando $n > 2$ ). Sus subgrupos finitos son el grupo cíclico $C k$ de rotaciones $k$ -ésimas , para cada entero positivo $k$ . Todos estos grupos son subgrupos normales de $O(2)$ y $SO(2)$ .

Forma canónica

Para cualquier elemento de $O(n)$ existe una base ortogonal, cuya matriz tiene la forma ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}

{\begin{bmatrix}{\begin{matrix}R_{1}&&\\&\ddots &\\&&R_{k}\end{matrix}}&0\\0&{\begin{matrix}\pm 1&&\\&\ddots &\\&&\pm 1\end{matrix}}\\\end{bmatrix}},

donde puede haber cualquier número, incluido cero, de ±1; y donde las matrices $R 1, ..., R k$ son matrices de rotación de 2x2, es decir, matrices de la forma

{\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix}},

con $a 2 + b 2 = 1$ .

Esto resulta del teorema espectral al reagrupar los autovalores que son complejos conjugados y teniendo en cuenta que los valores absolutos de los autovalores de una matriz ortogonal son todos iguales a $1$ .

El elemento pertenece a $SO(n)$ si y solo si hay un número par de $-1$ en la diagonal. Un par de autovalores $-1$ se puede identificar con una rotación de $π$ y un par de autovalores $+1$ se puede identificar con una rotación de $0$ .

El caso especial de $n = 3$ se conoce como el teorema de rotación de Euler , que afirma que cada elemento (distinto de la identidad) de $SO(3)$ es una rotación alrededor de un par eje-ángulo único.

Reflexiones

Las reflexiones son los elementos de $O(n)$ cuya forma canónica es

{\begin{bmatrix}-1&0\\0&I\end{bmatrix}},

donde $I$ es la matriz identidad $(n - 1) \times (n - 1)$ , y los ceros denotan matrices de ceros de fila o columna. En otras palabras, una reflexión es una transformación que transforma el espacio en su imagen especular con respecto a un hiperplano .

En la segunda dimensión, toda rotación puede descomponerse en un producto de dos reflexiones . Más precisamente, una rotación de ángulo $θ$ es el producto de dos reflexiones cuyos ejes forman un ángulo de $θ / 2$ .

Un producto de hasta $n$ reflexiones elementales siempre es suficiente para generar cualquier elemento de $O(n)$ . Esto se deduce inmediatamente de la forma canónica anterior y del caso de dimensión dos.

El teorema de Cartan-Dieudonné es la generalización de este resultado al grupo ortogonal de una forma cuadrática no degenerada sobre un cuerpo de característica diferente de dos.

La reflexión a través del origen (el mapa $v \mapsto - v$ ) es un ejemplo de un elemento de $O(n)$ que no es un producto de menos de $n$ reflexiones.

Grupo de simetría de las esferas

El grupo ortogonal $O(n)$ es el grupo de simetría de la $(n - 1)$ -esfera (para $n = 3$ , esto es simplemente la esfera ) y todos los objetos con simetría esférica, si el origen se elige en el centro.

El grupo de simetría de un círculo es $O(2)$ . El subgrupo que preserva la orientación $SO(2)$ es isomorfo (como grupo de Lie real ) al grupo del círculo , también conocido como $U (1)$ , el grupo multiplicativo de los números complejos de valor absoluto igual a uno. Este isomorfismo envía el número complejo $exp(φi) = cos(φ) + i sin(φ)$ de valor absoluto $1$ a la matriz ortogonal especial $.$

{\begin{bmatrix}\cos(\varphi )&-\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&\cos(\varphi )\end{bmatrix}}.

En dimensiones superiores, $O(n)$ tiene una estructura más compleja (en particular, $SO(n)$ ya no es conmutativo). Las estructuras topológicas de la $n-$ esfera y $O(n)$ están fuertemente correlacionadas, y esta correlación se utiliza ampliamente para estudiar ambos espacios topológicos .

Estructura del grupo

Los grupos $O(n)$ y $SO(n) son$ grupos de Lie compactos reales de dimensión $n$ $($ $n$ $- 1) / 2$ . El grupo $O($ $n$ $)$ tiene dos componentes conexas , siendo $SO($ $n$ $)$ la componente identidad , es decir, la componente conexa que contiene la matriz identidad .

Como grupos algebraicos

El grupo ortogonal $O(n)$ se puede identificar con el grupo de matrices $A$ tales que $A T A = I.$ Dado que ambos miembros de esta ecuación son matrices simétricas , esto proporciona $n (n +1)/2$ ecuaciones que deben satisfacer las entradas de una matriz ortogonal, y que no son satisfechas todas por las entradas de cualquier matriz no ortogonal.

Esto prueba que $O(n)$ es un conjunto algebraico . Además, se puede probar que su dimensión es

{\frac {n(n-1)}{2}}=n^{2}-{\frac {n(n+1)}{2}},

lo que implica que $O(n)$ es una intersección completa . Esto implica que todos sus componentes irreducibles tienen la misma dimensión y que no tiene ningún componente incrustado . De hecho, $O(n)$ tiene dos componentes irreducibles, que se distinguen por el signo del determinante (es decir, $det(A) = 1$ o $det(A) = -1$ ). Ambas son variedades algebraicas no singulares de la misma dimensión $n (n - 1)/2$ . El componente con $det(A) = 1$ es $SO(n)$ .

toros máximos y grupos de Weyl

Un toro maximal en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo maximal entre aquellos que son isomorfos a $T k$ para algún $k$ , donde $T = SO(2)$ es el toro unidimensional estándar. ^{[ 3 ]}

En $O(2 n)$ y $SO(2 n)$ , para cada toro maximal, existe una base sobre la cual el toro consta de matrices diagonales por bloques de la forma

{\begin{bmatrix}R_{1}&&0\\&\ddots &\\0&&R_{n}\end{bmatrix}},

donde cada $R j$ pertenece a $SO(2)$ . En $O(2 n + 1)$ y $SO(2 n + 1)$ , los toros máximos tienen la misma forma, bordeados por una fila y una columna de ceros, y $1$ en la diagonal.

El grupo de Weyl de $SO(2 n + 1)$ es el producto semidirecto $\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ de un subgrupo abeliano elemental normal 2 y un grupo simétrico , donde el elemento no trivial de cada factor ${\pm1} de$ ${\pm1} n$ actúa sobre el factor circular correspondiente de $T \times {1$ } por inversión , y el grupo simétrico $S n$ actúa sobre ${\pm1} n$ y $T \times {1$ } por permutación de factores. Los elementos del grupo de Weyl están representados por matrices en $O(2 n) \times {\pm1}$ . El factor $S n$ está representado por matrices de permutación de bloques con bloques de 2x2 y un $1$ final en la diagonal. El componente ${\pm1} n$ está representado por matrices diagonales de bloques con bloques de 2x2 o

{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}},

con el último componente $\pm1$ elegido para hacer el determinante $1$ .

El grupo de Weyl de $SO(2 n)$ es el subgrupo $H_{n-1}\rtimes S_{n}<\{\pm 1\}^{n}\rtimes S_{n}$ de la de $SO(2 n + 1)$ , donde $H n -1 < {\pm1} n$ es el núcleo del homomorfismo producto ${\pm1} n \to {\pm1}$ dado por $\left(\varepsilon _{1},\ldots ,\varepsilon _{n}\right)\mapsto \varepsilon _{1}\cdots \varepsilon _{n}$ ; es decir, $H n -1 < {\pm1} n$ es el subgrupo con un número par de signos menos. El grupo de Weyl de $SO(2 n)$ está representado en $SO(2 n)$ por las preimágenes bajo la inyección estándar $SO(2 n) \to SO(2 n + 1)$ de los representantes para el grupo de Weyl de $SO(2 n + 1)$ . Aquellas matrices con un número impar de ${\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ $Los bloques no tienen ninguna coordenada final -1$ restante para hacer que sus determinantes sean positivos y, por lo tanto, no pueden representarse en $SO(2 n)$ .

Topología

Topología de baja dimensión

Los grupos ortogonales (reales) de baja dimensión son espacios familiares :

$O(1) = S 0$ , un espacio discreto de dos puntos , que consiste en el mapa identidad y el mapa de reflexión en la línea.
$SO(1) = {1}$ , ya que solo la identidad tiene determinante 1.
$SO(2)$ es $S 1$ , como se explica en la sección "Grupo de simetría de esferas" anterior.
$SO(3)$ tiene la estructura del espacio proyectivo real , $R P 3$ .^{[ 4 ]}
$SO(4)$ está doblemente cubierto por $Spin(4) = SU (2) \times SU(2) = S 3 \times S 3$ , como se explica a continuación.

Grupo fundamental

En términos de topología algebraica , para $n > 2$ el grupo fundamental de $SO(n)$ es cíclico de orden 2 , ^{[ 5 ]} y el grupo de espín $Spin(n)$ es su recubrimiento universal . Para $n = 2$ el grupo fundamental es cíclico infinito y el recubrimiento universal corresponde a la recta real (el grupo $Spin(2)$ es el único recubrimiento doble conexo ).

Grupos homotópicos

En general, los grupos de homotopía $π k (O)$ del grupo ortogonal real están relacionados con los grupos de homotopía de las esferas y, por lo tanto, son difíciles de calcular. Sin embargo, se pueden calcular los grupos de homotopía del grupo ortogonal estable (también conocido como grupo ortogonal infinito), definido como el límite directo de la secuencia de inclusiones:

\operatorname {O} (0)\subset \operatorname {O} (1)\subset \operatorname {O} (2)\subset \cdots \subset O=\bigcup _{k=0}^{\infty }\operatorname {O} (k)

Dado que todas las inclusiones son cerradas, es decir, cofibraciones , esto también puede interpretarse como una unión. Por otro lado, $S n$ es un espacio homogéneo para $O(n + 1)$ , y se tiene el siguiente fibrado :

\operatorname {O} (n)\to \operatorname {O} (n+1)\to S^{n},

lo que puede entenderse como "El grupo ortogonal $O(n + 1)$ actúa transitivamente sobre la esfera unitaria $S n$ , y el estabilizador de un punto (pensado como un vector unitario ) es el grupo ortogonal del complemento perpendicular , que es un grupo ortogonal una dimensión menor." Por lo tanto, la inclusión natural $O(n) \to O(n + 1)$ es $(n - 1)$ -conexa , por lo que los grupos de homotopía se estabilizan, y $π k (O(n + 1)) = π k (O(n))$ para $n > k + 1$ : por lo tanto, los grupos de homotopía del espacio estable son iguales a los grupos de homotopía inferiores de los espacios inestables.

De la periodicidad de Bott obtenemos $Ω 8 O ≃ O$ , por lo tanto, los grupos de homotopía de $O$ son 8 veces periódicos, lo que significa $π k + 8 (O) = π k (O)$ , y por lo tanto, solo es necesario enumerar los primeros 8 grupos de homotopía:

{\begin{aligned}\pi _{0}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{1}(O)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(O)&=0\\\pi _{3}(O)&=\mathbf {Z} \\\pi _{4}(O)&=0\\\pi _{5}(O)&=0\\\pi _{6}(O)&=0\\\pi _{7}(O)&=\mathbf {Z} \end{aligned}}

Relación con la teoría KO

Mediante la construcción de agarre , los grupos de homotopía del espacio estable $O$ se identifican con haces vectoriales estables en esferas ( salvo isomorfismo ), con un cambio de dimensión de 1: $π k (O) = π k + 1 (BO)$ . Haciendo $KO = BO \times Z = Ω -1 O \times Z$ (para que $π 0$ encaje en la periodicidad), se obtiene:

{\begin{aligned}\pi _{0}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{1}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{2}(KO)&=\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \\\pi _{3}(KO)&=0\\\pi _{4}(KO)&=\mathbf {Z} \\\pi _{5}(KO)&=0\\\pi _{6}(KO)&=0\\\pi _{7}(KO)&=0\end{aligned}}

Cálculo e interpretación de grupos homotópicos

Grupos de baja dimensionalidad

Los primeros grupos de homotopía se pueden calcular utilizando las descripciones concretas de grupos de baja dimensión.

$π 0 (O) = π 0 (O(1)) = Z / 2 Z$ , de orientación que conserva/invierte (esta clase sobrevive a $O(2)$ y por lo tanto es estable)
$π 1 (O) = π 1 (SO(3)) = Z / 2 Z$ , que es el espín que proviene de $SO(3) = R P 3 = S 3 / (Z / 2 Z)$ .
$π 2 (O) = π 2 (SO(3)) = 0$ , que se superpone a $π 2 (SO(4))$ ; este último desaparece así.

Grupos mentirosos

De los hechos generales sobre los grupos de Lie , $π 2 (G)$ siempre se anula, y $π 3 (G)$ es libre ( abeliano libre ).

paquetes de vectores

$π 0 (K O)$ es un fibrado vectorial sobre $S 0$ , que consta de dos puntos. Por lo tanto, sobre cada punto, el fibrado es trivial, y la no trivialidad del fibrado es la diferencia entre las dimensiones de los espacios vectoriales sobre los dos puntos, por lo que $π 0 (K O) = Z$ es la dimensión .

Espacios de bucle

Utilizando descripciones concretas de los espacios de bucles en la periodicidad de Bott , se pueden interpretar las homotopías superiores de $O$ en términos de homotopías más sencillas de analizar de orden inferior. Usando π ₀ , $O$ y $O /U$ tienen dos componentes, $K O = B O \times Z$ y $K Sp = B Sp \times Z$ tienen una cantidad numerable de componentes, y el resto están conectados.

Interpretación de grupos homotópicos

En resumen: ^{[ 6 ]}

$π 0 (K O) = Z$ es aproximadamente dimensión
$π 1 (K O) = Z / 2 Z$ se refiere a la orientación
$π 2 (K O) = Z / 2 Z$ se refiere al espín
$π 4 (K O) = Z$ trata sobre la teoría cuántica de campos topológica .

Sea $R$ cualquiera de las cuatro álgebras de división $R$ , $C$ , $H$ , $O$ , y sea $L R$ el fibrado lineal tautológico sobre la recta proyectiva $R P 1$ , y $[L R]$ su clase en la teoría K. Observando que $R P 1 = S 1$ , $C P 1 = S 2$ , $H P 1 = S 4$ , $O P 1 = S 8$ , estos producen fibrados vectoriales sobre las esferas correspondientes, y

$π 1 (K O)$ se genera mediante $[L R]$
$π 2 (K O)$ se genera mediante $[L C]$
$π 4 (K O)$ se genera mediante $[L H]$
$π 8 (K O)$ se genera por $[L O]$

Desde el punto de vista de la geometría simpléctica , $π 0 (K O) ≅ π 8 (K O) = Z$ puede interpretarse como el índice de Maslov , pensando en él como el grupo fundamental $π 1 (U/O)$ del Grassmanniano lagrangiano estable como $U/O ≅ Ω 7 (K O)$ , por lo que $π 1 (U/O) = π 1+7 (K O)$ .

Torre Whitehead

El grupo ortogonal sirve de anclaje a una torre de Whitehead :

\cdots \rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n)

que se obtiene eliminando sucesivamente (matando) grupos de homotopía de orden creciente. Esto se hace construyendo secuencias exactas cortas comenzando con un espacio de Eilenberg-MacLane para el grupo de homotopía que se va a eliminar. Las primeras entradas en la torre son el grupo de espín y el grupo de cuerdas , y están precedidas por el grupo de cincobranas . Los grupos de homotopía que se matan son a su vez $π$ ₀ ( O ) para obtener SO de O , $π$ ₁ ( O ) para obtener Espín de SO , $π$ ₃ ( O ) para obtener Cuerda de Espín , y luego $π$ ₇ ( O ) y así sucesivamente para obtener las branas de orden superior .

De forma cuadrática indefinida sobre los números reales

Sobre los números reales, las formas cuadráticas no degeneradas se clasifican según la ley de inercia de Sylvester , que afirma que, en un espacio vectorial de dimensión $n$ , dicha forma puede escribirse como la diferencia de una suma de $p$ cuadrados y una suma de $q$ cuadrados, con $p + q = n$ . En otras palabras, existe una base sobre la cual la matriz de la forma cuadrática es una matriz diagonal , con $p$ entradas iguales a $1$ y $q$ entradas iguales a $-1$ . El par $(p, q)$ , llamado inercia , es un invariante de la forma cuadrática, en el sentido de que no depende de la forma de calcular la matriz diagonal.

El grupo ortogonal de una forma cuadrática depende únicamente de la inercia y, por lo tanto, se denota generalmente como $O(p, q)$ . Además, como una forma cuadrática y su opuesta tienen el mismo grupo ortogonal, se tiene $O(p, q) = O(q, p)$ .

El grupo ortogonal estándar es $O(n) = O(n, 0) = O(0, n)$ . Por lo tanto, en el resto de esta sección, se supone que ni $p$ ni $q$ son cero.

El subgrupo de las matrices de determinante 1 en $O(p, q)$ se denota $SO(p, q)$ . El grupo $O(p, q)$ tiene cuatro componentes conexas, dependiendo de si un elemento conserva la orientación en alguno de los dos subespacios máximos donde la forma cuadrática es definida positiva o definida negativa. La componente de la identidad, cuyos elementos conservan la orientación en ambos subespacios, se denota $SO + (p, q)$ .

El grupo $O(3, 1)$ es el grupo de Lorentz fundamental en la teoría de la relatividad . Aquí, el $3$ corresponde a las coordenadas espaciales y $el 1$ a la coordenada temporal.

De formas cuadráticas complejas

Sobre el cuerpo $C$ de los números complejos , toda forma cuadrática no degenerada en $n$ variables es equivalente a $x 12 + ... + x n 2$ . Por lo tanto, salvo isomorfismo, existe un único espacio cuadrático complejo no degenerado de dimensión $n$ y un único grupo ortogonal asociado, usualmente denotado $O(n, C)$ . Se trata del grupo de matrices ortogonales complejas , matrices complejas cuyo producto con su transpuesta es la matriz identidad.

Como en el caso real, $O(n, C)$ tiene dos componentes conexas. La componente de la identidad consta de todas las matrices de determinante $1$ en $O(n, C)$ ; se denota $SO(n, C)$ .

Los grupos $O(n, C)$ y $SO(n, C)$ son grupos de Lie complejos de dimensión $n (n - 1) / 2$ sobre $C$ (la dimensión sobre $R$ es el doble). Para $n \geq 2$ , estos grupos no son compactos. Como en el caso real, $SO(n, C)$ no es simplemente conexo: Para $n > 2$ , el grupo fundamental de $SO(n, C)$ es cíclico de orden 2 , mientras que el grupo fundamental de $SO(2, C)$ es $Z$ .

Sobre campos finitos

Característica diferente de dos

Sobre un cuerpo de característica distinta de dos, dos formas cuadráticas son equivalentes si sus matrices son congruentes , es decir, si un cambio de base transforma la matriz de la primera forma en la matriz de la segunda. Dos formas cuadráticas equivalentes tienen claramente el mismo grupo ortogonal.

Las formas cuadráticas no degeneradas sobre un cuerpo finito de característica distinta de dos se clasifican completamente en clases de congruencia, y de esta clasificación se deduce que solo hay un grupo ortogonal en dimensión impar y dos en dimensión par.

Más precisamente, el teorema de descomposición de Witt afirma que (en característica distinta de dos) todo espacio vectorial equipado con una forma cuadrática no degenerada $Q$ puede descomponerse como una suma directa de subespacios ortogonales por pares.

V=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{m}\oplus W,

donde cada $L i$ es un plano hiperbólico (es decir, existe una base tal que la matriz de la restricción de $Q$ a $L i$ tiene la forma $\textstyle {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ ), y la restricción de $Q$ a $W$ es anisotrópica (es decir, $Q (w) \neq 0$ para todo $w$ distinto de cero en $W$ ).

El teorema de Chevalley-Warning afirma que, sobre un cuerpo finito , la dimensión de $W$ es como máximo dos.

Si la dimensión de $V$ es impar, la dimensión de $W$ es igual a uno, y su matriz es congruente con $\textstyle {\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}}$ o para $\textstyle {\begin{bmatrix}\varphi \end{bmatrix}},$ donde $𝜑$ es un escalar no cuadrado. Resulta que solo hay un grupo ortogonal que se denota como $O(2 n + 1, q)$ , donde $q$ es el número de elementos del cuerpo finito (una potencia de un primo impar). ^{[ 7 ]}

Si la dimensión de $W$ es dos y $-1$ no es un cuadrado en el campo base (es decir, si su número de elementos $q$ es congruente con 3 módulo 4), la matriz de la restricción de $Q$ a $W$ es congruente con $I$ o $- I$ , donde $I$ es la matriz identidad de 2×2. Si la dimensión de $W$ es dos y $-1$ es un cuadrado en el campo base (es decir, si $q$ es congruente con 1, módulo 4), la matriz de la restricción de $Q$ a $W$ es congruente con $\textstyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&\varphi \end{bmatrix}},$ $φ$ es cualquier escalar no cuadrado.

Esto implica que si la dimensión de $V$ es par, solo hay dos grupos ortogonales, dependiendo de si la dimensión de $W$ es cero o dos. Se denotan respectivamente $O + (2 n, q)$ y $O - (2 n, q)$ . ^{[ 7 ]}

El grupo ortogonal $O ε (2, q)$ es un grupo diedral de orden $2(q - ε)$ , donde $ε = \pm$ .

Prueba

Para estudiar el grupo ortogonal de $O ε (2, q)$ , se puede suponer que la matriz de la forma cuadrática es $Q={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\omega \end{bmatrix}},$ porque, dada una forma cuadrática, existe una base donde su matriz es diagonalizable. Una matriz $A={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}$ pertenece al grupo ortogonal si $AQA T = Q$ , es decir, $a 2 - ωb 2 = 1$ , $ac - ωbd = 0$ , y $c 2 - ωd 2 = - ω$ . Como $a$ y $b$ no pueden ser ambos cero (debido a la primera ecuación), la segunda ecuación implica la existencia de $ε$ en $F q$ , tal que $c = εωb$ y $d = εa$ . Reportando estos valores en la tercera ecuación, y usando la primera ecuación, se obtiene que $ε 2 = 1$ , y por lo tanto el grupo ortogonal consta de las matrices

{\begin{bmatrix}a&b\\\varepsilon \omega b&\varepsilon a\end{bmatrix}},

donde $a 2 - ωb 2 = 1$ y $ε = \pm1$ . Además, el determinante de la matriz es $ε$ .

Para estudiar más a fondo el grupo ortogonal, es conveniente introducir una raíz cuadrada $α$ de $ω$ . Esta raíz cuadrada pertenece a $F q$ si el grupo ortogonal es $O + (2, q)$ , y a $F q 2$ en caso contrario. Haciendo $x = a + αb$ , e $y = a - αb$ , se tiene

xy=1,\qquad a={\frac {x+y}{2}}\qquad b={\frac {x-y}{2\alpha }}.

Si $A_{1}={\begin{bmatrix}a_{1}&b_{1}\\\omega b_{1}&a_{1}\end{bmatrix}}$ y $A_{2}={\begin{bmatrix}a_{2}&b_{2}\\\omega b_{2}&a_{2}\end{bmatrix}}$ son dos matrices de determinante uno en el grupo ortogonal entonces

A_{1}A_{2}={\begin{bmatrix}a_{1}a_{2}+\omega b_{1}b_{2}&a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2}\\\omega b_{1}a_{2}+\omega a_{1}b_{2}&\omega b_{1}b_{2}+a_{1}a_{1}\end{bmatrix}}.

Esta es una matriz ortogonal ${\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},$ con $a = a 1 a 2 + ωb 1 b 2$ , y $b = a 1 b 2 + b 1 a 2$ . Por lo tanto

a+\alpha b=(a_{1}+\alpha b_{1})(a_{2}+\alpha b_{2}).

De ello se deduce que la aplicación $(a, b) \mapsto a + αb$ es un homomorfismo del grupo de matrices ortogonales de determinante uno en el grupo multiplicativo de $F q 2$ .

En el caso de $O + (2 n, q)$ , la imagen es el grupo multiplicativo de $F q$ , que es un grupo cíclico de orden $q$ .

En el caso de $O - (2 n, q) , los$ $x$ $e$ y anteriores son conjugados y, por lo tanto, son la imagen uno del otro por el automorfismo de Frobenius . Esto significaba que $y=x^{-1}=x^{q},$ y por lo tanto $x q +1 = 1$ . Para cada $x$ de este tipo se puede reconstruir una matriz ortogonal correspondiente. De ello se deduce que el mapa $(a,b)\mapsto a+\alpha b$ es un isomorfismo de grupo de las matrices ortogonales de determinante 1 al grupo de las $(q + 1)$ - raíces de la unidad . Este grupo es un grupo cíclico de orden $q + 1$ que consta de las potencias de $g q -1$ , donde $g$ es un elemento primitivo de $F q 2$ ,

Para finalizar la demostración, basta con verificar que el grupo de todas las matrices ortogonales no es abeliano y es el producto semidirecto del grupo ${1, -1}$ y el grupo de matrices ortogonales de determinante uno.

La comparación de esta demostración con el caso real puede resultar esclarecedora.

Aquí intervienen dos isomorfismos de grupo:

{\begin{aligned}\mathbf {Z} /(q+1)\mathbf {Z} &\to T\\k&\mapsto g^{(q-1)k},\end{aligned}}

donde $g$ es un elemento primitivo de $F q 2$ y $T$ es el grupo multiplicativo del elemento de norma uno en $F q 2$ ;

{\begin{aligned}\mathbf {T} &\to \operatorname {SO} ^{+}(2,\mathbf {F} _{q})\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}a&b\\\omega b&a\end{bmatrix}},\end{aligned}}

con $a={\frac {x+x^{-1}}{2}}$ y $b={\frac {x-x^{-1}}{2\alpha }}.$

En el caso real, los isomorfismos correspondientes son:

{\begin{aligned}\mathbf {R} /2\pi \mathbf {R} &\to C\\\theta &\mapsto e^{i\theta },\end{aligned}}

donde $C$ es el círculo de los números complejos de norma uno;

{\begin{aligned}\mathbf {C} &\to \operatorname {SO} (2,\mathbf {R} )\\x&\mapsto {\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}},\end{aligned}}

con $\cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}$ y $\sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}.$

Cuando la característica no es dos, el orden de los grupos ortogonales es ^{[ 8 ].}

\left|\operatorname {O} (2n+1,q)\right|=2q^{n^{2}}\prod _{i=1}^{n}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{+}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}-1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right),

\left|\operatorname {O} ^{-}(2n,q)\right|=2q^{n(n-1)}\left(q^{n}+1\right)\prod _{i=1}^{n-1}\left(q^{2i}-1\right).

En la característica dos, las fórmulas son las mismas, excepto que se debe eliminar el factor $2$ de $| O(2 n + 1, q) | .$

invariante de Dickson

Para grupos ortogonales, el invariante de Dickson es un homomorfismo del grupo ortogonal al grupo cociente $Z / 2 Z$ (enteros módulo 2), que toma el valor $0$ si el elemento es el producto de un número par de reflexiones, y el valor 1 en caso contrario. ^{[ 9 ]}

Algebraicamente, el invariante de Dickson se define como $D (f) = rango(I - f) módulo 2$ , donde $I$ es la identidad ( Taylor 1992 , Teorema 11.43) . Sobre cuerpos que no son de característica 2, es equivalente al determinante: el determinante es $-1$ elevado al invariante de Dickson. Sobre cuerpos de característica 2, el determinante siempre es 1, por lo que el invariante de Dickson proporciona más información que el determinante.

El grupo ortogonal especial es el núcleo del invariante de Dickson ^{[ 9 ]} y suele tener índice 2 en $O(n, F)$ . ^{[ 10 ]} Cuando la característica de $F$ no es 2, el invariante de Dickson es $0$ siempre que el determinante sea $1.$ Por lo tanto, cuando la característica no es 2, $SO(n, F)$ se define comúnmente como los elementos de $O(n, F)$ con determinante $1.$ Cada elemento en $O(n, F)$ tiene determinante $\pm1$ . Por lo tanto, en característica 2, el determinante siempre es $1$ .

El invariante de Dickson también se puede definir de forma similar para los grupos de Clifford y los grupos de pines (en todas las dimensiones).

Grupos ortogonales de característica 2

En campos de característica 2, los grupos ortogonales suelen presentar comportamientos especiales, algunos de los cuales se enumeran en esta sección. (Anteriormente, estos grupos se conocían como grupos hipoabelianos , pero este término ya no se utiliza).

Cualquier grupo ortogonal sobre cualquier cuerpo se genera mediante reflexiones, excepto en un ejemplo único donde el espacio vectorial es de 4 dimensiones sobre el cuerpo con 2 elementos y el índice de Witt es 2. ^{[ 11 ]} Una reflexión en característica dos tiene una definición ligeramente diferente. En característica dos, la reflexión ortogonal a un vector $u$ transforma un vector $v$ en $v + B (v, u)/ Q (u) \cdot u$ donde $B$ es la forma bilineal y $Q$ es la forma cuadrática asociada a la geometría ortogonal. Compárese esto con la reflexión de Householder de característica impar o característica cero, que transforma $v$ en $v - 2\cdot B (v, u)/ Q (u) \cdot u$ .
El centro del grupo ortogonal suele tener orden 1 en característica 2, en lugar de 2, puesto que $I = - I$ .
En dimensiones impares $2 n + 1$ en característica 2, los grupos ortogonales sobre cuerpos perfectos son iguales a los grupos simplécticos en dimensión $2 n$ . De hecho, la forma simétrica es alternante en característica 2, y como la dimensión es impar, debe tener un núcleo de dimensión 1, y el cociente por este núcleo es un espacio simpléctico de dimensión $2 n$ , sobre el cual actúa el grupo ortogonal.
En dimensiones pares en característica 2, el grupo ortogonal es un subgrupo del grupo simpléctico, porque la forma bilineal simétrica de la forma cuadrática es también una forma alternada.

La norma espinorial

La norma espinorial es un homomorfismo de un grupo ortogonal sobre un cuerpo $F$ al grupo cociente $F \times / (F \times) 2$ de clases cuadradas (el grupo multiplicativo del cuerpo $F$ salvo multiplicación por elementos cuadrados ), que toma reflexión en un vector de norma $n$ a la imagen de $n$ en $F \times / (F \times) 2$ . ^{[ 12 ]}

Para el grupo ortogonal usual sobre los números reales, es trivial, pero a menudo no lo es sobre otros cuerpos, o para el grupo ortogonal de una forma cuadrática sobre los números reales que no es definida positiva.

Cohomología de Galois y grupos ortogonales

En la teoría de la cohomología de Galois de grupos algebraicos , se introducen algunos puntos de vista adicionales. Tienen valor explicativo, en particular en relación con la teoría de las formas cuadráticas; pero fueron en su mayor parte post hoc , en lo que respecta al descubrimiento del fenómeno. El primer punto es que las formas cuadráticas sobre un cuerpo pueden identificarse como un $H 1$ de Galois , o formas retorcidas ( torsores ) de un grupo ortogonal. Como grupo algebraico, un grupo ortogonal en general no es ni conexo ni simplemente conexo; este último punto introduce los fenómenos de espín, mientras que el primero está relacionado con el determinante .

El nombre «espín» de la norma espinorial se puede explicar por su conexión con el grupo espín (más precisamente, con un grupo pin ). Esto se puede explicar rápidamente mediante la cohomología de Galois (que, sin embargo, es posterior a la introducción del término por el uso más directo de las álgebras de Clifford ). El recubrimiento espín del grupo ortogonal proporciona una secuencia exacta corta de grupos algebraicos .

1\rightarrow \mu _{2}\rightarrow \mathrm {Pin} _{V}\rightarrow \mathrm {O_{V}} \rightarrow 1

Aquí $μ 2$ es el grupo algebraico de raíces cuadradas de 1 ; sobre un cuerpo de característica distinta de 2 es aproximadamente lo mismo que un grupo de dos elementos con acción de Galois trivial. El homomorfismo de conexión de $H 0 (O V)$ , que es simplemente el grupo $O V (F)$ de puntos con valores en $F , a$ $H 1 (μ 2)$ es esencialmente la norma espinorial, porque $H 1 (μ 2)$ es isomorfo al grupo multiplicativo del cuerpo módulo cuadrados.

También existe el homomorfismo de conexión entre $H 1$ del grupo ortogonal y $H 2$ del núcleo del recubrimiento de espín. La cohomología no es abeliana, por lo que hasta aquí podemos llegar, al menos con las definiciones convencionales.

Álgebra de Lie

El álgebra de Lie correspondiente a los grupos de Lie $O(n, F)$ y $SO(n, F)$ consta de las matrices antisimétricas $n \times n$ , con el corchete de Lie $[ , ]$ dado por el conmutador . Un álgebra de Lie corresponde a ambos grupos. A menudo se denota por ${\mathfrak {o}}(n,F)$ o ${\mathfrak {so}}(n,F)$ y se denominan álgebra de Lie ortogonal o álgebra de Lie ortogonal especial . Sobre números reales, estas álgebras de Lie para diferentes $n$ son las formas reales compactas de dos de las cuatro familias de álgebras de Lie semisimples : en dimensión impar $B k$ , donde $n = 2 k + 1$ , mientras que en dimensión par $D r$ , donde $n = 2 r$ .

Dado que el grupo $SO(n)$ no es simplemente conexo, la teoría de representaciones de las álgebras de Lie ortogonales incluye tanto representaciones correspondientes a representaciones ordinarias de los grupos ortogonales como representaciones correspondientes a representaciones proyectivas de los grupos ortogonales. (Las representaciones proyectivas de $SO(n)$ son simplemente representaciones lineales del recubrimiento universal, el grupo de espín Spin( n )). Estas últimas son las llamadas representaciones de espín , que son importantes en física.

De forma más general, dado un espacio vectorial $V$ (sobre un cuerpo con característica distinta de 2) con una forma bilineal simétrica no degenerada $\langle u,v\rangle$ , el álgebra de Lie ortogonal especial consta de endomorfismos sin traza $\varphi$ que son antisimétricas para esta forma ( $\langle \varphi A,B\rangle =-\langle A,\varphi B\rangle$ ). Sobre un cuerpo de característica 2 consideramos en cambio los endomorfismos alternantes. Concretamente podemos igualarlos con los bivectores del álgebra exterior , los tensores antisimétricos de $\wedge ^{2}V$ La correspondencia viene dada por:

v\wedge w\mapsto \langle v,\cdot \rangle w-\langle w,\cdot \rangle v

Esta descripción se aplica igualmente a las álgebras de Lie ortogonales especiales indefinidas. ${\mathfrak {so}}(p,q)$ para formas bilineales simétricas con signatura $(p, q)$ .

En el caso de los números reales, esta caracterización se utiliza para interpretar el rotacional de un campo vectorial (naturalmente un bivector) como una rotación infinitesimal o "rotacional", de ahí su nombre.

Grupos relacionados

Los grupos ortogonales y los grupos ortogonales especiales tienen varios subgrupos, supergrupos, grupos cociente y grupos de recubrimiento importantes. Estos se enumeran a continuación.

Las inclusiones $O(n) \subset U(n) \subset USp(2 n)$ y $USp(n) \subset U(n) \subset O(2 n)$ son parte de una secuencia de 8 inclusiones utilizadas en una demostración geométrica del teorema de periodicidad de Bott , y los espacios cociente correspondientes son espacios simétricos de interés independiente; por ejemplo, $U(n)/O(n)$ es el Grassmanniano lagrangiano .

subgrupos de mentiras

En física, particularmente en las áreas de compactificación de Kaluza-Klein , es importante determinar los subgrupos del grupo ortogonal. Los principales son:

\mathrm {O} (n)\supset \mathrm {O} (n-1)

– preservar un eje

\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {U} (n)\supset \mathrm {SU} (n)

–

U(n)

son aquellos que preservan una estructura compleja compatible o una estructura simpléctica compatible – ver propiedad 2 de 3 ;

SU(n)

también preserva una orientación compleja.

\mathrm {O} (2n)\supset \mathrm {USp} (n)

\mathrm {O} (7)\supset \mathrm {G} _{2}

Supergrupos de mentiras

El grupo ortogonal $O(n)$ es también un subgrupo importante de varios grupos de Lie:

{\begin{aligned}\mathrm {U} (n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {USp} (2n)&\supset \mathrm {O} (n)\\\mathrm {G} _{2}&\supset \mathrm {O} (3)\\\mathrm {F} _{4}&\supset \mathrm {O} (9)\\\mathrm {E} _{6}&\supset \mathrm {O} (10)\\\mathrm {E} _{7}&\supset \mathrm {O} (12)\\\mathrm {E} _{8}&\supset \mathrm {O} (16)\end{aligned}}

Grupo conforme

Al ser isometrías , las transformaciones ortogonales reales conservan los ángulos y, por lo tanto, son transformaciones conformes , aunque no todas las transformaciones lineales conformes son ortogonales. En términos clásicos, esta es la diferencia entre congruencia y semejanza , como se ejemplifica con la congruencia LLL (lado-lado-lado) de triángulos y la semejanza AAA (ángulo-ángulo-ángulo) de triángulos . El grupo de transformaciones lineales conformes de $R n$ se denota $CO(n)$ para el grupo ortogonal conforme y consiste en el producto del grupo ortogonal con el grupo de dilataciones . Si $n$ es impar, estos dos subgrupos no se intersecan y son un producto directo : $CO(2 k + 1) = O(2 k + 1) \times R *$ , donde $R * = R ∖{0$ } es el grupo multiplicativo real , mientras que si $n$ es par, estos subgrupos se intersecan en $\pm1$ , por lo que esto no es un producto directo, pero sí es un producto directo con el subgrupo de dilatación por un escalar positivo: $CO(2 k) = O(2 k) \times R +$ .

De manera similar se puede definir $CSO(n)$ ; esto siempre es: $CSO(n) = CO(n) \cap GL + (n) = SO(n) \times R +$ .

subgrupos discretos

Como el grupo ortogonal es compacto, los subgrupos discretos son equivalentes a los subgrupos finitos. ^{[ nota 2 ]} Estos subgrupos se conocen como grupos puntuales y pueden realizarse como los grupos de simetría de politopos . Una clase muy importante de ejemplos son los grupos de Coxeter finitos , que incluyen los grupos de simetría de politopos regulares .

La dimensión 3 es objeto de especial estudio; véanse los grupos puntuales en tres dimensiones , los grupos poliédricos y la lista de grupos de simetría esférica . En dos dimensiones, los grupos finitos son cíclicos o diedrales; véase los grupos puntuales en dos dimensiones .

Otros subgrupos finitos incluyen:

Matrices de permutación (el grupo de Coxeter $A n$ )
Matrices de permutación con signo (el grupo de Coxeter $B n$ ); también es igual a la intersección del grupo ortogonal con las matrices enteras . ^{[ nota 3 ]}

Grupos de cobertura y cociente

El grupo ortogonal no es ni simplemente conexo ni sin centro , y por lo tanto tiene un grupo de recubrimiento y un grupo cociente , respectivamente:

Dos grupos de recubrimiento Pin , $Pin + (n) \to O(n)$ y $Pin - (n) \to O(n)$ ,
El grupo ortogonal proyectivo cociente , $O(n) \to PO(n)$ .

Todas estas son portadas 2 a 1.

Para el grupo ortogonal especial, los grupos correspondientes son:

Grupo de espín , $Espín(n) \to SO(n)$ ,
Grupo ortogonal especial proyectivo , $SO(n) \to PSO(n)$ .

Spin es una cobertura de 2 a 1, mientras que en dimensión par, $PSO(2 k)$ es una cobertura de 2 a 1, y en dimensión impar $PSO(2 k + 1)$ es una cobertura de 1 a 1; es decir, isomorfo a $SO(2 k + 1)$ . Estos grupos, $Spin(n)$ , $SO(n)$ , y $PSO(n)$ son formas de grupo de Lie del álgebra de Lie ortogonal especial compacta , ${\mathfrak {so}}(n,\mathbf {R} )$ – $Spin$ es la forma simplemente conexa, mientras que $PSO$ es la forma sin centro, y $SO$ en general no es ninguna de las dos. ^{[ nota 4 ]}

En la dimensión 3 y superiores, estos son los recubrimientos y cocientes, mientras que en la dimensión 2 y inferiores se observa cierta degeneración; consulte los artículos específicos para obtener más detalles.

Espacio homogéneo principal: variedad de Stiefel

El espacio homogéneo principal para el grupo ortogonal $O(n)$ es la variedad de Stiefel $V n (R n)$ de bases ortonormales ( $n-$ marcos ortonormales ).

En otras palabras, el espacio de bases ortonormales es como el grupo ortogonal, pero sin la elección de un punto base: dado un espacio ortogonal, no hay una base ortonormal natural, pero una vez que se elige una, existe una correspondencia biunívoca entre las bases y el grupo ortogonal. Concretamente, una aplicación lineal se determina por el punto al que envía una base: así como una aplicación invertible puede transformar cualquier base en cualquier otra, una aplicación ortogonal puede transformar cualquier base ortogonal en cualquier otra .

Las otras variedades de Stiefel $V k (R n)$ para $k < n$ de bases ortonormales incompletas ( $k-$ marcos ortonormales) siguen siendo espacios homogéneos para el grupo ortogonal, pero no espacios homogéneos principales : cualquier $k$ -marco puede transformarse en cualquier otro $k$ -marco mediante una aplicación ortogonal, pero esta aplicación no está determinada de forma única.

Véase también

transformaciones específicas

Grupos específicos

grupo de rotación, $SO(3, R)$
$SO(8)$

Grupos relacionados

Listas de grupos

Teoría de la representación

Notas

↑ Para campos base de característica distinta de 2, la definición en términos de una forma bilineal simétrica es equivalente a la de una forma cuadrática , pero en característica 2 estas nociones difieren.
↑ Los subconjuntos infinitos de un espacio compacto tienen un punto de acumulación y no son discretos.
↑ $O(n) \cap GL (n, Z)$ es igual a las matrices de permutación con signo porque un vector entero de norma 1 debe tener una única entrada distinta de cero, que debe ser $\pm1$ (si tiene dos entradas distintas de cero o una entrada mayor, la norma será mayor que 1), y en una matriz ortogonal estas entradas deben estar en coordenadas diferentes, que es exactamente lo que ocurre con las matrices de permutación con signo.
↑ En dimensión impar, $SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ no tiene centro (pero no es simplemente conexo), mientras que en dimensión par $SO(2 k)$ no es ni sin centro ni simplemente conexo.

Citas

↑ F. Gantmacher, Teoría de matrices , vol. 1, Chelsea, 1959, pág. 285.
↑ Serge Lang, Álgebra lineal , 3.ª ed., Springer, 1987, pág. 230.
↑ Hall 2015 Teorema 11.2
↑ Sala 2015 Sección 1.3.4
↑ Hall 2015 Proposición 13.10
↑ Baez, John . "Semana 105" . Hallazgos de esta semana en física matemática . Consultado el 1 de febrero de 2023 .
1 2 Wilson, Robert A. (2009). Los grupos simples finitos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 251. Londres: Springer. págs. 69–75 . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012 .
↑ ( Taylor 1992 , pág. 141)
1 2 Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlín, etc.: Springer-Verlag , pág. 224, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008
↑ ( Taylor 1992 , página 160)
↑ ( Grove 2002 , Teorema 6.6 y 14.16)
↑ Cassels 1978 , pág. 178

Referencias

Cassels, JWS (1978), Formas cuadráticas racionales , Monografías de la Sociedad Matemática de Londres, vol. 13, Academic Press , ISBN 0-12-163260-1, Zbl 0395.10029
Grove, Larry C. (2002), Grupos clásicos y álgebra geométrica , Estudios de posgrado en matemáticas , vol. 39, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 978-0-8218-2019-3, MR 1859189
Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Taylor, Donald E. (1992), La geometría de los grupos clásicos , Serie Sigma en matemáticas puras, vol. 9, Berlín: Heldermann Verlag, ISBN 3-88538-009-9, MR 1189139 , Zbl 0767.20001

Enlaces externos

"Grupo ortogonal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
John Baez, "Los hallazgos de esta semana en física matemática", semana 105
John Baez sobre Octonion
(en italiano) Parametrización del Grupo Ortogonal Especial n-dimensional

[1] Para campos base de característica distinta de 2, la definición en términos de una forma bilineal simétrica es equivalente a la de una forma cuadrática , pero en característica 2 estas nociones difieren.

[14] Los subconjuntos infinitos de un espacio compacto tienen un punto de acumulación y no son discretos.

[15] $O(n) \cap GL (n, Z)$ es igual a las matrices de permutación con signo porque un vector entero de norma 1 debe tener una única entrada distinta de cero, que debe ser $\pm1$ (si tiene dos entradas distintas de cero o una entrada mayor, la norma será mayor que 1), y en una matriz ortogonal estas entradas deben estar en coordenadas diferentes, que es exactamente lo que ocurre con las matrices de permutación con signo.

[16] En dimensión impar, $SO(2 k + 1) ≅ PSO(2 k + 1)$ no tiene centro (pero no es simplemente conexo), mientras que en dimensión par $SO(2 k)$ no es ni sin centro ni simplemente conexo.

[2] F. Gantmacher, Teoría de matrices , vol. 1, Chelsea, 1959, pág. 285.

[3] Serge Lang, Álgebra lineal , 3.ª ed., Springer, 1987, pág. 230.

[4] Hall 2015 Teorema 11.2

[5] Sala 2015 Sección 1.3.4

[6] Hall 2015 Proposición 13.10

[7] Baez, John . "Semana 105" . Hallazgos de esta semana en física matemática . Consultado el 1 de febrero de 2023 .

[Wil6975-8] 1 2 Wilson, Robert A. (2009). Los grupos simples finitos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 251. Londres: Springer. págs. 69–75 . ISBN 978-1-84800-987-5. Zbl 1203.20012 .

[9] ( Taylor 1992 , pág. 141)

[Knus224-10] 1 2 Knus, Max-Albert (1991), Formas cuadráticas y hermitianas sobre anillos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 294, Berlín, etc.: Springer-Verlag , pág. 224, ISBN 3-540-52117-8, Zbl 0756.11008

[11] ( Taylor 1992 , página 160)

[12] ( Grove 2002 , Teorema 6.6 y 14.16)

[C178-13] Cassels 1978 , pág. 178

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Nombre

En geometría euclidiana

grupo ortogonal especial

Forma canónica

Reflexiones

Grupo de simetría de las esferas

Estructura del grupo

Como grupos algebraicos

toros máximos y grupos de Weyl

Topología

Topología de baja dimensión

Grupo fundamental

Grupos homotópicos

Relación con la teoría KO

Cálculo e interpretación de grupos homotópicos

Grupos de baja dimensionalidad

Grupos mentirosos

paquetes de vectores

Espacios de bucle

Interpretación de grupos homotópicos

Torre Whitehead

De forma cuadrática indefinida sobre los números reales

De formas cuadráticas complejas

Sobre campos finitos

Característica diferente de dos

invariante de Dickson

Grupos ortogonales de característica 2

La norma espinorial

Cohomología de Galois y grupos ortogonales

Álgebra de Lie

Grupos relacionados

subgrupos de mentiras

Supergrupos de mentiras

Grupo conforme

subgrupos discretos

Grupos de cobertura y cociente

Espacio homogéneo principal: variedad de Stiefel

Véase también

transformaciones específicas

Grupos específicos

Grupos relacionados

Listas de grupos

Teoría de la representación

Notas

Citas

Referencias

Enlaces externos

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