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Teorema de Abel-Ruffini

En matemáticas , el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no existe solución en radicales para ecuaciones polinómicas g...

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En matemáticas , el teorema de Abel-Ruffini (también conocido como teorema de imposibilidad de Abel ) establece que no existe solución en radicales para ecuaciones polinómicas generales de grado cinco o superior con coeficientes arbitrarios . Aquí, "general" significa que los coeficientes de la ecuación se consideran y manipulan como indeterminados .

El teorema recibe su nombre de Paolo Ruffini , quien realizó una demostración incompleta en 1799 [ 1 ] (que fue refinada y completada en 1813 [ 2 ] y aceptada por Cauchy ), y de Niels Henrik Abel , quien proporcionó una demostración en 1824. [ 3 ] [ 4 ]

El término también puede referirse al resultado ligeramente más fuerte de que existen ecuaciones de grado cinco o superior que no pueden resolverse mediante radicales. Esto no se deduce del enunciado del teorema de Abel, sino que es un corolario de su demostración, ya que esta se basa en el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes de la ecuación no son el polinomio cero. Este enunciado mejorado se deduce directamente de la teoría de Galois §  Un ejemplo quíntico irresoluble . La teoría de Galois también implica que

incógnita5−incógnita−1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}

es la ecuación más simple que no se puede resolver en radicales, y que casi todos los polinomios de grado cinco o superior no se pueden resolver en radicales.

La imposibilidad de resolver en grado cinco o superior contrasta con el caso de grado inferior: se tiene la fórmula cuadrática , la fórmula cúbica y la fórmula cuártica para grados dos, tres y cuatro, respectivamente.

Contexto

Las ecuaciones polinómicas de segundo grado pueden resolverse con la fórmula cuadrática , conocida desde la antigüedad . De manera similar, la fórmula cúbica para el tercer grado y la fórmula cuártica para el cuarto grado se descubrieron durante el siglo XVI. En aquel entonces, un problema fundamental era si las ecuaciones de mayor grado podían resolverse de forma similar.

El hecho de que toda ecuación polinómica de grado positivo tenga soluciones, posiblemente no reales , se afirmó durante el siglo XVII, pero no se demostró completamente hasta principios del siglo XIX. Este es el teorema fundamental del álgebra , que no proporciona ninguna herramienta para calcular las soluciones, aunque se conocen varios métodos para aproximarlas con la precisión deseada.

Desde el siglo XVI hasta principios del siglo XIX, el principal problema del álgebra fue la búsqueda de una fórmula para las soluciones de ecuaciones polinómicas de quinto grado o superior, de ahí el nombre de "teorema fundamental del álgebra". Esto implicaba una solución en radicales , es decir, una expresión que involucrara únicamente los coeficientes de la ecuación y las operaciones de suma , resta , multiplicación , división y extracción de la raíz enésima .

El teorema de Abel-Ruffini demuestra que esto es imposible. Sin embargo, esta imposibilidad no implica que una ecuación específica de cualquier grado no pueda resolverse en radicales. Por el contrario, existen ecuaciones de cualquier grado que pueden resolverse en radicales. Este es el caso de la ecuaciónincógnitanorte−1=0{\displaystyle x^{n}-1=0}para cualquier n , y las ecuaciones definidas por polinomios ciclotómicos , cuyas soluciones pueden expresarse en radicales.

La demostración del teorema de Abel no contiene explícitamente la afirmación de que existen ecuaciones específicas que no pueden resolverse mediante radicales. Dicha afirmación no es consecuencia del enunciado del teorema de Abel, ya que este no excluye la posibilidad de que "cada ecuación quíntica particular pueda ser soluble, con una fórmula especial para cada ecuación". [ 5 ] Sin embargo, la existencia de ecuaciones específicas que no pueden resolverse mediante radicales parece ser una consecuencia de la demostración de Abel, puesto que esta utiliza el hecho de que algunos polinomios en los coeficientes no son el polinomio cero y, dado un número finito de polinomios, existen valores de las variables en los que ninguno de los polinomios toma el valor cero.

Poco después de la publicación de la demostración de Abel, Évariste Galois introdujo una teoría, ahora llamada teoría de Galois , que permite determinar, para cualquier ecuación dada, si es resoluble en radicales. Esto era puramente teórico antes del auge de las computadoras electrónicas . Con las computadoras y programas modernos, determinar si un polinomio es resoluble en radicales se puede hacer para polinomios de grado mayor que 100. [ 6 ] El cálculo de las soluciones en radicales de polinomios resolubles requiere cálculos enormes. Incluso para el grado cinco, la expresión de las soluciones es tan grande que no tiene interés práctico.

Prueba

La demostración del teorema de Abel-Ruffini es anterior a la teoría de Galois . Sin embargo, la teoría de Galois permite una mejor comprensión del tema, y ​​las demostraciones modernas generalmente se basan en ella, mientras que las demostraciones originales del teorema de Abel-Ruffini se siguen presentando con fines históricos. [ 1 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Las demostraciones basadas en la teoría de Galois comprenden cuatro pasos principales: la caracterización de ecuaciones resolubles en términos de teoría de campos ; el uso de la correspondencia de Galois entre subcampos de un campo dado y los subgrupos de su grupo de Galois para expresar esta caracterización en términos de grupos resolubles ; la demostración de que el grupo simétrico no es resoluble si su grado es cinco o superior; y la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico.

Soluciones algebraicas y teoría de campos

La solución algebraica de una ecuación polinómica es una expresión que involucra las cuatro operaciones aritméticas básicas (suma, resta, multiplicación y división) y la extracción de raíces . Dicha expresión puede considerarse como la descripción de un cálculo que parte de los coeficientes de la ecuación a resolver y procede calculando varios números, uno tras otro.

En cada paso del cálculo, se puede considerar el campo más pequeño que contiene todos los números que se han calculado hasta el momento. Este campo se modifica únicamente en los pasos que implican el cálculo de una raíz enésima .

Así pues, una solución algebraica produce una secuencia

F0⊆F1⊆⋯⊆Fk{\displaystyle F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq \cdots \subseteq F_{k}}

de campos y elementosincógnitai∈Fi{\displaystyle x_{i}\in F_{i}}de tal manera que Fi=Fi−1(incógnitai){\displaystyle F_{i}=F_{i-1}(x_{i})}parai=1,…,k,{\displaystyle i=1,\ldots ,k,}conincógnitainortei∈Fi−1{\displaystyle x_{i}^{n_{i}}\in F_{i-1}}para algún número enteronortei>1.{\displaystyle n_{i}>1.}Existe una solución algebraica de la ecuación polinómica inicial si y solo si existe una secuencia de campos tal queFk{\displaystyle F_{k}}Contiene una solución.

Para tener extensiones normales , que son fundamentales para la teoría, se debe refinar la secuencia de campos de la siguiente manera. SiFi−1{\displaystyle F_{i-1}}no contiene todonortei{\displaystyle n_{i}}raíces -ésimas de la unidad , se introduce el campoKi{\displaystyle K_{i}}que se extiendeFi−1{\displaystyle F_{i-1}}por una raíz primitiva de unidad , y uno redefineFi{\displaystyle F_{i}}comoKi(incógnitai).{\displaystyle K_{i}(x_{i}).}

Así pues, si se parte de una solución en términos de radicales, se obtiene una secuencia creciente de campos tal que el último contiene la solución, y cada uno es una extensión normal del precedente con un grupo de Galois que es cíclico .

Por el contrario, si se dispone de dicha secuencia de campos, la ecuación se puede resolver en términos de radicales. Para demostrarlo, basta con probar que una extensión normal con un grupo de Galois cíclico se puede construir a partir de una sucesión de extensiones radicales .

Correspondencia de Galois

La correspondencia de Galois establece una correspondencia biunívoca entre las subextensiones de una extensión de campo normal.F/mi{\displaystyle F/E}y los subgrupos del grupo de Galois de la extensión. Esta correspondencia mapea un cuerpo K talmi⊆K⊆F{\displaystyle E\subseteq K\subseteq F}al grupo GaloisGalón⁡(F/K){\displaystyle \operatorname {Gal} (F/K)}de los automorfismos de F que dejan K fijo y, a la inversa, mapea un subgrupo H deGalón⁡(F/mi){\displaystyle \operatorname {Gal} (F/E)}al campo de los elementos de F que están fijados por H.

La sección anterior muestra que una ecuación es resoluble en términos de radicales si y solo si el grupo de Galois de su cuerpo de descomposición (el cuerpo más pequeño que contiene todas las raíces) es resoluble , es decir, contiene una sucesión de subgrupos tales que cada uno es normal en el anterior, con un grupo cociente cíclico . (Los grupos resolubles se definen comúnmente con grupos cociente abelianos en lugar de cíclicos, pero el teorema fundamental de los grupos abelianos finitos demuestra que ambas definiciones son equivalentes).

Así pues, para demostrar el teorema de Abel-Ruffini, solo queda demostrar que el grupo simétricoS5{\displaystyle S_{5}}no es resoluble, y existen polinomios con grupos de Galois simétricos.

Grupos simétricos resolubles

Para n ≥ 5 , el grupo simétricoSnorte{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}de grado n tiene solo el grupo alternanteAnorte{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}como un subgrupo normal no trivial (véase Grupo simétrico §  Subgrupos normales ). Para n ≥ 5 , el grupo alternanteAnorte{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}es simple (es decir, no tiene ningún subgrupo normal no trivial) y no abeliano . Esto implica que ambosAnorte{\displaystyle {\mathcal {A}}_{n}}ySnorte{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}no son resolubles para n ≥ 5. Por lo tanto, el teorema de Abel-Ruffini resulta de la existencia de polinomios con un grupo de Galois simétrico; esto se mostrará en la siguiente sección.

Por otro lado, para n ≤ 4 , el grupo simétrico y todos sus subgrupos son resolubles. Esto explica la existencia de las fórmulas cuadrática , cúbica y cuártica , ya que un resultado fundamental de la teoría de Galois establece que una ecuación polinómica tiene solución en radicales si y solo si su grupo de Galois es resoluble (el término "grupo resoluble" tiene su origen en este teorema).

Polinomios con grupos de Galois simétricos

Ecuación general

La ecuación polinómica general o genérica de grado n es la ecuación

incógnitanorte+a1incógnitanorte−1+⋯+anorte−1incógnita+anorte=0,{\displaystyle x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n-1}x+a_{n}=0,}

dóndea1,…,anorte{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}son indeterminadas distintas . Esta es una ecuación definida sobre el campoF=Q(a1,…,anorte){\displaystyle F=\mathbb {Q} (a_{1},\ldots ,a_{n})}de las fracciones racionales ena1,…,anorte{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}con coeficientes de números racionales . El teorema original de Abel-Ruffini afirma que, para n ≥ 5 , esta ecuación no es resoluble en radicales. En vista de las secciones anteriores, esto resulta del hecho de que el grupo de Galois sobre F de la ecuación es el grupo simétrico.Snorte{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}(Este grupo de Galois es el grupo de los automorfismos de cuerpo del cuerpo de descomposición de la ecuación que fijan los elementos de F , donde el cuerpo de descomposición es el cuerpo más pequeño que contiene todas las raíces de la ecuación).

Para demostrar que el grupo de Galois esSnorte,{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n},}Es más sencillo empezar desde la raíz.incógnita1,…,incógnitanorte{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}sean nuevas indeterminadas, apuntando a ser las raíces, y consideremos el polinomio

PAG(incógnita)=incógnitanorte+b1incógnitanorte−1+⋯+bnorte−1incógnita+bnorte=(incógnita−incógnita1)⋯(incógnita−incógnitanorte).{\displaystyle P(x)=x^{n}+b_{1}x^{n-1}+\cdots +b_{n-1}x+b_{n}=(x-x_{1})\cdots (x-x_{n}).}

DejarH=Q(incógnita1,…,incógnitanorte){\displaystyle H=\mathbb {Q} (x_{1},\ldots ,x_{n})}sea ​​el campo de las fracciones racionales enincógnita1,…,incógnitanorte,{\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n},}yK=Q(b1,…,bnorte){\displaystyle K=\mathbb {Q} (b_{1},\ldots ,b_{n})}sea ​​su subcampo generado por los coeficientes dePAG(incógnita).{\displaystyle P(x).}Las permutaciones de laincógnitai{\displaystyle x_{i}}inducen automorfismos de H. Las fórmulas de Vieta implican que cada elemento de K es una función simétrica de laincógnitai,{\displaystyle x_{i},}y por lo tanto queda fijada por todos estos automorfismos. De ello se deduce que el grupo de GaloisGalón⁡(H/K){\displaystyle \operatorname {Gal} (H/K)}es el grupo simétricoSnorte.{\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}.}

El teorema fundamental de los polinomios simétricos implica que elbi{\displaystyle b_{i}}son algebraicamente independientes y, por lo tanto, que el mapa que envía cadaai{\displaystyle a_{i}}al correspondientebi{\displaystyle b_{i}}es un isomorfismo de cuerpos de F a K. Esto significa que se puede considerarPAG(incógnita)=0{\displaystyle P(x)=0}como una ecuación genérica. Esto finaliza la demostración de que el grupo de Galois de una ecuación general es el grupo simétrico y, por lo tanto, demuestra el teorema original de Abel-Ruffini, que afirma que la ecuación polinómica general de grado n no puede resolverse en radicales para n ≥ 5 .

Ejemplo explícito

La ecuaciónincógnita5−incógnita−1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}no es resoluble en radicales, como se explicará más adelante.

Sea q​incógnita5−incógnita−1{\displaystyle x^{5}-x-1}Sea G su grupo de Galois, que actúa fielmente sobre el conjunto de raíces complejas de q . Numerando las raíces se puede identificar G con un subgrupo del grupo simétrico.S5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}. Desdeqmod2{\displaystyle q{\bmod {2}}}factores como(incógnita2+incógnita+1)(incógnita3+incógnita2+1){\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{3}+x^{2}+1)}enF2[incógnita]{\displaystyle \mathbb {F} _{2}[x]}, el grupo G contiene una permutacióngramo{\displaystyle g}que es un producto de ciclos disjuntos de longitudes 2 y 3 (en general, cuando un polinomio entero mónico se reduce módulo un primo a un producto de polinomios irreducibles mónicos distintos, los grados de los factores dan las longitudes de los ciclos disjuntos en alguna permutación perteneciente al grupo de Galois); entonces G también contienegramo3{\displaystyle g^{3}}, que es una transposición . Dado queqmod3{\displaystyle q{\bmod {3}}}es irreductible enF3[incógnita]{\displaystyle \mathbb {F} _{3}[x]}, el mismo principio muestra que G contiene un ciclo de 5. Debido a que 5 es primo, cualquier transposición y ciclo de 5 enS5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}generar todo el grupo; véase Grupo simétrico §  Generadores y relaciones . Por lo tantoGRAMO=S5{\displaystyle G={\mathcal {S}}_{5}}. Dado que el grupoS5{\displaystyle {\mathcal {S}}_{5}}no es resoluble, la ecuaciónincógnita5−incógnita−1=0{\displaystyle x^{5}-x-1=0}no es resoluble en radicales.

La resolución de Cayley

Para comprobar si un polinomio quíntico específico es resoluble en radicales, se puede utilizar la resolvente de Cayley . Esta es un polinomio univariado de sexto grado cuyos coeficientes son polinomios en los coeficientes de un polinomio quíntico genérico. Un polinomio quíntico irreducible específico es resoluble en radicales si y solo si, al sustituir sus coeficientes en la resolvente de Cayley, el polinomio séxtico resultante tiene una raíz racional , lo cual se puede comprobar fácilmente mediante el teorema de la raíz racional .

Historia

Hacia 1770, Joseph Louis Lagrange comenzó a sentar las bases que unificaron los diversos métodos utilizados hasta entonces para resolver ecuaciones, relacionándolos con la teoría de grupos de permutaciones , en forma de resolventes de Lagrange . [ 10 ] Este innovador trabajo de Lagrange fue precursor de la teoría de Galois, y su fracaso en desarrollar soluciones para ecuaciones de quinto grado o superior sugirió que tales soluciones podrían ser imposibles, pero no proporcionó una prueba concluyente. La primera persona que conjeturó que el problema de resolver ecuaciones quínticas mediante radicales podría ser imposible de resolver fue Carl Friedrich Gauss , quien escribió en 1798 en la sección  359 de su libro Disquisitiones Arithmeticae (que se publicaría recién en 1801) que "hay pocas dudas de que este problema no desafía tanto los métodos modernos de análisis como que propone lo imposible". Al año siguiente, en su tesis , escribió: «Después de que los esfuerzos de muchos geómetras dejaran pocas esperanzas de llegar alguna vez a la resolución algebraica de la ecuación general, parece cada vez más probable que esta resolución sea imposible y contradictoria». Y añadió: «Quizás no sea tan difícil demostrar, con todo rigor, la imposibilidad para el quinto grado. Expondré mis investigaciones sobre esto con mayor detalle en otro lugar». En realidad, Gauss no publicó nada más sobre este tema. [ 1 ]

Paolo Ruffini , Teoria generale delle equazioni , 1799

El teorema fue casi demostrado por primera vez por Paolo Ruffini en 1799. [ 11 ] Envió su demostración a varios matemáticos para que la reconocieran, entre ellos Lagrange (quien no respondió) y Augustin-Louis Cauchy , quien le envió una carta diciendo: «Su memoria sobre la solución general de ecuaciones es una obra que siempre he creído que los matemáticos deberían tener presente y que, en mi opinión, demuestra de manera concluyente la insolubilidad algebraica de las ecuaciones generales de grado superior al cuarto». [ 12 ] Sin embargo, en general, la demostración de Ruffini no se consideró convincente. Abel escribió: «El primero y, si no me equivoco, el único que, antes que yo, ha intentado demostrar la imposibilidad de la solución algebraica de ecuaciones generales es el matemático Ruffini. Pero su memoria es tan compleja que resulta muy difícil determinar la validez de su argumento. Me parece que su argumento no es del todo satisfactorio». [ 12 ] [ 13 ]

La demostración también, como se descubrió más tarde, era incompleta. Ruffini asumió que todos los radicales con los que estaba trabajando podían expresarse a partir de las raíces del polinomio utilizando únicamente operaciones de campo; en términos modernos, asumió que los radicales pertenecían al cuerpo de descomposición del polinomio. Para ver por qué esto es realmente una suposición adicional, consideremos, por ejemplo, el polinomioPAG(incógnita)=incógnita3−15incógnita−20{\displaystyle P(x)=x^{3}-15x-20}Según la fórmula de Cardano , una de sus raíces (en realidad, todas ellas) puede expresarse como la suma de una raíz cúbica de10+5i{\displaystyle 10+5i}con una raíz cúbica de10−5i{\displaystyle 10-5i}. Por otro lado, dado quePAG(−3)<0{\displaystyle P(-3)<0},PAG(−2)>0{\displaystyle P(-2)>0},PAG(−1)<0{\displaystyle P(-1)<0}, yPAG(5)>0{\displaystyle P(5)>0}, las raícesr1{\displaystyle r_{1}},r2{\displaystyle r_{2}}, yr3{\displaystyle r_{3}}dePAG(incógnita){\displaystyle P(x)}son todos reales y por lo tanto el campoQ(r1,r2,r3){\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}es un subcampo deR{\displaystyle \mathbf {R} }Pero luego los números10±5i{\displaystyle 10\pm 5i}no puede pertenecer aQ(r1,r2,r3){\displaystyle \mathbf {Q} (r_{1},r_{2},r_{3})}Aunque Cauchy no se percató de la suposición de Ruffini o la consideró menor, la mayoría de los historiadores creen que la demostración no se completó hasta que Abel demostró el teorema sobre irracionalidades naturales, que afirma que la suposición se cumple en el caso de polinomios generales. [ 8 ] [ 14 ] Por lo tanto, el teorema de Abel-Ruffini se atribuye generalmente a Abel, quien publicó una demostración condensada en tan solo seis páginas en 1824. [ 3 ] (Abel adoptó un estilo muy conciso para ahorrar papel y dinero: la demostración se imprimió a su propio costo. [ 9 ] ) Una versión más elaborada de la demostración se publicaría en 1826. [ 4 ]

Demostrar que las ecuaciones quíntuples (y de orden superior) generales eran irresolubles mediante radicales no resolvió completamente la cuestión, ya que el teorema de Abel-Ruffini no proporciona condiciones necesarias y suficientes para determinar con precisión qué ecuaciones quíntuples (y de orden superior) son irresolubles mediante radicales. Abel estaba trabajando en una caracterización completa cuando falleció en 1829. [ 15 ]

Según Nathan Jacobson , "Las pruebas de Ruffini y de Abel [...] pronto fueron superadas por el logro culminante de esta línea de investigación: los descubrimientos de Galois en la teoría de ecuaciones". [ 16 ] En 1830, Galois (a la edad de 18 años) presentó a la Academia de Ciencias de París una memoria sobre su teoría de la solubilidad por radicales, que finalmente fue rechazada en 1831 por ser demasiado esquemática y por dar una condición en términos de las raíces de la ecuación en lugar de sus coeficientes. Galois era consciente de las contribuciones de Ruffini y Abel, ya que escribió "Es una verdad común, hoy en día, que la ecuación general de grado mayor que 4 no puede resolverse mediante radicales... esta verdad se ha vuelto común (por rumores) a pesar de que los geómetras han ignorado las demostraciones de Abel y Ruffini..." [ 1 ] Galois murió en 1832 y su artículo Mémoire sur les conditions de resolubilité des équations par radicaux [ 17 ] permaneció inédito hasta 1846, cuando fue publicado por Joseph Liouville acompañado de algunas de sus propias explicaciones. [ 15 ] Antes de esta publicación, Liouville anunció el resultado de Galois a la academia en un discurso que pronunció el 4 de julio de 1843. [ 5 ] Pierre Wantzel publicó una simplificación de la demostración de Abel en 1845. [ 18 ] Cuando Wantzel la publicó, ya conocía las contribuciones de Galois y menciona que, mientras que la demostración de Abel es válida solo para polinomios generales, el enfoque de Galois puede utilizarse para proporcionar un polinomio concreto de grado 5 cuyas raíces no pueden expresarse en radicales a partir de sus coeficientes.

En 1963, Vladimir Arnold descubrió una demostración topológica del teorema de Abel-Ruffini, [ 19 ] [ 20 ] que sirvió como punto de partida para la teoría de Galois topológica . [ 21 ]

Referencias

  1. 1 2 3 4 Ayoub, Raymond G. (1980), "Contribuciones de Paolo Ruffini al Quintic", Archive for History of Exact Sciences , 22 (3): 253– 277, doi : 10.1007/BF00357046 , JSTOR 41133596 , MR 0606270 , S2CID 123447349 , Zbl 0471.01008    
  2. ^ Ruffini, Paolo (1813). Riflessioni alrededor de todas las soluciones delle equazioni algebraiche generali opuscolo del cav. punto. Paolo Ruffini... (en italiano). presso la Societa Tipografica.
  3. 1 2 Abel, Niels Henrik (1881) [1824], "Mémoire sur les équations algébriques, ou l'on démontre l'impossibilité de la résolution de l'équation générale du cinquième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs . 28-33   
  4. 1 2 Abel, Niels Henrik (1881) [1826], "Démonstration de l'impossibilité de la résolution algébrique des équations générales qui passent le quatrième degré" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. I (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs . 66–87   
  5. 1 2 Stewart, Ian (2015), "Introducción histórica", Teoría de Galois (4.ª ed.), CRC Press , ISBN  978-1-4822-4582-0
  6. ↑ Fieker, Claus; Klüners, Jürgen (2014), "Cálculo de grupos de Galois de polinomios racionales", LMS Journal of Computation and Mathematics , 17 (1): 141– 158, arXiv : 1211.3588 , doi : 10.1112/S1461157013000302 , MR 3230862 
  7. ↑ Rosen, Michael I. (1995), "Niels Hendrik Abel y las ecuaciones de quinto grado", American Mathematical Monthly , 102 (6): 495– 505, doi : 10.2307/2974763 , JSTOR 2974763 , MR 1336636 , Zbl 0836.01015   
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  9. 1 2 Pesic, Peter (2004), Abel's Proof: An Essay on the Sources and Meaning of Mathematical Unsolvability , Cambridge: MIT Press , ISBN 0-262-66182-9, Zbl 1166.01010 
  10. ^ Lagrange, Joseph-Louis (1869) [1771], "Réflexions sur la résolution algébrique des équations", en Serret, Joseph-Alfred (ed.), Œuvres de Lagrange , vol. III , Gauthier-Villars, págs. 205-421  
  11. ^ Ruffini, Paolo (1799), Teoria generale delle equazioni, in cui si dimostra impossibile la soluzione algebraica delle equazioni generali di grado superiore al quarto (en italiano), Stamperia di S. Tommaso d'Aquino
  12. 1 2 Kiernan, B. Melvin (1971), "El desarrollo de la teoría de Galois desde Lagrange hasta Artin", Archive for History of Exact Sciences , 8 (1/2): 40–154 , doi : 10.1007/BF00327219 , JSTOR 41133337 , MR 1554154 , S2CID 121442989   
  13. ↑ Abel, Niels Henrik (1881) [1828], "Sur la resolución algébrique des équations" (PDF) , en Sylow, Ludwig ; Mentira, Sophus (eds.), Œuvres Complètes de Niels Henrik Abel (en francés), vol. II (2ª ed.), Grøndahl & Søn , págs . 217-243   
  14. ↑ Stewart, Ian (2015), "La idea detrás de la teoría de Galois", Teoría de Galois (4.ª ed.), CRC Press , ISBN  978-1-4822-4582-0
  15. ^ Tignol , Jean-Pierre (2016), "Galois", Teoría de ecuaciones algebraicas de Galois (2ª ed.), World Scientific , ISBN  978-981-4704-69-4, Zbl 1333.12001 
  16. ↑ Jacobson, Nathan (2009), "Teoría de Galois de las ecuaciones", Álgebra básica , vol. 1 (2.ª ed.), Dover, ISBN   978-0-486-47189-1
  17. ^ Galois, Évariste (1846), "Mémoire sur les condition de resolubilité des équations par radicaux" (PDF) , Journal de Mathématiques Pures et Appliquées (en francés), XI : 417– 433
  18. ^ Wantzel, Pierre (1845), "Démonstration de l'impossibilité de résoudre toutes les équations algébriques avec des radicaux" , Nouvelles Annales de Mathématiques (en francés), 4 : 57– 65
  19. ↑ Alekseev, Valeriy B. (2004), El teorema de Abel en problemas y soluciones: Basado en las clases del profesor V.I. Arnold , Kluwer Academic Publishers , ISBN 1-4020-2186-0, MR 2110624 , Zbl 1065.12001  
  20. ↑ Goldmakher, Leo, Demostración elemental de Arnold sobre la insolubilidad de la ecuación quíntica (PDF)
  21. ↑ Khovanskii, Askold (2014), Teoría de Galois topológica: Resolubilidad e insolubilidad de ecuaciones en términos finitos , Monografías de Springer en matemáticas, Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-3-642-38871-2 , ISBN 978-3-642-38870-5
  • Demostración breve del teorema de Abel que establece que las ecuaciones polinómicas de quinto grado no se pueden resolver en YouTube.
  • Por qué no puedes resolver ecuaciones quínticas (enfoque de la teoría de Galois) en YouTube