Grupo simétrico

En álgebra abstracta , el grupo simétrico definido sobre cualquier conjunto es el grupo cuyos elementos son todas las biyecciones del conjunto a sí mismo, y cuya operación de grupo es la composición de funciones . En particular, el grupo simétrico finito${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$definido sobre un conjunto finito de${\displaystyle n}$Los símbolos consisten en las permutaciones que se pueden realizar en el${\displaystyle n}$símbolos. ^{[ 1 ]} Dado que hay${\displaystyle n!}$(${\displaystyle n}$factorial ) tales operaciones de permutación, el orden (número de elementos) del grupo simétrico${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$es${\displaystyle n!}$.

Aunque los grupos simétricos pueden definirse en conjuntos infinitos , este artículo se centra en los grupos simétricos finitos: sus aplicaciones, sus elementos, sus clases de conjugación , una presentación finita , sus subgrupos , sus grupos de automorfismos y su teoría de representaciones . En el resto del artículo, "grupo simétrico" se referirá a un grupo simétrico definido en un conjunto finito.

El grupo simétrico es importante para diversas áreas de las matemáticas, como la teoría de Galois , la teoría de invariantes , la teoría de representación de grupos de Lie y la combinatoria . El teorema de Cayley establece que todo grupo${\displaystyle G}$es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico en (el conjunto subyacente de)${\displaystyle G}$.

El grupo simétrico en un conjunto finito${\displaystyle X}$es el grupo cuyos elementos son todos funciones biyectivas de${\displaystyle X}$a${\displaystyle X}$y cuya operación de grupo es la de composición de funciones . ^{[ 1 ]} Para conjuntos finitos, "permutaciones" y "funciones biyectivas" se refieren a la misma operación, a saber, reordenamiento. El grupo simétrico de grado${\displaystyle n}$es el grupo simétrico en el conjunto${\displaystyle X=\{1,2,\ldots ,n\}}$.

El grupo simétrico en un conjunto${\displaystyle X}$se denota de varias maneras, incluyendo${\displaystyle \mathrm {S} _ {X}}$,${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{X}}$,${\displaystyle \Sigma _{X}}$,${\displaystyle X!}$, y${\displaystyle \operatorname {Sym} (X)}$. ^{[ 1 ]} Si${\displaystyle X}$es el conjunto${\displaystyle \{1,2,\ldots ,n\}}$entonces el nombre puede abreviarse a${\displaystyle \mathrm {S} _ {n}}$,${\displaystyle {\mathfrak {S}}_{n}}$,${\displaystyle \Sigma _{n}}$, o${\displaystyle \operatorname {Sym} (n)}$. ^{[ 1 ]}

Los grupos simétricos en conjuntos infinitos se comportan de manera bastante diferente a los grupos simétricos en conjuntos finitos, y se discuten en ( Scott 1987 , Cap. 11) , ( Dixon y Mortimer 1996 , Cap. 8) y ( Cameron 1999 ) .

El grupo simétrico en un conjunto de${\displaystyle n}$Los elementos tienen orden${\displaystyle n!}$(el factorial de${\displaystyle n}$). ^{[ 2 ]} Es abeliano si y solo si${\displaystyle n}$es menor o igual que 2. ^{[ 3 ]} Para${\displaystyle n=0}$y${\displaystyle n=1}$(el conjunto vacío y el conjunto unitario ), los grupos simétricos son triviales (tienen orden${\displaystyle 0!=1!=1}$). El grupo S _n es resoluble si y solo si${\displaystyle n\leq 4}$. Esta es una parte esencial de la demostración del teorema de Abel-Ruffini que muestra que para cada${\displaystyle n>4}$existen polinomios de grado${\displaystyle n}$que no se pueden resolver mediante radicales, es decir, las soluciones no se pueden expresar realizando un número finito de operaciones de suma, resta , multiplicación, división y extracción de raíces sobre los coeficientes del polinomio.

El grupo simétrico en un conjunto de tamaño n es el grupo de Galois del polinomio general de grado n y desempeña un papel importante en la teoría de Galois . En la teoría de invariantes , el grupo simétrico actúa sobre las variables de una función multivariada, y las funciones que permanecen invariantes son las llamadas funciones simétricas . En la teoría de representaciones de grupos de Lie , la teoría de representaciones del grupo simétrico desempeña un papel fundamental a través de las ideas de los functores de Schur .

En la teoría de los grupos de Coxeter , el grupo simétrico es el grupo de Coxeter de tipo A _n y aparece como el grupo de Weyl del grupo lineal general . En combinatoria , los grupos simétricos, sus elementos ( permutaciones ) y sus representaciones proporcionan una rica fuente de problemas que involucran tableros de Young , monoides plásticos y el orden de Bruhat . Los subgrupos de grupos simétricos se llaman grupos de permutación y son ampliamente estudiados debido a su importancia para comprender las acciones de grupo , los espacios homogéneos y los grupos de automorfismos de grafos , como el grupo de Higman-Sims y el grafo de Higman-Sims .

Los elementos del grupo simétrico en un conjunto X son las permutaciones de X.

Las clases de conjugación de S _n corresponden a los tipos de ciclos de permutaciones; es decir, dos elementos de S _n son conjugados en S _n si y solo si constan del mismo número de ciclos disjuntos de la misma longitud. Por ejemplo, en S ₅ , (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) son conjugados; (1 2 3)(4 5) y (1 2)(4 5) no lo son. Un elemento conjugado de S _n se puede construir en "notación de dos líneas" colocando las "notaciones de ciclo" de las dos permutaciones conjugadas una encima de la otra. Continuando con el ejemplo anterior, $${\displaystyle k={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&3&2&5\end{pmatrix}},}$$ que se puede escribir como el producto de ciclos como (2 4). Esta permutación relaciona entonces (1 2 3)(4 5) y (1 4 3)(2 5) mediante conjugación, es decir, $${\displaystyle (2~4)\circ (1~2~3)(4~5)\circ (2~4)=(1~4~3)(2~5).}$$ Es evidente que dicha permutación no es única.

Las clases de conjugación de S _n corresponden a particiones enteras de n : a la partición μ = ( μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k ) con${\textstyle n=\sum _{i=1}^{k}\mu _{i}}$y μ ₁ ≥ μ ₂ ≥ ... ≥ μ _k , se asocia el conjunto C _μ de permutaciones con ciclos de longitudes μ ₁ , μ ₂ , ..., μ _k . Entonces C _μ es una clase de conjugación de S _n , cuyos elementos se dice que son de tipo ciclo.${\displaystyle \mu }$.

Los grupos simétricos de bajo grado tienen una estructura más simple y excepcional, y a menudo deben tratarse por separado.

S ₀ y S ₁

Los grupos simétricos en el conjunto vacío y el conjunto unitario son triviales, lo que corresponde a 0! = 1! = 1. En este caso, el grupo alternante coincide con el grupo simétrico, en lugar de ser un subgrupo de índice 2, y el mapeo de signos es trivial. En el caso de S ₀ , su único miembro es la función vacía .

S ₂

Este grupo consta de exactamente dos elementos: la identidad y la permutación que intercambia los dos puntos. Es un grupo cíclico y, por lo tanto, es abeliano . En la teoría de Galois , esto corresponde al hecho de que la fórmula cuadrática da una solución directa al polinomio cuadrático general después de extraer solo una raíz. En la teoría de invariantes , la teoría de representación del grupo simétrico en dos puntos es bastante simple y se ve como escribir una función de dos variables como una suma de sus partes simétrica y antisimétrica: Haciendo f _s ( x , y ) = f ( x , y ) + f ( y , x ) , y f _a ( x , y ) = f ( x , y ) − f ( y , x ) , se obtiene que 2⋅ f = f _s + f _a . Este proceso se conoce como simetrización .

S ₃

S ₃ es el primer grupo simétrico no abeliano. Este grupo es isomorfo al grupo diedral de orden 6 , el grupo de simetrías de reflexión y rotación de un triángulo equilátero , ya que estas simetrías permutan los tres vértices del triángulo. Los ciclos de longitud dos corresponden a reflexiones, y los ciclos de longitud tres son rotaciones. En la teoría de Galois, el mapeo de signos de S ₃ a S ₂ corresponde al cuadrático resolvente para un polinomio cúbico , como descubrió Gerolamo Cardano , mientras que el núcleo A ₃ corresponde al uso de la transformada discreta de Fourier de orden 3 en la solución, en forma de resolventes de Lagrange .

S ₄

El grupo S ₄ es isomorfo al grupo de rotaciones propias alrededor de caras opuestas, diagonales opuestas y aristas opuestas, 9, 8 y 6 permutaciones, del cubo . ^{[ 5 ]} Más allá del grupo A ₄ , S ₄ tiene un grupo de Klein de cuatro dimensiones V como subgrupo normal propio , a saber, las transposiciones pares {(1), (1 2)(3 4), (1 3)(2 4), (1 4)(2 3)}, con cociente S ₃ . En la teoría de Galois , este mapa corresponde a la resolución cúbica a un polinomio cuártico , lo que permite resolver el cuártico mediante radicales, como estableció Lodovico Ferrari . El grupo de Klein puede entenderse en términos de las resolventes de Lagrange del cuártico. El mapeo de S ₄ a S ₃ también produce una representación irreducible bidimensional, que es una representación irreducible de un grupo simétrico de grado n de dimensión inferior a n − 1 , que solo ocurre para n = 4 .

S ₅

S ₅ es el primer grupo simétrico no resoluble. Junto con el grupo lineal especial SL(2, 5) y el grupo icosaédrico A ₅ × S ₂ , S ₅ es uno de los tres grupos no resolubles de orden 120, salvo isomorfismo. S ₅ es el grupo de Galois de la ecuación quíntica general , y el hecho de que S ₅ no sea un grupo resoluble implica la inexistencia de una fórmula general para resolver polinomios quínticos mediante radicales. Existe una aplicación de inclusión exótica S ₅ → S ₆ como subgrupo transitivo ; la aplicación de inclusión obvia S _n → S _{n +1} fija un punto y, por lo tanto, no es transitiva. Esto produce el automorfismo exterior de S ₆ , que se analiza más adelante, y corresponde a la resolvente séxtica de un quíntico.

S ₆

A diferencia de todos los demás grupos simétricos, S ₆ , tiene un automorfismo exterior . Utilizando el lenguaje de la teoría de Galois , esto también puede entenderse en términos de resolventes de Lagrange . La resolvente de un quíntico es de grado 6; esto corresponde a una aplicación de inclusión exótica S ₅ → S ₆ como subgrupo transitivo (la aplicación de inclusión obvia S _n → S _{n +1} fija un punto y, por lo tanto, no es transitiva) y, si bien esta aplicación no hace que el quíntico general sea resoluble, produce el automorfismo exterior exótico de S ₆ —véase Automorfismos de los grupos simétricos y alternantes para más detalles.

Nótese que, si bien A ₆ y A ₇ tienen un multiplicador de Schur excepcional (un recubrimiento triple ) y que estos se extienden a los recubrimientos triples de S ₆ y S ₇ , estos no corresponden a multiplicadores de Schur excepcionales del grupo simétrico.

Para n ≥ 5 , el grupo alternante A _n es simple , y el cociente inducido es la aplicación de signos: A _n → S _n → S ₂ que se divide tomando una transposición de dos elementos. Por lo tanto, S _n es el producto semidirecto A _n ⋊ S ₂ , y no tiene otros subgrupos normales propios, ya que estos intersecarían a A _n en la identidad (y por lo tanto serían ellos mismos la identidad o un grupo de 2 elementos, que no es normal), o en A _n (y por lo tanto serían ellos mismos A _n o S _n ).

S _n actúa sobre su subgrupo A _n por conjugación, y para n ≠ 6 , S _n es el grupo de automorfismos completo de A _n : Aut(A _n ) ≅ S _n . La conjugación por elementos pares son automorfismos internos de A _n, mientras que el automorfismo externo de A _n de orden 2 corresponde a la conjugación por un elemento impar. Para n = 6 , hay un automorfismo externo excepcional de A _n, por lo que S _n no es el grupo de automorfismos completo de A _n .

Por el contrario, para n ≠ 6 , S _n no tiene automorfismos externos, y para n ≠ 2 no tiene centro, por lo que para n ≠ 2, 6 es un grupo completo , como se discute en el grupo de automorfismos , más adelante.

Para n ≥ 5 , S _n es un grupo casi simple , ya que se encuentra entre el grupo simple A _n y su grupo de automorfismos.

S _n se puede incrustar en A _{n +2} agregando la transposición ( n + 1, n + 2) a todas las permutaciones impares, mientras que la incrustación en A _{n +1} es imposible para n > 1 .

El grupo simétrico de n letras se genera mediante las transposiciones adyacentes.${\displaystyle \sigma _{i}=(i,i+1)}$que intercambian i e i + 1. [ ^{6 ] La} colección${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n-1}}$genera S _n sujeto a las siguientes relaciones: ^{[ 7 ]}

• ${\displaystyle \sigma _{i}^{2}=1,}$
• ${\displaystyle \sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}}$para${\displaystyle |i-j|>1}$, y
• ${\displaystyle (\sigma _{i}\sigma _{i+1})^{3}=1,}$

donde 1 representa la permutación identidad. Esta representación dota al grupo simétrico de la estructura de un grupo de Coxeter (y por lo tanto también de un grupo de reflexión ).

Otros conjuntos generadores posibles incluyen el conjunto de transposiciones que intercambian 1 e i por 2 ≤ i ≤ n , ^{[ 8 ]} o, más generalmente, cualquier conjunto de transposiciones que forme un grafo conexo, ^{[ 9 ]} y un conjunto que contenga cualquier n -ciclo y un 2- ciclo de elementos adyacentes en el n- ciclo. ^{[ 10 ] [ 11 ]}

Un subgrupo de un grupo simétrico se denomina grupo de permutación .

Los grupos cíclicos son aquellos que se generan mediante una sola permutación. Cuando una permutación se representa en notación cíclica, el orden del subgrupo cíclico que genera es el mínimo común múltiplo de las longitudes de sus ciclos. Por ejemplo, en S ₅ , un subgrupo cíclico de orden 5 se genera mediante (13254), mientras que los subgrupos cíclicos más grandes de S ₅ se generan mediante elementos como (123)(45) que tienen un ciclo de longitud 3 y otro ciclo de longitud 2. Esto descarta a muchos grupos como posibles subgrupos de grupos simétricos de un tamaño dado. Por ejemplo, S ₅ no tiene ningún subgrupo de orden 15 (un divisor del orden de S ₅ ), porque el único grupo de orden 15 es el grupo cíclico. El mayor orden posible de un subgrupo cíclico (equivalentemente, el mayor orden posible de un elemento en S _n ) viene dado por la función de Landau .

Para n ≠ 2, 6 , S _n es un grupo completo : su centro y su grupo de automorfismos externos son ambos triviales.

Para n = 2 , el grupo de automorfismos es trivial, pero S ₂ no lo es: es isomorfo a C ₂ , que es abeliano, y por lo tanto el centro es todo el grupo.

Para n = 6 , tiene un automorfismo exterior de orden 2: Out(S ₆ ) = C ₂ , y el grupo de automorfismos es un producto semidirecto Aut(S ₆ ) = S ₆ ⋊ C ₂ .

De hecho, para cualquier conjunto X de cardinalidad distinta de 6, todo automorfismo del grupo simétrico en X es interno, un resultado debido primero a ( Schreier y Ulam 1936 ) según ( Dixon y Mortimer 1996 , p. 259) . 

La homología de grupo de S _n es bastante regular y se estabiliza: la primera homología (concretamente, la abelianización ) es:

${\displaystyle H_{1}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<2\\\mathbf {Z} /2&n\geq 2.\end{cases}}}$

El primer grupo de homología es la abelianización, y corresponde al mapa de signos S _n → S ₂ que es la abelianización para n ≥ 2; para n < 2 el grupo simétrico es trivial. Esta homología se calcula fácilmente de la siguiente manera: S _n se genera mediante involuciones (2-ciclos, que tienen orden 2), por lo que los únicos mapas no triviales S _n → C _p son a S ₂ y todas las involuciones son conjugadas, por lo tanto, se mapean al mismo elemento en la abelianización (ya que la conjugación es trivial en grupos abelianos). Así, los únicos mapas posibles S _n → S ₂ ≅ {±1} envían una involución a 1 (el mapa trivial) o a −1 (el mapa de signos). También hay que demostrar que el mapa de signos está bien definido, pero suponiendo eso, esto da la primera homología de S _n .

La segunda homología (concretamente, el multiplicador de Schur ) es:

${\displaystyle H_{2}(\mathrm {S} _{n},\mathbf {Z} )={\begin{cases}0&n<4\\\mathbf {Z} /2&n\geq 4.\end{cases}}}$

Esto se calculó en ( Schur 1911 ) y corresponde al recubrimiento doble del grupo simétrico , 2 · S _n .

Nótese que la excepcional homología de baja dimensión del grupo alternante (${\displaystyle H_{1}(\mathrm {A} _{3})\cong H_{1}(\mathrm {A} _{4})\cong \mathrm {C} _{3},}$correspondiente a la abelianización no trivial, y${\displaystyle H_{2}(\mathrm {A} _{6})\cong H_{2}(\mathrm {A} _{7})\cong \mathrm {C} _{6},}$debido a la excepcional cobertura triple) no cambia la homología del grupo simétrico; los fenómenos de grupos alternantes sí producen fenómenos de grupos simétricos: el mapa${\displaystyle \mathrm {A} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {C} _{3}}$se extiende a${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3},}$y las cubiertas triples de A ₆ y A ₇ se extienden a las cubiertas triples de S ₆ y S ₇ – pero estas no son homológicas – el mapa${\displaystyle \mathrm {S} _{4}\twoheadrightarrow \mathrm {S} _{3}}$no cambia la abelianización de S ₄ , y las cubiertas triples tampoco corresponden a la homología.

La homología se "estabiliza" en el sentido de la teoría de homotopía estable : existe una aplicación de inclusión S _n → S _{n +1} , y para un k fijo , la aplicación inducida en la homología H _k (S _n ) → H _k (S _{n +1} ) es un isomorfismo para n suficientemente alto . Esto es análogo a la estabilización de los grupos de Lie de la homología de familias .

La homología del grupo simétrico infinito se calcula en ( Nakaoka 1961 ) , con el álgebra de cohomología formando un álgebra de Hopf .

La teoría de la representación del grupo simétrico es un caso particular de la teoría de la representación de grupos finitos , para la cual se puede obtener una teoría concreta y detallada. Esto tiene un amplio campo de aplicaciones potenciales, desde la teoría de funciones simétricas hasta problemas de mecánica cuántica para un conjunto de partículas idénticas .

El grupo simétrico S _n tiene orden n ! . Sus clases de conjugación están etiquetadas por particiones de n . Por lo tanto, según la teoría de representación de un grupo finito, el número de representaciones irreducibles no equivalentes , sobre los números complejos , es igual al número de particiones de n . A diferencia de la situación general para grupos finitos, de hecho hay una forma natural de parametrizar la representación irreducible por el mismo conjunto que parametriza las clases de conjugación, a saber, por particiones de n o equivalentemente diagramas de Young de tamaño n .   

Cada una de estas representaciones irreducibles puede realizarse sobre los números enteros (cada permutación que actúa mediante una matriz con coeficientes enteros); puede construirse explícitamente calculando los simetrizadores de Young que actúan sobre un espacio generado por los diagramas de Young con la forma dada por el diagrama de Young.

En otros campos, la situación puede volverse mucho más compleja. Si el campo K tiene característica igual a cero o mayor que n, entonces, por el teorema de Maschke, el álgebra de grupo K S _n es semisimple. En estos casos, las representaciones irreducibles definidas sobre los enteros dan el conjunto completo de representaciones irreducibles (después de la reducción módulo la característica, si es necesario).

Sin embargo, las representaciones irreducibles del grupo simétrico no se conocen en característica arbitraria. En este contexto, es más habitual utilizar el lenguaje de módulos que el de representaciones. La representación obtenida a partir de una representación irreducible definida sobre los enteros mediante la reducción módulo la característica no será, en general, irreducible. Los módulos así construidos se denominan módulos de Specht , y toda representación irreducible surge dentro de alguno de estos módulos. Actualmente existen menos representaciones irreducibles, y aunque pueden clasificarse, su comprensión es muy limitada. Por ejemplo, ni siquiera sus dimensiones se conocen en general.

La determinación de los módulos irreducibles para el grupo simétrico sobre un cuerpo arbitrario se considera uno de los problemas abiertos más importantes en la teoría de la representación.

• Grupo de trenzas
• Historia de la teoría de grupos
• Grupo simétrico con signo y grupo simétrico generalizado
• Simetría en mecánica cuántica §  Simetría de intercambio
• Semigrupo inverso simétrico
• Potencia simétrica

• "Symmetric group", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W."Symmetric group". MathWorld.
• Weisstein, Eric W."Symmetric group graph". MathWorld. Archived from the original on 24 June 2013.
• Marcus du Sautoy: Symmetry, reality's riddle (video of a talk)
• OEISEntries dealing with the Symmetric Group
• Learning materials related to the S₄ symmetric group at Wikiversity