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Métrica de Cayley-Klein

La distancia métrica entre dos puntos dentro del absoluto es el logaritmo de la razón antagónica formada por estos dos puntos y las dos intersecciones de su línea con el absolut...

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La distancia métrica entre dos puntos dentro del absoluto es el logaritmo de la razón antagónica formada por estos dos puntos y las dos intersecciones de su línea con el absoluto.

En matemáticas, una métrica de Cayley-Klein es una métrica en el complemento de una cuádrica fija en un espacio proyectivo que se define usando una razón antagónica . La construcción se originó con el ensayo de Arthur Cayley "Sobre la teoría de la distancia" [ 1 ] donde llama a la cuádrica el absoluto . La construcción fue desarrollada con mayor detalle por Felix Klein en artículos de 1871 y 1873, y libros y artículos posteriores. [ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] Las métricas de Cayley-Klein son una idea unificadora en geometría ya que el método se usa para proporcionar métricas en geometría hiperbólica , geometría elíptica y geometría euclidiana . El campo de la geometría no euclidiana se basa en gran medida en los fundamentos proporcionados por las métricas de Cayley-Klein.

Cimientos

El álgebra de lanzamientos de Karl von Staudt (1847) es un enfoque de la geometría independiente de la métrica . La idea era utilizar la relación de conjugados armónicos proyectivos y razones antagónicas como fundamental para la medida en una línea. [ 10 ] Otra aportación importante fue la fórmula de Laguerre de Edmond Laguerre (1853), quien demostró que el ángulo euclidiano entre dos líneas puede expresarse como el logaritmo de una razón antagónica. [ 11 ] Finalmente, Cayley (1859) formuló relaciones para expresar la distancia en términos de una métrica proyectiva y las relacionó con cuádricas o cónicas generales que sirven como absoluto de la geometría. [ 12 ] [ 13 ] Klein (1871, 1873) eliminó los últimos vestigios de conceptos métricos del trabajo de von Staudt y los combinó con la teoría de Cayley, para fundamentar la nueva métrica de Cayley en el logaritmo y la razón antagónica como un número generado por la disposición geométrica de cuatro puntos. [ 14 ] Este procedimiento es necesario para evitar una definición circular de distancia si la razón antagónica es simplemente una razón doble de distancias definidas previamente. [ 15 ] En particular, demostró que las geometrías no euclidianas pueden basarse en la métrica de Cayley-Klein. [ 16 ]

La geometría de Cayley-Klein estudia el grupo de movimientos que dejan invariante la métrica de Cayley-Klein . Depende de la selección de una cuádrica o cónica que se convierte en el absoluto del espacio. Este grupo se obtiene como las colineaciones para las cuales el absoluto es estable . De hecho, la razón antagónica es invariante bajo cualquier colineación, y el absoluto estable permite la comparación métrica, que será la igualdad. Por ejemplo, el círculo unitario es el absoluto del modelo del disco de Poincaré y del modelo de Beltrami-Klein en geometría hiperbólica . De manera similar, la recta real es el absoluto del modelo del semiplano de Poincaré .

El alcance de la geometría de Cayley-Klein fue resumido por Horst y Rolf Struve en 2004: [ 17 ]

En la recta proyectiva real existen tres absolutos, en el plano proyectivo real siete y en el espacio proyectivo real dieciocho. Todos los espacios proyectivos clásicos no euclidianos —como el hiperbólico, el elíptico, el galileano y el minkowskiano— y sus duales pueden definirse de esta manera.

Los diagramas de Voronoi de Cayley-Klein son diagramas afines con bisectrices de hiperplanos lineales . [ 18 ]

Relación cruzada y distancia

La métrica de Cayley-Klein se ilustra primero en la recta proyectiva real P( R ) y coordenadas proyectivas . Normalmente, la geometría proyectiva no se asocia con la geometría métrica, pero un dispositivo con homografía y logaritmo natural establece la conexión. Partimos de dos puntos p y q en P( R ). En la incrustación canónica, son [ p :1] y [ q :1]. El mapa homográfico

[z:1](−11pag−q)=[pag−z:z−q]{\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}-1&1\\p&-q\end{pmatrix}}=[pz:zq]}

El logaritmo natural transforma p en cero y q en infinito. Además, el punto medio ( p + q )/2 tiende a [1:1]. El logaritmo natural transforma la imagen del intervalo [ p , q ] en la recta real, siendo el logaritmo de la imagen del punto medio igual a cero.

Para la distancia entre dos puntos en el intervalo, la métrica de Cayley-Klein utiliza el logaritmo de la razón entre los puntos. Como una razón se conserva cuando el numerador y el denominador se reproporcionan de forma igual, el logaritmo de dichas razones también se conserva. Esta flexibilidad de las razones permite el desplazamiento del punto cero para la distancia: para moverlo a a , aplicamos la homografía anterior, por ejemplo, obteniendo w . Luego formamos esta homografía:

[z:1](100w){\displaystyle [z:1]{\begin{pmatrix}1&0\\0&w\end{pmatrix}}}que lleva [ w , 1] a [1  :1].

La composición de la primera y la segunda homografía convierte a en 1, normalizando así un valor arbitrario de a en el intervalo. Las homografías compuestas se denominan homografías de razón cruzada de p , q y a . Con frecuencia, la razón cruzada se introduce como una función de cuatro valores. Aquí, tres definen una homografía y el cuarto es el argumento de la misma. La distancia de este cuarto punto a 0 es el logaritmo de la homografía evaluada.

En un espacio proyectivo que contiene a P( R ), supongamos que se da una cónica K , con p y q en K. Una homografía en el espacio mayor puede tener a K como un conjunto invariante , ya que permuta los puntos del espacio. Dicha homografía induce una en P( R ), y como p y q permanecen en K , la razón cruzada permanece invariante. Las homografías de orden superior proporcionan movimientos de la región acotada por K , con el movimiento preservando la distancia, una isometría .

Aplicaciones de disco

Supongamos que se selecciona un círculo unitario para el valor absoluto. Puede estar en P 2 ( R ) como

{[incógnita:y:z]:incógnita2+y2=z2}{\displaystyle \{[x:y:z]:x^{2}+y^{2}=z^{2}\}}que corresponde a(incógnita/z)2+(y/z)2=1.{\displaystyle (x/z)^{2}+(y/z)^{2}=1.}

Por otro lado, el círculo unitario en el plano complejo ordinario

{z:|z|2=zz∗=1}{\displaystyle \{z:|z|^{2}=zz^{*}=1\}}utiliza aritmética de números complejos

y se encuentra en la línea proyectiva compleja P( C ), algo diferente del plano proyectivo real P 2 ( R ). La noción de distancia para P( R ) introducida en la sección anterior está disponible ya que P( R ) está incluido tanto en P 2 ( R ) como en P( C ). Digamos que a y b están en el interior del círculo en P 2 ( R ). Entonces se encuentran en una línea que interseca el círculo en p y q . La distancia de a a b es el logaritmo del valor de la homografía, generada arriba por p , q y a , cuando se aplica a b . En este caso, las geodésicas en el disco son segmentos de línea.

Por otro lado, las geodésicas son arcos de círculos generalizados en el disco del plano complejo. Esta clase de curvas se permuta mediante transformaciones de Möbius , origen de los movimientos de este disco que dejan el círculo unitario como conjunto invariante . Dados a y b en este disco, existe un único círculo generalizado que interseca el círculo unitario en ángulo recto, digamos en p y q . Nuevamente, para la distancia de a a b, primero se construye la homografía para p, q y a , luego se evalúa en b y finalmente se utiliza el logaritmo. Los dos modelos del plano hiperbólico obtenidos de esta manera son el modelo de Cayley-Klein y el modelo del disco de Poincaré .

relatividad especial

En sus conferencias sobre la historia de las matemáticas de 1919/20, publicadas póstumamente en 1926, Klein escribió: [ 19 ]

El casoincógnita2+y2+z2−t2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}en el mundo de cuatro dimensiones odincógnita2+dy2+dz2−dt2=0{\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}-dt^{2}=0}(permanecer en tres dimensiones y utilizar coordenadas homogéneas ) ha adquirido recientemente una importancia especial gracias a la teoría de la relatividad de la física.

Es decir, los absolutosincógnita12+incógnita22−incógnita32=0{\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-x_{3}^{2}=0}oincógnita12+incógnita22+incógnita32−incógnita42=0{\textstyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-x_{4}^{2}=0}en geometría hiperbólica (como se mencionó anteriormente), corresponden a los intervalosincógnita2+y2−t2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}-t^{2}=0}oincógnita2+y2+z2−t2=0{\textstyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-t^{2}=0}en el espaciotiempo , y su transformación que deja el invariante absoluto puede relacionarse con las transformaciones de Lorentz . De manera similar, las ecuaciones del círculo unitario o la esfera unitaria en geometría hiperbólica corresponden a velocidades físicas.(dincógnitadt))2+(dydt))2=1{\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}o(dincógnitadt))2+(dydt))2+(dzdt))2=1{\textstyle {\bigl (}{\frac {dx}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dy}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}+{\bigl (}{\frac {dz}{dt}}{\bigr )}{\vphantom {)}}^{2}=1}en relatividad, que están limitadas por la velocidad de la luz c , de modo que para cualquier velocidad física v , la relación v / c está confinada al interior de una esfera unitaria, y la superficie de la esfera forma el absoluto de Cayley para la geometría. 

Klein señaló detalles adicionales sobre la relación entre la métrica de Cayley-Klein para el espacio hiperbólico y el espacio de Minkowski de la relatividad especial en 1910, [ 20 ] así como en la edición de 1928 de sus conferencias sobre geometría no euclidiana. [ 21 ]

Geometría CK afín

En 2008, Horst Martini y Margarita Spirova generalizaron el primero de los teoremas del círculo de Clifford y otras geometrías euclidianas utilizando la geometría afín asociada con el absoluto de Cayley:

Si el absoluto contiene una línea, entonces se obtiene una subfamilia de geometrías afines de Cayley-Klein . Si el absoluto consiste en una línea f y un punto F en f , entonces tenemos la geometría isotrópica . Un círculo isotrópico es una cónica que toca f en F. [ 22 ]

Utilice coordenadas homogéneas ( x, y, z ). La línea f en el infinito es z = 0. Si F = (0, 1, 0), entonces una parábola con diámetro paralelo al eje y es un círculo isótropo.

Sea P = (1,0,0) y Q = (0,1,0) puntos en el plano absoluto, de modo que f sea como se indicó anteriormente. Se considera que una hipérbola rectangular en el plano ( x,y ) pasa por P y Q en la línea del infinito. Estas curvas son los círculos pseudoeuclidianos.

El tratamiento propuesto por Martini y Spirova utiliza números duales para la geometría isotrópica y números complejos divididos para la geometría pseudoeuclidiana. Estos números complejos generalizados se asocian con sus geometrías de la misma manera que los números complejos ordinarios se asocian con la geometría euclidiana.

Historia

Cayley

Recientemente surgió en una conversación la cuestión de si una disertación de dos líneas podría merecer y obtener una beca. ... La definición proyectiva de longitud de Cayley es un caso claro si podemos interpretar "dos líneas" con cierta libertad. ... Con Cayley, la importancia de la idea es evidente a primera vista.

— Littlewood (1986 , págs. 39-40) 

Arthur Cayley (1859) definió el "absoluto" sobre el cual basó su métrica proyectiva como una ecuación general de una superficie de segundo grado en términos de coordenadas homogéneas : [ 1 ]

La distancia entre dos puntos viene dada por

En dos dimensiones

con la distancia

del cual analizó el caso especialincógnita2+y2+z2=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=0}con la distancia porque−1⁡incógnitaincógnita′+yy′+zz′incógnita2+y2+z2incógnita′2+y′2+z′2{\displaystyle \cos ^{-1}{\frac {xx'+yy'+zz'}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}{\sqrt {x^{\prime 2}+y^{\prime 2}+z^{\prime 2}}}}}}

También hizo alusión al caso.incógnita2+y2+z2=1{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}(esfera unitaria).

Klein

Felix Klein (1871) reformuló las expresiones de Cayley de la siguiente manera: Escribió el absoluto (que llamó sección cónica fundamental) en términos de coordenadas homogéneas: [ 23 ]

y mediante la formación de los absolutosΩincógnitaincógnita{\displaystyle \Omega _{xx}}yΩyy{\displaystyle \Omega _{yy}}Para dos elementos, definió la distancia métrica entre ellos en términos de la razón cruzada:

doregistro⁡Ωincógnitay+Ωincógnitay2−ΩincógnitaincógnitaΩyyΩincógnitay−Ωincógnitay2−ΩincógnitaincógnitaΩyy=2ido⋅arcos⁡ΩincógnitayΩincógnitaincógnita⋅Ωyy{\displaystyle c\log {\frac {\Omega _{xy}+{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}{\Omega _{xy}-{\sqrt {\Omega _{xy}^{2}-\Omega _{xx}\Omega _{yy}}}}}=2ic\cdot \arccos {\frac {\Omega _{xy}}{\sqrt {\Omega _{xx}\cdot \Omega _{yy}}}}}

En el plano, se cumplen las mismas relaciones para las distancias métricas, excepto queΩincógnitaincógnita{\displaystyle \Omega _{xx}}yΩyy{\displaystyle \Omega _{yy}}ahora están relacionados con tres coordenadasincógnita,y,z{\displaystyle x,y,z}cada uno. Como sección cónica fundamental, analizó el caso especial.Ωincógnitaincógnita=z1z2−z32=0{\displaystyle \Omega _{xx}=z_{1}z_{2}-z_{3}^{2}=0}, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuando es real y con la geometría elíptica cuando es imaginaria. [ 24 ] Las transformaciones que dejan invariante esta forma representan movimientos en el espacio no euclidiano correspondiente. Alternativamente, utilizó la ecuación del círculo en la formaΩincógnitaincógnita=incógnita2+y2−4do2=0{\displaystyle \Omega _{xx}=x^{2}+y^{2}-4c^{2}=0}, que se relaciona con la geometría hiperbólica cuandodo{\displaystyle c}es positivo (modelo de Beltrami-Klein) o a geometría elíptica cuandodo{\displaystyle c}es negativo. [ 25 ] En el espacio, analizó las superficies fundamentales de segundo grado, según las cuales las imaginarias se refieren a la geometría elíptica, las reales y rectilíneas corresponden a un hiperboloide de una hoja sin relación con ninguna de las tres geometrías principales, mientras que las reales y no rectilíneas se refieren al espacio hiperbólico.

En su artículo de 1873, señaló la relación entre la métrica de Cayley y los grupos de transformación. [ 26 ] En particular, las ecuaciones cuadráticas con coeficientes reales, correspondientes a superficies de segundo grado, pueden transformarse en una suma de cuadrados, cuya diferencia entre el número de signos positivos y negativos permanece constante (esto se conoce ahora como la ley de inercia de Sylvester ). Si el signo de todos los cuadrados es el mismo, la superficie es imaginaria con curvatura positiva. Si un signo difiere de los demás, la superficie se convierte en un elipsoide o un hiperboloide de dos hojas con curvatura negativa.

En el primer volumen de sus conferencias sobre geometría no euclidiana del semestre de invierno de 1889/90 (publicado en 1892/1893), analizó el plano no euclidiano, utilizando estas expresiones para el absoluto: [ 27 ]∑α,β=13aαβincógnitaαincógnitaβ=0→incógnita2+y2+4k2t2=0(elíptico)incógnita2+y2−4k2t2=0(hiperbólico){\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{3}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0\rightarrow {\begin{matrix}x^{2}+y^{2}+4k^{2}t^{2}=0&{\text{(elliptic)}}\\x^{2}+y^{2}-4k^{2}t^{2}=0&{\text{(hyperbolic)}}\end{matrix}}} y analizaron su invariancia con respecto a las colineaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.

En el segundo volumen que contiene las conferencias del semestre de verano de 1890 (también publicado en 1892/1893), Klein analizó el espacio no euclidiano con la métrica de Cayley [ 28 ].∑α,β=14aαβincógnitaαincógnitaβ=0,{\displaystyle \sum _{\alpha ,\beta =1}^{4}a_{\alpha \beta }x_{\alpha }x_{\beta }=0,} y luego demostró que las variantes de esta forma cuadrática cuaternaria pueden transformarse en una de las siguientes cinco formas mediante transformaciones lineales reales [ 29 ].z12+z22+z32+z42(parte cero)z12+z22+z32−z42(oval)z12+z22−z32−z42(anillo)−z12−z22−z32+z42−z12−z22−z32−z42{\displaystyle {\begin{aligned}z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}&{\text{(zero part)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(oval)}}\\z_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}&{\text{(ring)}}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}+z_{4}^{2}\\-z_{1}^{2}-z_{2}^{2}-z_{3}^{2}-z_{4}^{2}\end{aligned}}}

El formularioz12+z22+z32+z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}+z_{4}^{2}=0}Klein la utilizó como el absoluto de Cayley de la geometría elíptica, [ 30 ] mientras que a la geometría hiperbólica la relacionó.z12+z22+z32−z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}y, alternativamente, la ecuación de la esfera unitariaincógnita2+y2+z2−1=0{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0}. [ 31 ] Finalmente, analizó su invariancia con respecto a las colineaciones y las transformaciones de Möbius que representan movimientos en espacios no euclidianos.

Robert Fricke y Klein resumieron todo esto en la introducción al primer volumen de conferencias sobre funciones automorfas en 1897, en el que utilizaronmi(z12+z22)−z32=0{\displaystyle e\left(z_{1}^{2}+z_{2}^{2}\right)-z_{3}^{2}=0}como lo absoluto en geometría plana, yz12+z22+z32−z42=0{\displaystyle z_{1}^{2}+z_{2}^{2}+z_{3}^{2}-z_{4}^{2}=0}así comoincógnita2+Y2+Z2=1{\displaystyle X^{2}+Y^{2}+Z^{2}=1}para el espacio hiperbólico. [ 32 ] Las conferencias de Klein sobre geometría no euclidiana fueron republicadas póstumamente en un solo volumen y editadas significativamente por Walther Rosemann en 1928. [ 9 ] A'Campo y Papadopoulos (2014) presentaron un análisis histórico del trabajo de Klein sobre geometría no euclidiana. [ 16 ]

Véase también

Citas

  1. 1 2 Cayley (1859) , pág. 82, §§209–229
  2. ↑ Klein (1871)
  3. ↑ Klein (1873)
  4. ↑ Klein (1893a)
  5. ↑ Klein (1893b)
  6. ↑ Fricke y Klein (1897)
  7. ↑ Klein (1910)
  8. ↑ Klein (1926)
  9. 1 2 Klein (1928)
  10. ↑ Klein (1928) , pág. 163
  11. ↑ Klein (1928) , pág. 138
  12. ↑ Klein (1928) , pág. 303
  13. ↑ Pierpont (1930) , pág. 67 y siguientes
  14. ↑ Klein (1928) , págs.163 , 304
  15. ↑ Russell (1897) , pág. 32
  16. ^ A'Campo y Papadopoulos (2014)
  17. ↑ Struve y Struve (2004) , pág. 157
  18. ↑ Nielsen (2016)
  19. ↑ Klein (1926) , pág. 138
  20. ↑ Klein (1910)
  21. ↑ Klein (1928) , capítulo XI, §5
  22. ↑ Martini y Spirova (2008)
  23. ↑ Klein (1871) , pág. 587
  24. ↑ Klein (1871) , pág. 601
  25. ↑ Klein (1871) , pág. 618
  26. ↑ Klein (1873) , §7
  27. ↑ Klein (1893a) , págs. 64, 94, 109, 138
  28. ↑ Klein (1893b) , pág. 61
  29. ↑ Klein (1893b) , pág. 64
  30. ↑ Klein (1893b) , págs. 76 y ss., 108 y ss.
  31. ↑ Klein (1893b) , págs. 82 y ss., 142 y ss.
  32. ↑ Fricke y Klein (1897) , págs. 1-60, Introducción

Referencias

Histórico

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Fuentes secundarias

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Lecturas adicionales