Anillo regular de von Neumann

En matemáticas , un anillo regular de von Neumann es un anillo R (asociativo, con 1, no necesariamente conmutativo) tal que para cada elemento a en R existe un x en R con a = axa . Se puede pensar en x como un "inverso débil" del elemento a; en general , x no está determinado de forma única por a . Los anillos regulares de von Neumann también se denominan anillos absolutamente planos , porque estos anillos se caracterizan por el hecho de que cada módulo R izquierdo es plano .

Los anillos regulares de von Neumann fueron introducidos por von Neumann  (1936) bajo el nombre de "anillos regulares", en el curso de su estudio de las álgebras de von Neumann y la geometría continua . Los anillos regulares de von Neumann no deben confundirse con los anillos regulares no relacionados y los anillos locales regulares del álgebra conmutativa .

Un elemento a de un anillo se denomina elemento regular de von Neumann si existe un x tal que a = axa . ^[1] Un ideal se denomina ideal regular (de von Neumann) si para cada elemento a en existe un elemento x en tal que a = axa . ^[2]${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$

Todo cuerpo (y todo cuerpo oblicuo ) es regular de von Neumann: para a ≠ 0 podemos tomar x = a ⁻¹ . ^[1] Un dominio integral es regular de von Neumann si y solo si es un cuerpo. Todo producto directo de anillos regulares de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann.

Otra clase importante de ejemplos de anillos regulares de von Neumann son los anillos M _n ( K ) de matrices cuadradas n por n con entradas de algún cuerpo K . Si r es el rango de A ∈ M _n ( K ) , la eliminación gaussiana da matrices invertibles U y V tales que

${\displaystyle A=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V}$

(donde I _r es la matriz identidad r por r ). Si fijamos X = V ⁻¹ U ⁻¹ , entonces

${\displaystyle AXA=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=U{\begin{pmatrix}I_{r}&0\\0&0\end{pmatrix}}V=A.}$

De manera más general, el anillo de matriz n × n sobre cualquier anillo regular de von Neumann es nuevamente regular de von Neumann. ^[1]

Si V es un espacio vectorial sobre un cuerpo (o cuerpo oblicuo ) K , entonces el anillo de endomorfismo End _K ( V ) es regular de von Neumann, incluso si V no es de dimensión finita. ^[3]

Generalizando los ejemplos anteriores, supongamos que S es un anillo y M es un S -módulo tal que cada submódulo de M es un sumando directo de M (tales módulos M se llaman semisimples ). Entonces el anillo de endomorfismo End _S ( M ) es regular de von Neumann. En particular, cada anillo semisimple es regular de von Neumann. De hecho, los anillos semisimples son precisamente los anillos regulares de von Neumann noetherianos .

El anillo de operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finita es regular de von Neumann.

Un anillo booleano es un anillo en el que cada elemento satisface a ² = a . Todo anillo booleano es regular según el método de von Neumann.

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo R :

• R es von Neumann regular
• Todo ideal principal de izquierda es generado por un elemento idempotente
• Todo ideal izquierdo finitamente generado es generado por un idempotente.
• Todo ideal izquierdo principal es una suma directa del R -módulo izquierdo R
• Todo ideal izquierdo finitamente generado es un sumando directo del R -módulo izquierdo R
• Cada submódulo finitamente generado de un módulo izquierdo proyectivo R P es un sumando directo de P
• Cada módulo R izquierdo es plano : esto también se conoce como R absolutamente plano o R con dimensión débil 0.
• Cada secuencia corta y exacta de módulos R izquierdos es puramente exacta .

Las afirmaciones correspondientes para los módulos correctos también son equivalentes a que R sea von Neumann regular.

Cada anillo regular de von Neumann tiene radical de Jacobson {0} y, por lo tanto, es semiprimitivo (también llamado "Jacobson semi-simple").

En un anillo regular de von Neumann conmutativo, para cada elemento x hay un único elemento y tal que xyx = x y yxy = y , por lo que existe una forma canónica de elegir la "inversa débil" de x .

Las siguientes afirmaciones son equivalentes para el anillo conmutativo R :

• R es von Neumann regular.
• R tiene dimensión Krull 0 y está reducido .
• Cada localización de R en un ideal máximo es un campo.
• R es un subanillo de un producto de campos cerrados bajo "inversos débiles" de x ∈ R (el único elemento y tal que xyx = x y yxy = y ).
• R es un anillo en V. ^[4 ]
• R tiene la propiedad de levantamiento a la derecha contra el homomorfismo de anillo Z [ t ] → Z [ t ^± ] × Z determinado por t ↦ ( t , 0) , o dicho geométricamente, cada función regular se factoriza a través del morfismo de esquemas . ^[5]${\textstyle \mathrm {Espec.} (R)\to \mathbb {A} ^{1}}$ ${\displaystyle \{0\}\sqcup \mathbb {G} _ {m}\to \mathbb {A} ^{1}}$

Además, los siguientes son equivalentes: para un anillo conmutativo A

• R = A / nil( A ) es regular de von Neumann.
• El espectro de A es de Hausdorff (en la topología de Zariski ).
• La topología construible y la topología de Zariski para Spec( A ) coinciden.

Los tipos especiales de anillos regulares de von Neumann incluyen anillos regulares unitarios , anillos regulares fuertemente de von Neumann y anillos de rango .

Un anillo R se denomina regular unitario si para cada a en R hay una unidad u en R tal que a = aua . Todo anillo semisimple es regular unitario y los anillos regulares unitarios son anillos directamente finitos . Un anillo regular de von Neumann ordinario no necesita ser directamente finito.

Un anillo R se denomina fuertemente regular de von Neumann si para cada a en R , hay algún x en R con a = aax . La condición es simétrica de izquierda a derecha. Los anillos fuertemente regulares de von Neumann son regulares unitarios. Todo anillo fuertemente regular de von Neumann es un producto subdirecto de anillos de división . En cierto sentido, esto imita más de cerca las propiedades de los anillos regulares de von Neumann conmutativos, que son productos subdirectos de campos. Para los anillos conmutativos, los anillos regulares de von Neumann y los fuertemente regulares de von Neumann son equivalentes. En general, los siguientes son equivalentes para un anillo R :

• R es fuertemente regular de von Neumann
• R es von Neumann regular y reducida
• R es regular de von Neumann y cada idempotente en R es central
• Todo ideal izquierdo principal de R es generado por un idempotente central

Las generalizaciones de los anillos regulares de von Neumann incluyen anillos π -regulares, anillos semihereditarios izquierdo/derecho , anillos no singulares izquierdo/derecho y anillos semiprimitivos .

• Semigrupo regular
• Inversa débil