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Articulo de referencia

Elevación de la propiedad

En matemáticas , en particular en la teoría de categorías , la propiedad de elevación es una propiedad de un par de morfismos en una categoría . Se utiliza en la teoría de homot...

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En matemáticas , en particular en la teoría de categorías , la propiedad de elevación es una propiedad de un par de morfismos en una categoría . Se utiliza en la teoría de homotopía dentro de la topología algebraica para definir propiedades de morfismos a partir de una clase de morfismos dada explícitamente. Aparece de forma destacada en la teoría de categorías modelo , un marco axiomático para la teoría de homotopía introducido por Daniel Quillen . También se utiliza en la definición de un sistema de factorización y de un sistema de factorización débil , nociones relacionadas con la noción de categoría modelo, pero menos restrictivas. Varias nociones elementales también pueden expresarse utilizando la propiedad de elevación a partir de una lista de (contra)ejemplos.

Definición formal

Un morfismoi{\displaystyle i}en una categoría tiene la propiedad de elevación izquierda con respecto a un morfismopag{\displaystyle p}, ypag{\displaystyle p}también tiene la propiedad de elevación adecuada con respecto ai{\displaystyle i}, a veces denotadoi⊥pag{\displaystyle i\perp p}oi↓pag{\displaystyle i\downarrow p}, si y solo si la siguiente implicación se cumple para cada morfismoF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}en la categoría:

  • Si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, entonces existeh{\displaystyle h}completando el diagrama, es decir, para cadaF:A→incógnita{\displaystyle f:A\to X}ygramo:B→Y{\displaystyle g:B\to Y}de tal manera quepag∘F=gramo∘i{\displaystyle p\circ f=g\circ i}existeh:B→incógnita{\displaystyle h:B\to X}de tal manera queh∘i=F{\displaystyle h\circ i=f}ypag∘h=gramo{\displaystyle p\circ h=g}.
Un diagrama conmutativo en forma de cuadrado con una línea antidiagonal, que representa gráficamente las relaciones establecidas en el texto anterior. Hay cuatro letras que representan vértices, aquí listadas de izquierda a derecha, luego de arriba a abajo, que son "A" (la esquina superior izquierda del cuadrado), "X" (la esquina superior derecha del cuadrado), "B" (la esquina inferior izquierda del cuadrado) e "Y" (la esquina inferior derecha del cuadrado). Además, hay cinco flechas que conectan estas letras, listadas aquí usando el mismo orden que antes: una flecha de trazo continuo, de izquierda a derecha etiquetada como "f" de A a X (la línea del lado superior del cuadrado); una flecha de trazo continuo, de arriba a abajo etiquetada como "i" de A a B (la línea del lado izquierdo del cuadrado); una flecha de trazo punteado, de abajo a la izquierda a arriba a la derecha etiquetada como "h" de B a X (la línea antidiagonal del cuadrado); una flecha de trazo continuo, de arriba a abajo, etiquetada como "p", desde X hasta Y (la línea del lado derecho del cuadrado); y una flecha de trazo continuo, de izquierda a derecha, etiquetada como "g", desde B hasta Y (la línea del lado inferior del cuadrado).

Esto también se conoce a veces como morfismo.i{\displaystyle i}ser ortogonal al morfismopag{\displaystyle p}; sin embargo, esto también puede referirse a la propiedad más fuerte de que siempre queF{\displaystyle f}ygramo{\displaystyle g}son como arriba, el morfismo diagonalh{\displaystyle h}Existe y también se requiere que sea único.

Para una clasedo{\displaystyle C}de morfismos en una categoría, su ortogonal izquierdado⊥ℓ{\displaystyle C^{\perp \ell }}odo⊥{\displaystyle C^{\perp }}con respecto a la propiedad de elevación, respectivamente su ortogonal derechado⊥r{\displaystyle C^{\perp r}}o⊥do{\displaystyle {}^{\perp }C}, es la clase de todos los morfismos que tienen la propiedad de elevación izquierda, respectivamente derecha, con respecto a cada morfismo en la clasedo{\displaystyle C}. En notación,

do⊥ℓ:={i∣∀pag∈do,i⊥pag}do⊥r:={pag∣∀i∈do,i⊥pag}{\displaystyle {\begin{aligned}C^{\perp \ell }&:=\{i\mid \forall p\in C,i\perp p\}\\C^{\perp r}&:=\{p\mid \forall i\in C,i\perp p\}\end{aligned}}}

Propiedades

Tomar la ortogonal de una clasedo{\displaystyle C}es una forma sencilla de definir una clase de morfismos que excluye los no isomorfismos dedo{\displaystyle C}, de una manera que resulta útil en un diagrama que sigue el cálculo.

En la categoría Conjunto de conjuntos , la ortogonal derecha{∅→{∗}}⊥r{\displaystyle \{\emptyset \to \{*\}\}^{\perp r}}de la no sobreyección más simple∅→{∗}{\displaystyle \emptyset \to \{*\}}es la clase de sobreyecciones. Las ortogonales izquierda y derecha de{incógnita1,incógnita2}→{∗},{\displaystyle \{x_{1},x_{2}\}\to \{*\},}las inyecciones no inyectables más simples son precisamente la clase de inyecciones,

{{incógnita1,incógnita2}→{∗}}⊥ℓ={{incógnita1,incógnita2}→{∗}}⊥r={F∣F es una inyección }.{\displaystyle \{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp \ell }=\{\{x_{1},x_{2}\}\to \{*\}\}^{\perp r}=\{f\mid f{\text{ es una inyección }}\}.}

Está claro quedo⊥ℓr⊃do{\displaystyle C^{\perp \ell r}\supset C}ydo⊥rℓ⊃do{\displaystyle C^{\perp r\ell }\supset C}La clasedo⊥r{\displaystyle C^{\perp r}}siempre está cerrado bajo retracciones (es decir, siincógnita{\displaystyle X}yY{\displaystyle Y}son objetos,do⊥Y{\displaystyle C\perp Y}, yincógnita{\displaystyle X}es una retractación deY{\displaystyle Y}, entoncesdo⊥incógnita{\displaystyle C\perp X}), retrocesos , productos (pequeños) (siempre que existan en la categoría) y composición de morfismos, y contiene todos los isomorfismos (es decir, morfismos invertibles) de la categoría subyacente. Mientras tanto,do⊥ℓ{\displaystyle C^{\perp \ell }}es cerrado bajo retracciones, empujes , coproductos (pequeños) y composición transfinita ( colímites filtrados ) de morfismos (siempre que existan en la categoría), y también contiene todos los isomorfismos.

Dejari{\displaystyle i},j{\displaystyle j}, yk{\displaystyle k}sean morfismos tales quei∘j{\displaystyle i\circ j}existe. Entonces:

  • Sii∘j⊥k{\displaystyle i\circ j\perp k}yj{\displaystyle j}es un epimorfismo , entoncesi⊥k{\displaystyle i\perp k}.
  • Sik⊥i∘j{\displaystyle k\perp i\circ j}yi{\displaystyle i}es un monomorfismo , entoncesk⊥j{\displaystyle k\perp j}.

Estas dos propiedades resultan útiles cuando la categoría está equipada con un sistema de factorización débil que consta de epimorfismos y monomorfismos.

Ejemplos

Se pueden definir varias nociones pasando a la izquierda o a la derecha ortogonal varias veces a partir de una lista de ejemplos explícitos, es decir, comodo⊥ℓ,do⊥r,do⊥ℓr,do⊥ℓℓ{\displaystyle C^{\perp \ell },C^{\perp r},C^{\perp \ell r},C^{\perp \ell \ell }}, etc., dondedo{\displaystyle C}es una clase dada de morfismos. Una intuición útil es pensar que las propiedades de levantamiento izquierda y derecha contra una clasedo{\displaystyle C}son una forma de expresar una negación de alguna propiedad de los morfismos endo{\displaystyle C}En este sentido, realizar una "doble negación" puede considerarse una especie de procedimiento de "cierre" o "finalización".

Ejemplos elementales en diversas categorías

En conjunto

Dejar1{\displaystyle 1}denota cualquier conjunto unitario fijo , como por ejemplo{0}{\displaystyle \{0\}}y dejar2{\displaystyle 2}denota cualquier conjunto fijo con dos elementos, como por ejemplo:{0,1}{\displaystyle \{0,1\}}.

  • Sii:1→2{\displaystyle i:1\to 2}denota cualquiera de las dos funciones de1{\displaystyle 1}a2{\displaystyle 2}, entonces{i}⊥l={i}⊥r{\displaystyle \{i\}^{\perp l}=\{i\}^{\perp r}}es la clase de sobreyecciones .
  • Sij:2→1{\displaystyle j:2\to 1}es la función única de2{\displaystyle 2}a1{\displaystyle 1}, entonces{j}⊥r={j}⊥l{\displaystyle \{j\}^{\perp r}=\{j\}^{\perp l}}es la clase de inyecciones .

En la categoría de módulos sobre un anillo conmutativo R

Dejar0{\displaystyle 0}denotamos el módulo cero y para cadaR{\displaystyle R}-móduloMETRO{\displaystyle M}, dejar0→METRO{\displaystyle 0\to M}yMETRO→0{\displaystyle M\to 0}denotan los dos morfismos únicos entre0{\displaystyle 0}yMETRO{\displaystyle M}.

  • {0→R}⊥r{\displaystyle \{0\to R\}^{\perp r}}es la clase de homomorfismos de módulos sobreyectivos.
  • {R→0}⊥r{\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp r}}es la clase de homomorfismos de módulos inyectivos.
  • Un móduloMETRO{\displaystyle M}es proyectivo si y solo si0→METRO{\displaystyle 0\to M}está en{0→R}⊥rl{\displaystyle \{0\to R\}^{\perp rl}}.
  • Un móduloMETRO{\displaystyle M}es inyectiva si y solo siMETRO→0{\displaystyle M\to 0}está en{R→0}⊥rr{\displaystyle \{R\to 0\}^{\perp rr}}.

En la categoría de grupos

DejarZ{\displaystyle \mathbb {Z} }denota el grupo cíclico infinito de enteros bajo la suma.

  • {0→Z}⊥r{\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp r}}es la clase de homomorfismos de grupos sobreyectivos.
  • {Z→0}⊥r{\displaystyle \{\mathbb {Z} \to 0\}^{\perp r}}es la clase de homomorfismos de grupo inyectivos.
  • Un grupoF{\displaystyle F}es un grupo libre si y solo si0→F{\displaystyle 0\to F}está en{0→Z}⊥rl{\displaystyle \{0\to \mathbb {Z} \}^{\perp rl}}.
  • Un grupoA{\displaystyle A}es libre de torsión si y solo si0→A{\displaystyle 0\to A}está en{norteZ→Z:norte>0}⊥r{\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}}.
  • Un subgrupoA{\displaystyle A}de un grupoB{\displaystyle B}es puro si y solo siA→B{\displaystyle A\to B}está en{norteZ→Z:norte>0}⊥r{\displaystyle \{n\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} :n>0\}^{\perp r}}.

Para un grupo finitoGRAMO{\displaystyle G},

  • {0→Z/pagZ}⊥1→GRAMO{\displaystyle \{0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\}\perp 1\to G}si el orden deGRAMO{\displaystyle G}es primordial parapag{\displaystyle p}si y solo si{Z/pagZ→0}⊥GRAMO→1{\displaystyle \{{\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} }\to 0\}\perp G\to 1}.
  • GRAMO→1∈(0→Z/pagZ)⊥rr{\displaystyle G\to 1\in (0\to {\mathbb {Z} }/p{\mathbb {Z} })^{\perp rr}}si y solo siGRAMO{\displaystyle G}es unpag{\displaystyle p}-grupo .
  • H{\displaystyle H}es nilpotente si y solo si el mapa diagonalH→H×H{\displaystyle H\to H\times H}está en(1→∗)⊥ℓr{\displaystyle (1\to *)^{\perp \ell r}}dónde(1→∗){\displaystyle (1\to *)}denota la clase de mapas{1→GRAMO:GRAMO arbitrario}{\displaystyle \{1\to G:G{\text{ arbitrary}}\}}.
  • un grupo finitoH{\displaystyle H}es soluble si y solo si1→H{\displaystyle 1\to H}está en{0→A:A abeliano}⊥ℓr={[GRAMO,GRAMO]→GRAMO:GRAMO arbitrario }⊥ℓr.{\displaystyle \{0\to A:A{\text{ abelian}}\}^{\perp \ell r}=\{[G,G]\to G:G{\text{ arbitrary }}\}^{\perp \ell r}.}

En la categoría de espacios topológicos

Dejar{0,1}{\displaystyle \{0,1\}}y{0↔1}{\displaystyle \{0\leftrightarrow 1\}}Denotemos por un conjunto de dos elementos con topología discreta y topología indiscreta , respectivamente.{0→1}{\displaystyle \{0\to 1\}}denotamos el espacio de Sierpinski de dos puntos, en el que el conjunto{0}{\displaystyle \{0\}}está abierto (y no cerrado) y el conjunto{1}{\displaystyle \{1\}}está cerrado (y no abierto), y dejar{0}→{0→1},{1}→{0→1}{\displaystyle \{0\}\to \{0\to 1\},\{1\}\to \{0\to 1\}}, etc. denotan las incrustaciones obvias.

  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}es un espacio T 0 si y solo siincógnita→{∗}{\displaystyle X\to \{*\}}está en({0↔1}→{∗})⊥r{\displaystyle (\{0\leftrightarrow 1\}\to \{*\})^{\perp r}}.
  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}es un espacio T 1 si y solo si∅→incógnita{\displaystyle \emptyset \to X}está en({0→1}→{∗})⊥r{\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp r}}.
  • ({1}→{0→1})⊥l{\displaystyle (\{1\}\to \{0\to 1\})^{\perp l}}es la clase de mapas con imagen densa .
  • ({0→1}→{∗})⊥ℓ{\displaystyle (\{0\to 1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}es la clase de mapasF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de tal manera que la topología enA{\displaystyle A}es el retroceso de la topología enB{\displaystyle B}, es decir, la topología enA{\displaystyle A}es la topología con el menor número de conjuntos abiertos tal que el mapa es continuo ,
  • (∅→{∗})⊥r{\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r}}es la clase de aplicaciones sobreyectivas,
  • (∅→{∗})⊥rℓ{\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell }}es la clase de mapas de formaA→A∪D{\displaystyle A\to A\cup D}dóndeD{\displaystyle D}es discreto,
  • (∅→{∗})⊥rℓℓ=({a}→{a,b})⊥ℓ{\displaystyle (\emptyset \to \{*\})^{\perp r\ell \ell }=(\{a\}\to \{a,b\})^{\perp \ell }}es la clase de mapasA→B{\displaystyle A\to B}de tal manera que cada componente conectado deB{\displaystyle B}intersecaSoy⁡A{\displaystyle \operatorname {Im} A},
  • ({0,1}→{∗})⊥r{\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp r}}es la clase de mapas inyectivos,
  • ({0,1}→{∗})⊥ℓ{\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }}es la clase de mapasF:incógnita→Y{\displaystyle f:X\to Y}de tal manera que la preimagen de un subconjunto abierto cerrado conexo deY{\displaystyle Y}es un subconjunto abierto, cerrado y conectado deincógnita{\displaystyle X}, p.ejincógnita{\displaystyle X}está conectado si y solo siincógnita→{∗}{\displaystyle X\to \{*\}}está en({0,1}→{∗})⊥ℓ{\displaystyle (\{0,1\}\to \{*\})^{\perp \ell }},
  • para un espacio conectadoincógnita{\displaystyle X}, cada función continua enincógnita{\displaystyle X}está acotado si y solo si∅→incógnita⊥∪norte(−norte,norte)→R{\displaystyle \emptyset \to X\perp \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }dónde∪norte(−norte,norte)→R{\displaystyle \cup _{n}(-n,n)\to \mathbb {R} }es el mapa de la unión disjunta de intervalos abiertos(−norte,norte){\displaystyle (-n,n)}en la línea realR,{\displaystyle \mathbb {R} ,}
  • un espacioincógnita{\displaystyle X}es Hausdorff si y solo si para cualquier mapa inyectivo{a,b}↪incógnita{\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X}, contiene{a,b}↪incógnita⊥{a→incógnita←b}→{∗}{\displaystyle \{a,b\}\hookrightarrow X\perp \{a\to x\leftarrow b\}\to \{*\}}dónde{a←incógnita→b}{\displaystyle \{a\leftarrow x\to b\}}denota el espacio de tres puntos con dos puntos abiertosa{\displaystyle a}yb{\displaystyle b}y un punto cerradoincógnita{\displaystyle x},
  • un espacioincógnita{\displaystyle X}es perfectamente normal si∅→incógnita⊥[0,1]→{0←incógnita→1}{\displaystyle \emptyset \to X\perp [0,1]\to \{0\leftarrow x\to 1\}}donde el intervalo abierto(0,1){\displaystyle (0,1)}va a incógnita{\displaystyle x}, y0{\displaystyle 0}mapas hasta el punto0{\displaystyle 0}, y1{\displaystyle 1}mapas hasta el punto1{\displaystyle 1}, y{0←incógnita→1}{\displaystyle \{0\leftarrow x\to 1\}}denota el espacio de tres puntos con dos puntos cerrados0,1{\displaystyle 0,1}y un punto abiertoincógnita{\displaystyle x}.

En la categoría de espacios métricos con aplicaciones uniformemente continuas

  • Un espacioincógnita{\displaystyle X}está completo si y solo si{1/norte}norte∈norte→{0}∪{1/norte}norte∈norte⊥incógnita→{0}{\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp X\to \{0\}}dónde{1/norte}norte∈norte→{0}∪{1/norte}norte∈norte{\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }}es la inclusión obvia entre los dos subespacios de la recta real con métrica inducida , y{0}{\displaystyle \{0\}}es el espacio métrico que consta de un solo punto,
  • Un subespacioi:A→incógnita{\displaystyle i:A\to X}está cerrado si{1/norte}norte∈norte→{0}∪{1/norte}norte∈norte⊥A→incógnita.{\displaystyle \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\to \{0\}\cup \{1/n\}_{n\in \mathbb {N} }\perp A\to X.}

Ejemplos de propiedades de elevación en topología algebraica

Un mapaF:U→B{\displaystyle f:U\to B}tiene la propiedad de elevación del camino si y solo si{0}→[0,1]⊥F{\displaystyle \{0\}\to [0,1]\perp f}dónde{0}→[0,1]{\displaystyle \{0\}\to [0,1]}es la inclusión de un extremo del intervalo cerrado en el intervalo[0,1]{\displaystyle [0,1]}.

Un mapaF:U→B{\displaystyle f:U\to B}tiene la propiedad de levantamiento de homotopía si y solo siincógnita→incógnita×[0,1]⊥F{\displaystyle X\to X\times [0,1]\perp f}dóndeincógnita→incógnita×[0,1]{\displaystyle X\to X\times [0,1]}es el mapaincógnita↦(incógnita,0){\displaystyle x\mapsto (x,0)}.

Ejemplos de propiedades de elevación provenientes de categorías de modelos

Fibraciones y cofibraciones.

  • Sea Top la categoría de espacios topológicos , y seado0{\displaystyle C_{0}}ser la clase de mapasSnorte→Dnorte+1{\displaystyle S^{n}\to D^{n+1}}, incrustaciones del límiteSnorte=∂Dnorte+1{\displaystyle S^{n}=\partial D^{n+1}}de una pelota en la pelotaDnorte+1{\displaystyle D^{n+1}}. DejarWdo0{\displaystyle WC_{0}}sea ​​la clase de mapas que incrustan la semiesfera superior en el disco.Wdo0⊥ℓ,Wdo0⊥ℓr,do0⊥ℓ,do0⊥ℓr{\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. [ 1 ]
  • Sea sSet la categoría de conjuntos simpliciales .do0{\displaystyle C_{0}}ser la clase de inclusiones de frontera∂Δ[norte]→Δ[norte]{\displaystyle \partial \Delta [n]\to \Delta [n]}y dejarWdo0{\displaystyle WC_{0}}ser la clase de inclusiones de cuernoΛi[norte]→Δ[norte]{\displaystyle \Lambda ^{i}[n]\to \Delta [n]}Entonces, las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones son, respectivamente,Wdo0⊥ℓ,Wdo0⊥ℓr,do0⊥ℓ,do0⊥ℓr{\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}. [ 2 ]
  • Dejardoh(R){\displaystyle \mathbf {Ch} (R)}ser la categoría de complejos de cadena sobre un anillo conmutativoR{\displaystyle R}. Dejardo0{\displaystyle C_{0}}ser la clase de mapas de forma
⋯→0→R→0→0→⋯→⋯→R→identificaciónR→0→0→⋯,{\displaystyle \cdots \to 0\to R\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots ,}
yWdo0{\displaystyle WC_{0}}ser
⋯→0→0→0→0→⋯→⋯→R→identificaciónR→0→0→⋯.{\displaystyle \cdots \to 0\to 0\to 0\to 0\to \cdots \to \cdots \to R{\xrightarrow {\operatorname {id} }}R\to 0\to 0\to \cdots .}
EntoncesWdo0⊥ℓ,Wdo0⊥ℓr,do0⊥ℓ,do0⊥ℓr{\displaystyle WC_{0}^{\perp \ell },WC_{0}^{\perp \ell r},C_{0}^{\perp \ell },C_{0}^{\perp \ell r}}son las clases de fibraciones, cofibraciones acíclicas, fibraciones acíclicas y cofibraciones. [ 3 ]

Notas

  1. ↑ Hovey, Mark. Categorías de modelos .Def. 2.4.3, Th.2.4.9
  2. ↑ Hovey, Mark. Categorías de modelos .Def. 3.2.1, Th.3.6.5
  3. ↑ Hovey, Mark. Categorías de modelos .Def. 2.3.3, Th.2.3.11

Referencias

  • Hovey, Mark (1999). Categorías de modelos .
  • JP May y K. Ponto, Topología algebraica más concisa: localización, completitud y categorías de modelos