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grupo hiperbólico acilíndrico

En el ámbito matemático de la teoría geométrica de grupos , un grupo hiperbólico acilíndrico es un grupo que admite una acción isométrica 'acilíndrica' no elemental sobre algún ...

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En el ámbito matemático de la teoría geométrica de grupos , un grupo hiperbólico acilíndrico es un grupo que admite una acción isométrica 'acilíndrica' no elemental sobre algún espacio métrico hiperbólico geodésico . [ 1 ] Esta noción generaliza las nociones de grupo hiperbólico y de grupo relativamente hiperbólico e incluye una clase de ejemplos significativamente más amplia, como los grupos de clases de mapeo y Out( F n ) .

Definición formal

Acción acilíndrica

Sea G un grupo con una acción isométrica sobre algún espacio métrico hiperbólico geodésico X. Esta acción se llama acilíndrica [ 1 ] si para todoR≥0{\displaystyle R\geq 0}existennorte>0,L>0{\displaystyle N>0,L>0}de tal manera que para cadaincógnita,y∈incógnita{\displaystyle x,y\in X}cond(incógnita,y)≥L{\displaystyle d(x,y)\geq L}uno tiene

#{gramo∈GRAMO∣d(incógnita,gramoincógnita)≤R,d(y,gramoy)≤R}≤norte.{\displaystyle \#\{g\in G\mid d(x,gx)\leq R,d(y,gy)\leq R\}\leq N.}

Si la propiedad anterior se cumple para un caso específicoR≥0{\displaystyle R\geq 0}La acción de G sobre X se denomina R - acilíndrica . La noción de acilindricidad proporciona un sustituto adecuado para ser una acción propia en el contexto más general donde se permiten acciones no propias.

Una acción isométrica acilíndrica de un grupo G sobre un espacio métrico hiperbólico geodésico X no es elemental si G admite dos isometrías hiperbólicas independientes de X , es decir, dos elementos loxodrómicos.gramo,h∈GRAMO{\displaystyle g,h\in G}de tal manera que sus conjuntos de puntos fijos{gramo+,gramo−}⊆∂incógnita{\displaystyle \{g^{+},g^{-}\}\subseteq \partial X}y{h+,h−}⊆∂incógnita{\displaystyle \{h^{+},h^{-}\}\subseteq \partial X}son disjuntos.

Se sabe (Teorema 1.1 en [ 1 ] ) que una acción acilíndrica de un grupo G sobre un espacio métrico hiperbólico geodésico X no es elemental si y solo si esta acción tiene órbitas no acotadas en X y el grupo G no es una extensión finita de un grupo cíclico generado por isometría loxodrómica de X . 

grupo hiperbólico acilíndrico

Un grupo G se denomina hiperbólico acilíndrico si G admite una acción isométrica acilíndrica no elemental sobre algún espacio métrico hiperbólico geodésico X. 

Caracterizaciones equivalentes

Se sabe (Teorema 1.2 en [ 1 ] ) que para un grupo G las siguientes condiciones son equivalentes:

  • El grupo G es hiperbólico acilíndricamente.
  • Existe un conjunto generador S (posiblemente infinito) para G , tal que el grafo de CayleyΓ(GRAMO,S){\displaystyle \Gamma (G,S)}es hiperbólico y la acción de traslación natural de G enΓ(GRAMO,S){\displaystyle \Gamma (G,S)}es una acción acilíndrica no elemental.
  • El grupo G no es virtualmente cíclico , y existe una acción isométrica de G sobre un espacio métrico hiperbólico geodésico X tal que al menos un elemento de G actúa sobre X con la propiedad WPD ('débilmente propiamente discontinuo').
  • El grupo G contiene un subgrupo 'hiperbólicamente incrustado' infinito propio . [ 2 ]

Historia

Propiedades

  • Todo grupo hiperbólico acilíndrico G es SQ-universal , es decir, todo grupo numerable se incrusta como subgrupo en algún grupo cociente de G.
  • La clase de grupos hiperbólicos acilíndricos es cerrada al tomar subgrupos normales infinitos y, más generalmente, al tomar subgrupos 's-normales'. [ 1 ] Aquí un subgrupoH≤GRAMO{\displaystyle H\leq G}se llama s-normal enGRAMO{\displaystyle G}si por cadagramo∈GRAMO{\displaystyle g\in G}uno tiene|H∩gramo−1Hgramo|=∞{\displaystyle |H\cap g^{-1}Hg|=\infty }.
  • Si G es un grupo hiperbólico acilíndricamente yV=R{\displaystyle V=\mathbb {R} }oV=ℓpag(GRAMO){\displaystyle V=\ell ^{p}(G)}conpag∈[1,∞){\displaystyle p\in [1,\infty )}luego la cohomología acotadaHb(GRAMO,V){\displaystyle H_{b}(G,V)}es de dimensión infinita. [ 3 ] [ 4 ] [ 1 ]
  • Todo grupo hiperbólico acilíndrico G admite un único subgrupo finito normal maximal denotado K(G) . [ 2 ]
  • Si G es un grupo hiperbólico acilíndricamente con K(G)={1} , entonces G tiene infinitas clases de conjugación de elementos no triviales, G no es internamente amenable y el álgebra C* reducida de G es simple con traza única. [ 2 ]
  • Existe una versión de la teoría de cancelación pequeña sobre grupos hiperbólicos acilíndricos, que permite producir muchos cocientes de dichos grupos con propiedades prescritas. [ 5 ]
  • Todo grupo hiperbólico acilíndricamente generado finitamente tiene puntos de corte en todos sus conos asintóticos . [ 6 ]
  • Para un grupo hiperbólico acilíndrico finitamente generado G , la probabilidad de que el paseo aleatorio simple en G de longitud n produzca un "elemento loxodrómico generalizado" en G converge a 1 exponencialmente rápido comonorte→∞{\displaystyle n\to \infty }. [ 7 ]
  • Todo grupo hiperbólico acilíndrico finitamente generado G tiene un crecimiento de conjugación exponencial, lo que significa que el número de clases de conjugación distintas de elementos de G que provienen de la bola de radio n en el grafo de Cayley de G crece exponencialmente en n . [ 8 ]

Ejemplos y contraejemplos

  • Los grupos finitos, los grupos virtualmente nilpotentes y los grupos virtualmente resolubles no son hiperbólicos acilíndricos.
  • Todo subgrupo no elemental de un grupo hiperbólico de palabras es hiperbólico acilíndricamente.
  • Todo grupo relativamente hiperbólico no elemental es hiperbólico acilíndricamente.
  • El grupo de clases de mapeoMETROdoGRAMO(Sgramo,pag){\displaystyle MCG(S_{g,p})}de una superficie orientada conectada de génerogramo≥0{\displaystyle g\geq 0}conpag≥0{\displaystyle p\geq 0}Las perforaciones son hiperbólicas acilíndricas, excepto en los casos en quegramo=0,pag≤3{\displaystyle g=0,p\leq 3}(en esos casos excepcionales el grupo de clases de mapeo es finito). [ 1 ]
  • Paranorte≥2{\displaystyle n\geq 2}El grupo Out( F n ) es hiperbólico acilíndricamente. [ 1 ]
  • Según un resultado de Osin , todo grupo no virtualmente cíclico G que admite una acción isométrica propia sobre un espacio CAT(0) propio con G teniendo al menos un elemento de rango 1, es hiperbólico acilíndricamente. [ 1 ] Caprace y Sageev demostraron que si G es un grupo finitamente generado que actúa isométricamente propiamente discontinuamente y cocompactamente sobre un complejo cúbico CAT(0) geodésicamente completo X , entonces o bien X se divide como un producto directo de dos subcomplejos convexos no acotados, o bien G contiene un elemento de rango 1. [ 9 ]
  • Todo grupo de Artin G de ángulo recto , que no es cíclico y que es directamente indescomponible, es hiperbólico acilíndricamente.
  • Paranorte≥3{\displaystyle n\geq 3}el grupo lineal especialSL(norte,Z){\displaystyle SL(n,\mathbb {Z} )}no es hiperbólica acilíndrica (Ejemplo 7.5 en [ 1 ] ).
  • Parametro≠0,norte≠0{\displaystyle m\neq 0,n\neq 0}el grupo Baumslag-SolitarBS(metro,norte)=⟨a,t∣t−1ametrot=anorte⟩{\displaystyle BS(m,n)=\langle a,t\mid t^{-1}a^{m}t=a^{n}\rangle }no es hiperbólica acilíndrica. (Ejemplo 7.4 en [ 1 ] )
  • Muchos grupos que admiten acciones no triviales en árboles simpliciales (es decir, que admiten escisiones no triviales como grupos fundamentales de grafos de grupos en el sentido de la teoría de Bass-Serre ) son hiperbólicos acilíndricos. Por ejemplo, todos los grupos con un solo relacionador en al menos tres generadores son hiperbólicos acilíndricos. [ 10 ]
  • La mayoría de los grupos de 3-variedades son hiperbólicos acilíndricos. [ 10 ]

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 Osin, D. (2016). "Grupos hiperbólicos acilíndricos". Transactions of the American Mathematical Society . 368 (2): 851– 888. arXiv : 1304.1246 . doi : 10.1090/tran/6343 . MR 3430352 . S2CID 21624534 .  
  2. 1 2 3 Dahmani, F.; Guirardel, V.; Osin, D. (2017). Subgrupos hiperbólicamente incrustados y familias rotatorias en grupos que actúan sobre espacios hiperbólicos . Memoirs of the American Mathematical Society . Vol. 245. American Mathematical Society. ISBN  978-1-4704-2194-6. 1156.
  3. ↑ Bestvina, M.; Fujiwara, K. (2002). " Cohomología acotada de subgrupos de grupos de clases de mapeo" . Geometry & Topology . 6 : 69–89 . arXiv : math/0012115 . doi : 10.2140/gt.2002.6.69 . MR 1914565. S2CID 11350501 .  
  4. ↑ Hamenstädt, U. (2008). "Grupos de cohomología e isometría acotados de espacios hiperbólicos" . Journal of the European Mathematical Society . 10 (2): 315– 349. arXiv : math/0507097 . doi : 10.4171/JEMS/112 . S2CID 16750741 . 
  5. ↑ Hull, M. (2016). "Pequeña cancelación en grupos hiperbólicos acilíndricos". Groups, Geometry, and Dynamics . 10 (4): 1077– 1119. arXiv : 1308.4345 . doi : 10.4171/GGD/377 . S2CID 118319683 . 
  6. ↑ Sisto, A. (2016). "Cuasiconvexidad de subgrupos incrustados hiperbólicamente". Mathematische Zeitschrift . 283 ( 3– 4): 649– 658. arXiv : 1310.7753 . doi : 10.1007/s00209-016-1615-z . S2CID 119174222 . 
  7. ↑ Sisto, A. (2018). "Elementos de contratación y paseos aleatorios". Journal für die reine und angewandte Mathematik . 2018 (742): 79– 114. arXiv : 1112.2666 . doi : 10.1515/crelle-2015-0093 . S2CID 118009555 . 
  8. ↑ Hull, M.; Osin, D. (2013). "Crecimiento de la conjugación de grupos finitamente generados" . Advances in Mathematics . 235 (1): 361– 389. arXiv : 1107.1826 . doi : 10.1016/j.aim.2012.12.007 .
  9. ↑ Caprace, PE; Sageev, M. (2011). "Rigidez de rango para complejos cúbicos CAT(0)". Análisis geométrico y funcional . 21 ( 4): 851– 891. arXiv : 1005.5687 . doi : 10.1007/s00039-011-0126-7 . MR 2827012. S2CID 119326592 .  
  10. 1 2 Minasyan, A.; Osin, D. (2015). "Hiperbolicidad acilíndrica de grupos que actúan sobre árboles". Mathematische Annalen . 362 ( 3– 4): 1055– 1105. arXiv : 1310.6289 . doi : 10.1007/s00208-014-1138-z . S2CID 55851214 . 

Lecturas adicionales