Ultralímite

En matemáticas , un ultralímite es una construcción geométrica que asigna un espacio métrico límite a una secuencia de espacios métricos.${\displaystyle X_{n}}$. El concepto captura el comportamiento límite de las configuraciones finitas en el${\displaystyle X_{n}}$Los ultralímites generalizan la convergencia de Gromov-Hausdorff en espacios métricos.

Un ultrafiltro , denotado como ω , en el conjunto de los números naturales.${\displaystyle \mathbb {N} }$es un conjunto de subconjuntos no vacíos de${\displaystyle \mathbb {N} }$(cuya función indicadora puede pensarse como una medida) que es cerrada bajo intersección finita, cerrada hacia arriba y también que, dado cualquier subconjunto X de${\displaystyle \mathbb {N} }$, contiene X o${\displaystyle \mathbb {N} \setminus X.}$ Un ultrafiltro en${\displaystyle \mathbb {N} }$es no principal si no contiene ningún conjunto finito .

En lo que sigue, ω es un ultrafiltro no principal en${\displaystyle \mathbb {N} }$.

Si${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$es una secuencia de puntos en un espacio métrico ( X , d ) y x ∈ X , entonces el punto x se llama un ω - límite de x _n , denotado como${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$, si por cada${\displaystyle \epsilon >0}$sostiene que

${\displaystyle \{n:d(x_{n},x)\leq \epsilon \}\in \omega .}$

Se observa que,

• Si existe un límite ω de una secuencia de puntos, es único.
• Si${\displaystyle x=\lim _{n\to \infty }x_{n}}$en el sentido estándar,${\displaystyle x=\lim _{\omega }x_{n}}$(Para que esta propiedad se cumpla, es fundamental que el ultrafiltro no sea principal).

Un hecho fundamental ^{[ 1 ]} establece que, si ( X , d ) es compacto y ω es un ultrafiltro no principal en${\displaystyle \mathbb {N} }$, el ω -límite de cualquier secuencia de puntos en X existe (y es necesariamente único). En particular, cualquier secuencia acotada de números reales tiene un ω -límite bien definido en${\displaystyle \mathbb {R} }$, ya que los intervalos cerrados son compactos .

Sea ω un ultrafiltro no principal en${\displaystyle \mathbb {N} }$. Sea ( X _n , d _n ) una secuencia de espacios métricos con puntos base especificados p _n ∈ X _n .

Una secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, donde x _n ∈ X _n , es admisible si la sucesión de números reales ( d _n ( x _n , p _n )) _n es acotada, es decir, si existe un número real positivo C tal que${\displaystyle d_{n}(x_{n},p_{n})\leq C}$para todo n . Denotemos por el conjunto de todas las secuencias admisibles${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

De la desigualdad triangular se deduce que para cualesquiera dos secuencias admisibles${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$y${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$La secuencia ( d _n ( x _n , y _n )) _n está acotada y, por lo tanto, existe un límite ω.${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} ):=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n})}$Definimos una relación de equivalencia.${\displaystyle \sim }$en el set${\displaystyle {\mathcal {A}}}$de todas las secuencias admisibles de la siguiente manera: para${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in {\mathcal {A}}}$, uno tiene${\displaystyle \mathbf {x} \sim \mathbf {y} }$si y solo si${\displaystyle {\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=0.}$

El ultralímite${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$con respecto a ω de la secuencia ( X _n , d _n , p _n ) es un espacio métrico${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})}$definido de la siguiente manera. ^{[ 2 ]}

Como conjunto, tomamos${\displaystyle X_{\infty }={\mathcal {A}}/{\sim }}$.

Para dos${\displaystyle \sim }$-clases de equivalencia${\displaystyle [\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]}$de secuencias admisibles${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$y${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$, definimos${\displaystyle d_{\infty }([\mathbf {x} ],[\mathbf {y} ]):={\hat {d}}_{\infty }(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\lim _{\omega }d_{n}(x_{n},y_{n}).}$Esta definición es independiente de la elección de elementos representativos. Entonces${\displaystyle d_{\infty }}$es una métrica en${\displaystyle X_{\infty }}$.

Supongamos que ( X _n , d _n ) es una sucesión de espacios métricos de diámetro uniformemente acotado, es decir, existe un número real C > 0 tal que diam( X _n ) ≤ C para todo${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$Entonces, para cualquier elección p _n de puntos base en X _n, cada secuencia${\displaystyle (x_{n})_{n},x_{n}\in X_{n}}$es admisible. Por lo tanto, en esta situación no es necesario especificar la elección de puntos base al definir un ultralímite, y el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty},d_{\infty})}$depende únicamente de ( X _n , d _n ) y de ω pero no depende de la elección de una secuencia de puntos base.${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$En este caso se escribe${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$.

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos geodésicos , entonces${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$También es un espacio métrico geodésico. ^{[ 1 ]}
2. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos completos , entonces${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$También es un espacio métrico completo. ^{[ 3 ] [ 4 ]}

En realidad, por construcción, el espacio límite siempre es completo, incluso cuando ( X _n , d _n ) es una secuencia repetitiva de un espacio ( X , d ) que no es completo. ^{[ 5 ]}

1. Si ( X _n , d _n ) son espacios métricos compactos que convergen a un espacio métrico compacto ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff (esto implica automáticamente que los espacios ( X _n , d _n ) tienen un diámetro uniformemente acotado), entonces el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$es isométrico a ( X , d ).
2. Supongamos que ( X _n , d _n ) son espacios métricos propios y que${\displaystyle p_{n}\in X_{n}}$son puntos base tales que la secuencia apuntada ( X _n , d _n , p _n ) converge a un espacio métrico propio ( X , d ) en el sentido de Gromov-Hausdorff . Entonces el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$es isométrico a ( X , d ). ^{[ 1 ]}
3. Sea κ ≤ 0 y sea ( X _n , d _n ) una sucesión de espacios CAT( κ )-métricos . Entonces el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$También es un espacio CAT( κ ). ^{[ 1 ]}
4. Sea ( X _n , d _n ) una sucesión de espacios CAT( κ _n )-métricos donde${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\kappa _{n}=-\infty .}$Luego el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n},p_{n})}$es un árbol real . ^{[ 1 ]}

Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal en${\displaystyle \mathbb {N} }$y sea p _n  ∈ X una secuencia de puntos base. Entonces, el ultralímite ω de la secuencia ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$se denomina cono asintótico de X con respecto a ω y${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$y se denota${\displaystyle Cono_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$. A menudo se toma la secuencia de puntos base como constante, p _n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por ${\displaystyle Cono_{\omega }(X,d)\,}$o simplemente${\displaystyle Cono_{\omega }(X)\,}$.

La noción de cono asintótico desempeña un papel importante en la teoría geométrica de grupos, ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes de cuasi-isometría de espacios métricos en general y de grupos finitamente generados en particular. ^{[ 6 ]} Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^{[ 7 ]}

1. Sea ( X , d ) un espacio métrico compacto y pongamos ( X _n , d _n )=( X , d ) para cada${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. Luego el ultralímite${\displaystyle (X_{\infty },d_{\infty })=\lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$es isométrico a ( X , d ).
2. Sean ( X , dX ₎ y ( Y , dY ₎ dos espacios métricos compactos distintos y sea ( Xn , dn ₎ una sucesión de espacios métricos tal que para cada n _{se cumple} que ( Xn , dn ) = ( X _, dX _{) o} ( Xn , dn ₎ = ( Y , dY ₎ .${\displaystyle A_{1}=\{n|(X_{n},d_{n})=(X,d_{X})\}\,}$y${\displaystyle A_{2}=\{n|(X_{n},d_{n})=(Y,d_{Y})\}\,}$. Por lo tanto, A ₁ , A ₂ son disjuntos y${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}=\mathbb {N} .}$ Por lo tanto, uno de A ₁ , A ₂ tiene medida ω 1 y el otro tiene medida ω 0. Por lo tanto${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$es isométrico a ( X , d _X ) si ω ( A ₁ )=1 y${\displaystyle \lim _{\omega }(X_{n},d_{n})}$es isométrico a ( Y , d _Y ) si ω ( A ₂ )=1. Esto muestra que el ultralímite puede depender de la elección de un ultrafiltro ω .
3. Sea ( M , g ) una variedad riemanniana compacta y conexa de dimensión m , donde g es una métrica riemanniana en M . Sea d la métrica en M correspondiente a g , de modo que ( M , d ) es un espacio métrico geodésico . Elija un punto base p ∈ M . Entonces el ultralímite (e incluso el límite ordinario de Gromov-Hausdorff )${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$es isométrico al espacio tangente T _p M de M en p con la función de distancia en T _p M dada por el producto interno g(p) . Por lo tanto, el ultralímite${\displaystyle \lim _{\omega }(M,nd,p)}$es isométrico al espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$con la métrica euclidiana estándar . ^{[ 8 ]}
4. Dejar${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$Sea el espacio euclidiano estándar m -dimensional con la métrica euclidiana estándar. Entonces el cono asintótico${\displaystyle Cono_{\omega }(\mathbb {R} ^{m},d)}$es isométrico a${\displaystyle (\mathbb {R} ^{m},d)}$.
5. Dejar${\displaystyle (\mathbb {Z} ^{2},d)}$Sea la red entera bidimensional donde la distancia entre dos puntos de la red está dada por la longitud del camino de arista más corto entre ellos en la cuadrícula. Entonces el cono asintótico${\displaystyle Cono_{\omega }(\mathbb {Z} ^{2},d)}$es isométrico a${\displaystyle (\mathbb {R} ^{2},d_{1})}$dónde${\displaystyle d_{1}\,}$es la métrica de taxi (o métrica L ¹ ) en ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$.
6. Sea ( X , d ) un espacio métrico geodésico δ -hiperbólico para algún δ ≥0. Entonces el cono asintótico${\displaystyle Cono_{\omega }(X)\,}$es un árbol real . ^{[ 1 ] [ 9 ]}
7. Sea ( X , d ) un espacio métrico de diámetro finito. Entonces el cono asintótico${\displaystyle Cono_{\omega }(X)\,}$es un solo punto.
8. Sea ( X , d ) un espacio CAT(0)-métrico . Entonces el cono asintótico${\displaystyle Cono_{\omega }(X)\,}$También es un espacio CAT(0). ^{[ 1 ]}

• John Roe. Lecciones sobre geometría gruesa. Sociedad Matemática Americana , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2; Cap. 7.
• L. Van den Dries, A.J. Wilkie, Sobre el teorema de Gromov relativo a los grupos de crecimiento polinomial y la lógica elemental . Journal of Algebra , vol. 89 (1984), págs.  349-374.
• M. Kapovich y B. Leeb. Sobre conos asintóticos y clases de cuasi-isometría de grupos fundamentales de 3-variedades , Análisis Geométrico y Funcional , vol. 5 (1995), n.º 3, págs.  582-603 .
• M. Kapovich. Variedades hiperbólicas y grupos discretos. Birkhäuser, 2000. ISBN 978-0-8176-3904-4; Cap. 9.
• Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir), Espacios graduados en árboles y conos asintóticos de grupos. Topology , Volumen 44 (2005), n.º 5, págs.  959–1058.
• M. Gromov. Estructuras métricas para espacios riemannianos y no riemannianos. Progress in Mathematics, vol. 152, Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-3898-9; Cap. 3.
• B. Kleiner y B. Leeb, Rigidez de las cuasi-isometrías para espacios simétricos y edificios euclidianos. Publications Mathématiques de L'IHÉS . Volumen 86, número 1, diciembre de 1997, pp.  115–197.

• teoría geométrica de grupos