Espacio anti-de Sitter

Una variedad lorentziana de máxima simetría es un espaciotiempo en el que ningún punto del espacio y el tiempo puede distinguirse de otro, y (al ser lorentziana) la única forma de distinguir una dirección (o tangente a una trayectoria en un punto del espaciotiempo) es si es espacial , lumínica o temporal . El espacio de la relatividad especial ( espacio de Minkowski ) es un ejemplo.

Una curvatura escalar constante significa una flexión del espaciotiempo similar a la gravedad de la relatividad general, cuya curvatura se describe mediante un único número que es el mismo en todas partes del espaciotiempo en ausencia de materia o energía.

La curvatura negativa significa una curvatura hiperbólica, como la superficie de una silla de montar o la superficie del cuerno de Gabriel , similar a la de una campana de trompeta .

La relatividad general es una teoría sobre la naturaleza del tiempo, el espacio y la gravedad, en la que la gravedad es una curvatura del espacio y el tiempo que resulta de la presencia de materia o energía. La energía y la masa son equivalentes (como se expresa en la ecuación E  = mc² ). Los valores de espacio y tiempo se pueden relacionar con unidades de tiempo y espacio ^, respectivamente, multiplicando o dividiendo el valor por la velocidad de la luz (por ejemplo, segundos por metros por segundo es igual a metros). 

Una analogía común se refiere a cómo una hendidura en una lámina plana de goma, causada por un objeto pesado sobre ella, influye en la trayectoria de pequeños objetos que ruedan cerca, provocando que se desvíen hacia el interior de la trayectoria que habrían seguido si el objeto pesado no hubiera estado presente. Por supuesto, en la relatividad general, tanto los objetos pequeños como los grandes influyen mutuamente en la curvatura del espacio-tiempo.

La fuerza de atracción gravitatoria creada por la materia se debe a una curvatura negativa del espacio-tiempo, representada en la analogía de la lámina de goma por la hendidura con curvatura negativa (en forma de trompeta) que presenta la lámina.

Una característica clave de la relatividad general es que describe la gravedad no como una fuerza convencional como el electromagnetismo, sino como un cambio en la geometría del espacio-tiempo que resulta de la presencia de materia o energía.

La analogía anterior describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en la relatividad general, proyectada en un superespacio tridimensional donde la tercera dimensión corresponde al efecto de la gravedad. Una forma geométrica de concebir la relatividad general describe los efectos de la gravedad en el espacio tetradimensional del mundo real, proyectándolo geométricamente en un superespacio pentadimensional, donde la quinta dimensión corresponde a la curvatura del espacio-tiempo producida por la gravedad y sus efectos en la relatividad general.

Como resultado, en la relatividad general, la conocida ecuación newtoniana de la gravedad${\displaystyle \textstyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\ }$La ecuación (es decir, la atracción gravitatoria entre dos objetos es igual a la constante gravitatoria multiplicada por el producto de sus masas dividido por el cuadrado de la distancia entre ellos) es simplemente una aproximación de los efectos gravitatorios observados en la relatividad general. Sin embargo, esta aproximación resulta imprecisa en situaciones físicas extremas, como velocidades relativistas (la luz, en particular) o masas muy grandes y densas.

En la relatividad general, la gravedad es causada por la curvatura ("distorsión") del espacio-tiempo. Es un error común atribuir la gravedad al espacio curvo; ni el espacio ni el tiempo tienen un significado absoluto en la relatividad. Sin embargo, para describir la gravedad débil, como en la Tierra, basta con considerar la distorsión del tiempo en un sistema de coordenadas particular. Percibimos la gravedad en la Tierra de forma muy notoria, mientras que la distorsión del tiempo relativista requiere instrumentos de precisión para ser detectada. La razón por la que no nos percatamos de los efectos relativistas en nuestra vida cotidiana es el enorme valor de la velocidad de la luz ( c =aproximadamente 300 000  km/s ), lo que nos hace percibir el espacio y el tiempo como entidades diferentes.

El espacio de De Sitter es una solución a la relatividad general en la que el espaciotiempo (el espacio dS) tiene una curvatura positiva en ausencia de materia o energía. Esto es análogo a la relación entre la geometría euclidiana y la geometría no euclidiana .

La constante cosmológica de la relatividad general modela la curvatura intrínseca del espaciotiempo en ausencia de materia o energía. Esto corresponde a un vacío con densidad de energía y presión. Esta geometría del espaciotiempo da lugar a geodésicas temporales paralelas momentáneas ^{[ b ]} que divergen, con secciones espaciales de curvatura positiva.

Un  espacio anti-de Sitter en la relatividad general es similar a un espacio de De Sitter , excepto que el signo de la curvatura del espaciotiempo ha cambiado. En el  espacio anti-de Sitter, en ausencia de materia o energía, la curvatura de las secciones espaciales es negativa, lo que corresponde a una geometría hiperbólica , y las geodésicas temporales momentáneamente paralelas ^{[ b ]} eventualmente se intersecan. Esto corresponde a una constante cosmológica negativa, donde el espacio vacío mismo tiene una densidad de energía negativa pero una presión positiva, a diferencia del modelo ΛCDM estándar de nuestro propio universo para el cual las observaciones de supernovas distantes indican una constante cosmológica positiva, que corresponde (asintóticamente en el futuro) al espacio de De Sitter .

En un  espacio anti-de Sitter, al igual que en un  espacio de Sitter, la curvatura inherente del espaciotiempo corresponde a la constante cosmológica.

El  espacio anti-de Sitter AdS ₂ es también el  espacio de Sitter dS ₂ mediante un intercambio de las etiquetas de tipo temporal y tipo espacial. ^{[ 5 ]} Este cambio de etiquetas invierte el signo de la curvatura, que convencionalmente se referencia a las direcciones que se etiquetan como de tipo espacial.

La analogía anterior describe la curvatura de un espacio bidimensional causada por la gravedad en un espacio plano ambiente de una dimensión superior. De manera similar, los espacios de De  Sitter y anti-De  Sitter (curvos) de cuatro dimensiones pueden incrustarse en un espacio pseudoriemanniano (plano) de cinco dimensiones. Esto permite determinar directamente las distancias y los ángulos dentro del espacio incrustado a partir de los del espacio plano de cinco dimensiones.

El resto de este artículo explica los detalles de estos conceptos con una descripción matemática y física mucho más rigurosa y precisa. Si bien los seres humanos no tienen facilidad para visualizar objetos en cinco o más dimensiones, las ecuaciones matemáticas no presentan este mismo desafío y pueden representar conceptos pentadimensionales de una manera tan apropiada como los métodos que utilizan para describir conceptos tridimensionales y cuatridimensionales, más fáciles de visualizar.

Existe una implicación particularmente importante en la descripción matemática más precisa que difiere de la descripción heurística basada en analogías del  espacio de De Sitter y  el espacio anti-De Sitter mencionada anteriormente. La descripción matemática del  espacio anti-De Sitter generaliza la idea de curvatura. En esta descripción, la curvatura es una propiedad de un punto particular y puede desvincularse de una superficie invisible a la que se fusionan los puntos curvos en el espacio-tiempo. Así, por ejemplo, conceptos como las singularidades (la más conocida en la relatividad general es el agujero negro ), que no pueden expresarse completamente en la geometría del mundo real, pueden corresponder a estados particulares de una ecuación matemática.

La descripción matemática completa también capta algunas distinciones sutiles que se hacen en la relatividad general entre dimensiones espaciales y dimensiones temporales.

La incrustación anterior tiene curvas temporales cerradas ; por ejemplo, la trayectoria parametrizada por t ₁ = α sin( τ ) , t ₂ = α cos( τ ) , y todas las demás coordenadas cero, es una de esas curvas. Dichas curvas pueden eliminarse pasando al espacio de recubrimiento universal , "desenrollando" efectivamente la incrustación. Una situación similar ocurre con la pseudoesfera , que se enrolla sobre sí misma aunque el plano hiperbólico no lo hace; como resultado, contiene líneas rectas que se autointersecan (geodésicas) mientras que el plano hiperbólico no. Algunos autores definen  el espacio anti-de Sitter como equivalente a la cuasiesfera incrustada misma, mientras que otros lo definen como equivalente al recubrimiento universal de la incrustación.

Si no se toma la cobertura universal, el espacio anti-de Sitter ( p , 1)  tiene como grupo de isometrías O( p , 2) . Si se toma la cobertura universal, el grupo de isometrías es una cobertura de O( p , 2) . Esto se comprende mejor definiendo el espacio anti-de Sitter como un espacio simétrico , utilizando la construcción de espacio cociente que se muestra a continuación. 

La conjetura no probada de la "inestabilidad de AdS", introducida por los físicos Piotr Bizon y Andrzej Rostworowski en 2011, afirma que perturbaciones arbitrariamente pequeñas de ciertas formas en AdS conducen a la formación de agujeros negros. ^{[ 6 ]} El matemático Georgios Moschidis demostró que, dada la simetría esférica, la conjetura se cumple para los casos específicos del sistema de polvo nulo de Einstein con un espejo interno (2017) y el sistema de Vlasov sin masa de Einstein (2018). ^{[ 7 ] [ 8 ]}

${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$está parametrizado en coordenadas globales por los parámetros${\displaystyle (\tau ,\rho ,\theta ,\varphi _{1},\ldots ,\varphi _{n-3})}$como:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cosh \rho \cos \tau \\X_{2}=\alpha \cosh \rho \sin \tau \\X_{i}=\alpha \sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1\end{cases}}}$,

dónde${\displaystyle {\hat {x}}_{i}}$parametrizar un${\displaystyle S^{n-2}}$esfera , y en términos de las coordenadas${\displaystyle \varphi _{i}}$ellos son${\displaystyle {\hat {x}}_{1}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \sin \varphi _{n-3}}$,${\displaystyle {\hat {x}}_{2}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-3}}$,${\displaystyle {\hat {x}}_{3}=\sin \theta \sin \varphi _{1}\ldots \cos \varphi _{n-2}}$y así sucesivamente. El${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$La métrica en estas coordenadas es:

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left(-\cosh ^{2}\rho \,d\tau ^{2}+\,d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho \,d\Omega _{n-2}^{2}\right)}$

dónde${\displaystyle \tau \in [0,2\pi ]}$y${\displaystyle \rho \in \mathbb {R} ^{+}}$. Considerando la periodicidad del tiempo${\displaystyle \tau }$y para evitar curvas temporales cerradas (CTC), se debe tomar la cobertura universal.${\displaystyle \tau \in \mathbb {R} }$En el límite${\displaystyle \rho \to \infty }$uno puede aproximarse al límite de este espacio-tiempo usualmente llamado${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$límite conforme.

Con las transformaciones${\displaystyle r\equiv \alpha \sinh \rho }$y${\displaystyle t\equiv \alpha \tau }$podemos tener lo habitual${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$métrica en coordenadas globales:

${\displaystyle ds^{2}=-f(r)\,dt^{2}+{\frac {1}{f(r)}}\,dr^{2}+r^{2}\,d\Omega _{n-2}^{2}}$

dónde${\displaystyle f(r)=1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}}$

Si tomamos la formulación del espacio AdS de la sección Definición y propiedades y convertimos las coordenadas${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$a coordenadas polares donde la coordenada radial es${\displaystyle x_{0}}$y la coordenada angular es${\displaystyle \varphi }$, de tal manera que${\displaystyle t_{1}=x_{0}\cos \varphi }$y${\displaystyle t_{2}=x_{0}\sin \varphi }$, donde el espacio es periódico en${\displaystyle \varphi }$con el período${\displaystyle 2\pi }$, la cuasiesfera se convierte en

${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}x_{i}^{2}-x_{0}^{2}=-\alpha ^{2},}$

y la métrica se convierte en

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i=1}^{p}dx_{i}^{2}-dx_{0}^{2}-(x_{0}d\varphi )^{2}.}$

Observamos que la cuasiesfera adopta la misma ecuación que la variedad en el modelo hiperboloide del espacio hiperbólico p- dimensional, mientras que la métrica también adopta la ecuación de la métrica en el modelo hiperboloide, excepto por el término adicional.${\displaystyle -(x_{0}d\varphi )^{2}}$Esto nos indica que la cuasi-esfera es simétrica traslacionalmente en el${\displaystyle \varphi }$dirección, y que se curva en la cuasiesfera con una fija${\displaystyle \varphi }$Los valores son similares al espacio, mientras que${\displaystyle \varphi }$En sí mismo es temporal, donde el tiempo adecuado${\displaystyle \tau }$evoluciona más rápido cuanto mayor sea${\displaystyle x_{0}}$es como${\displaystyle \varphi }$aumenta si todas las demás coordenadas están fijas, es decir

${\displaystyle \left.{\frac {d\tau }{d\varphi }}\right|_{x_{0},x_{1},\dots ,x_{p}}=x_{0}.}$

Si escribimos${\displaystyle \varphi }$como función de${\displaystyle t_{1}}$y${\displaystyle t_{2}}$, vemos que el punto de ramificación está en${\displaystyle t_{1}=t_{2}=0}$, pero dado que la restricción impuesta por la cuasi-esfera requiere que${\displaystyle t_{1}^{2}+t_{2}^{2}\geq 1}$, el punto de ramificación existe fuera de la cuasi-esfera, y por lo tanto podemos —al igual que en coordenadas globales— desenvolver el espacio en su cubierta universal eliminando el requisito de que el espacio sea periódico en${\displaystyle \varphi }$y de esa forma evitar curvas temporales cerradas (CTC).

Mediante la siguiente parametrización:

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}+{\vec {x}}^{2}-t^{2}\right)\right)\\X_{2}={\frac {r}{\alpha }}t\\X_{i}={\frac {r}{\alpha }}x_{i}\qquad i\in \{3,\ldots ,n\}\\X_{n+1}={\frac {\alpha ^{2}}{2r}}\left(1-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{4}}}\left(\alpha ^{2}-{\vec {x}}^{2}+t^{2}\right)\right)\end{cases}},}$

el${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$La métrica en las coordenadas de Poincaré es:

${\displaystyle ds^{2}=-{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,dt^{2}+{\frac {\alpha ^{2}}{r^{2}}}\,dr^{2}+{\frac {r^{2}}{\alpha ^{2}}}\,d{\vec {x}}^{2}}$

en el cual${\displaystyle 0\leq r}$La superficie de codimensión 2${\displaystyle r=0}$es el horizonte de asesinatos de Poincaré y${\displaystyle r\to \infty }$aproximaciones al límite de${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$espaciotiempo. Por lo tanto, a diferencia de las coordenadas globales, las coordenadas de Poincaré no cubren todo${\displaystyle \mathrm {AdS} _{n}}$colector . Usando${\displaystyle u\equiv {\frac {r}{\alpha ^{2}}}}$Esta métrica se puede escribir de la siguiente manera:

${\displaystyle ds^{2}=\alpha ^{2}\left({\frac {\,du^{2}}{u^{2}}}+u^{2}\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right)}$

dónde${\displaystyle x^{\mu }=\left(t,{\vec {x}}\right)}$. Por la transformación${\displaystyle z\equiv {\frac {1}{u}}}$También se puede escribir como:

${\displaystyle ds^{2}={\frac {\alpha ^{2}}{z^{2}}}\left(\,dz^{2}+\,dx_{\mu }\,dx^{\mu }\right).}$

Estas últimas coordenadas son las que se suelen usar en la correspondencia AdS/CFT , con el límite de AdS en${\displaystyle z\to 0}$.

Dado que AdS es máximamente simétrico, también es posible expresarlo en una forma espacialmente homogénea e isotrópica como los espaciotiempos FRW (véase la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker ). La geometría espacial debe ser negativamente curva (abierta) y la métrica es

${\displaystyle ds^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sin ^{2}(t/\alpha )dH_{n-1}^{2},}$

dónde${\displaystyle dH_{n-1}^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\rho d\Omega _{n-2}^{2}}$es la métrica estándar en el${\displaystyle (n-1)}$Plano hiperbólico de dimensión. Por supuesto, esto no cubre todo AdS. Estas coordenadas están relacionadas con las coordenadas de incrustación global mediante

${\displaystyle {\begin{cases}X_{1}=\alpha \cos(t/\alpha )\\X_{2}=\alpha \sin(t/\alpha )\cosh \rho \\X_{i}=\alpha \sin(t/\alpha )\sinh \rho \,{\hat {x}}_{i}\qquad 3\leq i\leq n+1\end{cases}}}$

dónde${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$parametrizar el${\displaystyle S^{n-1}}$.

Dejar

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{1}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\cosh \xi ,\\X_{2}&=\alpha \cosh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right),\\X_{3}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\cosh \left({\frac {t}{\alpha }}\right),\\X_{i}&=\alpha \sinh \left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)\sinh \left({\frac {t}{\alpha }}\right)\sinh \xi \,{\hat {x}}_{i},\qquad 4\leq i\leq n+1\end{aligned}}}$

dónde${\displaystyle \sum _{i}{\hat {x}}_{i}^{2}=1}$parametrizar el${\displaystyle S^{n-3}}$. Entonces la métrica dice:

${\displaystyle ds^{2}=d\rho ^{2}+\sinh ^{2}\left({\frac {\rho }{\alpha }}\right)ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2},}$

dónde

${\displaystyle ds_{dS,\alpha ,n-1}^{2}=-dt^{2}+\alpha ^{2}\sinh ^{2}\left({\frac {t}{\alpha }}\right)dH_{n-2}^{2}}$

es la métrica de un${\displaystyle n-1}$espacio de De Sitter dimensional  con radio de curvatura${\displaystyle \alpha }$en coordenadas de corte abierto. La métrica hiperbólica viene dada por:

${\displaystyle dH_{n-2}^{2}=d\xi ^{2}+\sinh ^{2}(\xi )d\Omega _{n-3}^{2}.}$

Métrica AdS _n con radio${\displaystyle \alpha }$es uno de los espaciotiempos n -dimensionales máximamente simétricos. Posee las siguientes propiedades geométricas:

• tensor de curvatura de Riemann

  ${\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(g_{\mu \alpha }g_{\nu \beta }-g_{\mu \beta }g_{\nu \alpha })}$

• Curvatura de Ricci

  ${\displaystyle R_{\mu \nu }={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}(n-1)g_{\mu \nu }}$

• Curvatura escalar

  ${\displaystyle R={\frac {-1}{\alpha ^{2}}}n(n-1)}$