J-homomorfismo

En matemáticas , el J -homomorfismo es una aplicación de los grupos de homotopía de los grupos ortogonales especiales a los grupos de homotopía de las esferas . Fue definido por George W. Whitehead ( 1942 ) , extendiendo una construcción de Heinz Hopf ( 1935 ) .  

El homomorfismo original de Whitehead se define geométricamente y da como resultado un homomorfismo.

${\displaystyle J\colon \pi _{r}(\mathrm {SO} (q))\to \pi _{r+q}(S^{q})}$

de grupos abelianos para enteros q y${\displaystyle r\geq 2}$. (Hopf definió esto para el caso especial${\displaystyle q=r+1}$.)

El J -homomorfismo se puede definir de la siguiente manera. Un elemento del grupo ortogonal especial SO( q ) puede considerarse como una aplicación.

${\displaystyle S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

y el grupo de homotopía${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$) consiste en clases de homotopía de mapas de la r -esfera a SO( q ). Por lo tanto, un elemento de${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$puede representarse mediante un mapa

${\displaystyle S^{r}\times S^{q-1}\rightarrow S^{q-1}}$

Aplicando la construcción de Hopf a esto se obtiene un mapa

${\displaystyle S^{r+q}=S^{r}*S^{q-1}\rightarrow S(S^{q-1})=S^{q}}$

en${\displaystyle \pi _{r+q}(S^{q})}$, que Whitehead definió como la imagen del elemento de${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} (q))}$bajo el homomorfismo J.

Tomando un límite cuando q tiende a infinito se obtiene el J -homomorfismo estable en la teoría de homotopía estable :

${\displaystyle J\colon \pi _ {r}(\mathrm {SO} )\to \pi _ {r}^{S},}$

dónde${\displaystyle \mathrm {SO} }$es el grupo ortogonal especial infinito, y el lado derecho es el r -ésimo tallo estable de los grupos de homotopía estables de esferas .

La imagen del J- homomorfismo fue descrita por Frank Adams ( 1966 ) , asumiendo la conjetura de Adams (1963) que fue demostrada por Daniel Quillen ( 1971 ) , de la siguiente manera. El grupo  ${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$viene dada por la periodicidad de Bott . Siempre es cíclica ; y si r es positivo, es de orden 2 si r es 0 o 1 módulo 8, infinita si r es 3 o 7 módulo 8, y de orden 1 en caso contrario ( Switzer 1975 , p. 488) . En particular, la imagen del J -homomorfismo estable es cíclica. Los grupos de homotopía estables ${\displaystyle \pi _{r}^{S}}$son la suma directa de la imagen (cíclica) del J- homomorfismo y el núcleo del e-invariante de Adams ( Adams 1966 ) , un homomorfismo de los grupos de homotopía estables a${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$. Si r es 0 o 1 mod 8 y positivo, el orden de la imagen es 2 (por lo que en este caso el J -homomorfismo es inyectivo ). Si r es 3 o 7 mod 8, la imagen es un grupo cíclico de orden igual al denominador de${\displaystyle B_{2n}/4n}$, dónde${\displaystyle B_{2n}}$es un número de Bernoulli . En los casos restantes donde r es 2, 4, 5 o 6 mod 8 la imagen es trivial porque${\displaystyle \pi _{r}(\operatorname {SO} )}$es trivial.

Michael Atiyah ( 1961 ) introdujo el grupo J ( X ) de un espacio X , que para X una esfera es la imagen del J -homomorfismo en una dimensión adecuada. 

El cokernel del J- homomorfismo${\displaystyle J\colon \pi _ {n}(\mathrm {SO} )\to \pi _ {n}^{S}}$aparece en el grupo Θ _n de clases de h -cobordismo de n- esferas de homotopía orientada ( Kosinski (1992) ).

• Atiyah, Michael Francis (1961), "Complejos de Thom", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , Tercera Serie, 11 : 291–310 , doi : 10.1112/plms/s3-11.1.291 , MR 0131880 
• Adams, JF (1963), "Sobre los grupos J(X) I", Topology , 2 (3): 181, doi : 10.1016/0040-9383(63)90001-6
• Adams, JF (1965a), "Sobre los grupos J(X) II", Topology , 3 (2): 137, doi : 10.1016/0040-9383(65)90040-6
• Adams, JF (1965b), "Sobre los grupos J(X) III", Topology , 3 (3): 193, doi : 10.1016/0040-9383(65)90054-6
• Adams, JF (1966), "Sobre los grupos J(X) IV", Topology , 5 : 21, doi : 10.1016/0040-9383(66)90004-8. "Corrección", Topología , 7 (3): 331, 1968, doi : 10.1016/0040-9383(68)90010-4
• Hopf, Heinz (1935), "Über die Abbildungen von Sphären auf Sphäre niedrigerer Dimension" , Fundamenta Mathematicae , 25 : 427– 440
• Kosinski, Antoni A. (1992), Differential Manifolds , San Diego, CA: Academic Press , pp. 195 y ss ., ISBN  0-12-421850-4
• Milnor, John W. (2011), "Topología diferencial cuarenta y seis años después" (PDF) , Notices of the American Mathematical Society , 58 ( 6): 804–809
• Quillen, Daniel (1971), "La conjetura de Adams", Topology , 10 : 67–80 , doi : 10.1016/0040-9383(71)90018-8 , MR 0279804 
• Switzer, Robert M. (1975), Topología algebraica: homotopía y homología , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-06758-2
• Whitehead, George W. (1942), "Sobre los grupos de homotopía de esferas y grupos de rotación", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 43 (4): 634– 640, doi : 10.2307/1968956 , JSTOR 1968956 , MR 0007107  
• Whitehead, George W. (1978), Elementos de la teoría de la homotopía , Berlín: Springer , ISBN 0-387-90336-4, MR 0516508 

• J-homomorfismo en el laboratorio n