Grupos homotópicos de esferas

Una esfera ordinaria en el espacio tridimensional —la superficie, no la bola sólida— es solo un ejemplo de lo que significa una esfera en topología. La geometría define una esfera de forma rígida, como una figura geométrica. Aquí presentamos algunas alternativas.

• Superficie implícita : x ² ₀ + x ² ₁ + x ² ₂ = 1

^{Este es el conjunto de puntos en el} espacio euclidiano tridimensional que se encuentran exactamente a una unidad del origen. Se denomina 2-esfera, S₂ , por ^las razones que se explican a continuación. La misma idea se aplica a cualquier dimensión n ; la ecuación _x²₀ ⁺ x²₁ + ... ₊ ^x²ₙ = 1 _produce la n - esfera como un objeto geométrico en el espacio ( ⁿ + 1 )-dimensional. Por ejemplo, la 1-esfera S₁ es un círculo . ^{[ 3 ]}

• Disco con borde colapsado : escrito en topología como D ² / S ¹

Esta construcción pasa de la geometría a la topología pura. El _disco ^{D₂ es} la región contenida por un círculo, descrita por la desigualdad ^x₂₀ + x₂₁ ≤ 1 , y su borde (o " ^{límite") es el círculo S₁, descrito por la igualdad x₂₀ + x₂₁} = 1. Si ^un globo se pincha y se extiende , _produce un disco; esta construcción repara el pinchazo, como si se tirara de una cuerda. La _barra ^inclinada _, pronunciada "módulo", significa tomar el espacio topológico de la izquierda (el disco) y unir en él todos los puntos de la derecha (el círculo). La región es bidimensional, razón por la cual la topología llama al espacio topológico resultante una 2-esfera. Generalizado, ^{Dₙ /} Sₙ₋₁ produce Sₙ . Por ^ejemplo , D₁ es un segmento de línea ^{, y la construcción une sus extremos} para formar un círculo. Una descripción equivalente es que el límite de un disco n -dimensional está pegado a un punto, produciendo un complejo CW . ^{[ 4 ]}

• Suspensión del ecuador : escrita en topología como Σ S ¹

Esta construcción, aunque simple, es de gran importancia teórica. Tomemos el círculo S ¹ como el ecuador y desplacemos cada punto sobre él a un punto superior (el Polo Norte), produciendo el hemisferio norte, y a un punto inferior (el Polo Sur), produciendo el hemisferio sur. Para cada entero positivo n , la n -esfera x ² ₀ + x ² ₁ + ⋯ + x ² _n = 1 tiene como ecuador la ( n − 1 )-esfera x ² ₀ + x ² ₁ + ⋯ + x ² _{n −1} = 1 , y la suspensión Σ S ^{n −1} produce S ⁿ . ^{[ 5 ]}

Algunas teorías requieren seleccionar un punto fijo en la esfera, llamando al par (esfera, punto) esfera puntiaguda . Para algunos espacios la elección importa, pero para una esfera todos los puntos son equivalentes, por lo que la elección es una cuestión de conveniencia. ^{[ 6 ]} Para esferas construidas como una suspensión repetida, el punto (1, 0, 0, ..., 0) , que está en el ecuador de todos los niveles de suspensión, funciona bien; para el disco con borde colapsado, el punto resultante del colapso del borde es otra elección obvia.

La característica distintiva de un espacio topológico es su estructura de continuidad, formalizada en términos de conjuntos abiertos o vecindades . Una aplicación continua es una función entre espacios que preserva la continuidad. Una homotopía es un camino continuo entre aplicaciones continuas; dos aplicaciones conectadas por una homotopía se denominan homotópicas. ^{[ 7 ]} La idea común a todos estos conceptos es descartar las variaciones que no afectan los resultados de interés. Un ejemplo práctico importante es el teorema de los residuos del análisis complejo , donde las "curvas cerradas" son aplicaciones continuas del círculo al plano complejo, y donde dos curvas cerradas producen el mismo resultado integral si son homotópicas en el espacio topológico formado por el plano menos los puntos de singularidad. ^{[ 8 ]}

El primer grupo de homotopía, o grupo fundamental , π ₁ ( X ) de un espacio topológico ( conectado por caminos ) X comienza con aplicaciones continuas de un círculo con un punto ( S ¹ , s ) al espacio con un punto ( X , x ) , donde las aplicaciones de un par a otro transforman s en x . Estas aplicaciones (o, equivalentemente, curvas cerradas ) se agrupan en clases de equivalencia basadas en la homotopía (manteniendo fijo el "punto base" x ), de modo que dos aplicaciones pertenecen a la misma clase si son homotópicas. Así como se distingue un punto, también se distingue una clase: todas las aplicaciones (o curvas) homotópicas a la aplicación constante S ¹ ↦ x se denominan homotópicas nulas. Las clases se convierten en un grupo algebraico abstracto con la introducción de la suma, definida mediante un "pinzamiento del ecuador". Este pinzamiento transforma el ecuador de una esfera con un punto (en este caso, un círculo) en el punto distinguido, produciendo un " ramo de esferas ": dos esferas con un punto unidas en su punto distinguido. Los dos mapas que se van a sumar representan las esferas superior e inferior por separado, coincidiendo en el punto distinguido, y la composición con el pellizco da como resultado el mapa suma. ^{[ 9 ]}

De forma más general, el i -ésimo grupo de homotopía, π _i ( X ) comienza con la i- esfera apuntada ( S ⁱ , s ) , y en lo demás sigue el mismo procedimiento. La clase homotópica nula actúa como la identidad de la suma de grupos, y para X igual a S ⁿ (para n positivo ) —los grupos de homotopía de esferas— los grupos son abelianos y finitamente generados . Si para algún i todas las aplicaciones son homotópicas nulas, entonces el grupo π _i consta de un solo elemento y se llama grupo trivial .

Una aplicación continua entre dos espacios topológicos induce un homomorfismo de grupos entre los grupos de homotopía asociados. En particular, si la aplicación es una biyección continua con una función inversa continua (un homeomorfismo ), de modo que los dos espacios tienen la misma topología, entonces sus grupos de homotopía i -ésimos son isomorfos para todo i . Sin embargo, el plano real tiene exactamente los mismos grupos de homotopía que un punto aislado (al igual que un espacio euclidiano de cualquier dimensión), y el plano real sin un punto tiene los mismos grupos que un círculo, por lo que los grupos por sí solos no son suficientes para distinguir espacios. Si bien la pérdida de capacidad de discriminación es lamentable, también puede facilitar ciertos cálculos.

El caso más simple se refiere a las formas en que un círculo (1-esfera) puede envolver otro círculo. Esto se puede visualizar enrollando una goma elástica alrededor del dedo: se puede enrollar una, dos, tres veces, etc. El enrollamiento puede ser en cualquiera de las dos direcciones, y los enrollamientos en direcciones opuestas se cancelarán después de una deformación. El grupo de homotopía π ₁ ( S ¹ ) es, por lo tanto, un grupo cíclico infinito , e isomorfo al grupo Z de los enteros bajo la suma: una clase de homotopía se identifica con un entero contando el número de veces que una aplicación en la clase de homotopía envuelve el círculo. Este entero también puede pensarse como el número de vueltas de un bucle alrededor del origen en el plano . ^{[ 10 ]}

La identificación (un isomorfismo de grupo ) del grupo de homotopía con los enteros se escribe a menudo como una igualdad: así, π ₁ ( S ¹ ) = Z . ^{[ 11 ]}

Las aplicaciones de una 2-esfera a otra 2-esfera pueden visualizarse como envolver una bola con una bolsa de plástico y luego sellarla. La bolsa sellada es topológicamente equivalente a una 2-esfera, al igual que la superficie de la bola. La bolsa puede envolverse más de una vez retorciéndola y volviéndola a envolver sobre la bola. (No se requiere que la aplicación continua sea inyectiva , por lo que la bolsa puede atravesarse a sí misma). El giro puede ser en una de dos direcciones y los giros opuestos pueden cancelarse por deformación. El número total de giros después de la cancelación es un número entero, llamado grado de la aplicación. Como en el caso de las aplicaciones del círculo al círculo, este grado identifica el grupo de homotopía con el grupo de los enteros, Z.

Estos dos resultados se generalizan: para todo n > 0 , π _n ( S ⁿ ) = Z (ver más abajo ).

Cualquier mapeo continuo de un círculo a una esfera ordinaria puede deformarse continuamente a un mapeo de un punto, por lo que su clase de homotopía es trivial. Una forma de visualizar esto es imaginar una banda elástica enrollada alrededor de una pelota sin fricción: la banda siempre puede deslizarse fuera de la pelota. Por lo tanto, el grupo de homotopía es un grupo trivial , con un solo elemento, el elemento identidad, y por lo tanto puede identificarse con el subgrupo de Z que consta únicamente del número cero. Este grupo se suele denotar por 0. Sin embargo, demostrar esto rigurosamente requiere más cuidado, debido a la existencia de curvas que llenan el espacio . ^{[ 12 ]}

Este resultado se generaliza a dimensiones superiores. Todas las aplicaciones de una esfera de menor dimensión a una esfera de mayor dimensión son igualmente triviales: si i < n , entonces π _i ( S ⁿ ) = 0. Esto se puede demostrar como consecuencia del teorema de aproximación celular . ^{[ 13 ]}

Todos los casos interesantes de grupos de homotopía de esferas implican mapeos de una esfera de dimensión superior a una de dimensión inferior. Desafortunadamente, el único ejemplo que se puede visualizar fácilmente no es interesante: no hay mapeos no triviales de la esfera ordinaria al círculo. Por lo tanto, π ₂ ( S ¹ ) = 0 . Esto se debe a que S ¹ tiene la recta real como su recubrimiento universal que es contraíble (tiene el tipo de homotopía de un punto). Además, como S ² es simplemente conexo, por el criterio de elevación , ^{[ 14 ]} cualquier mapeo de S ² a S ¹ puede elevarse a un mapeo en la recta real y la nulohomotopía desciende al espacio inferior (a través de la composición).

El primer ejemplo no trivial con i > n se refiere a las aplicaciones de la 3-esfera a la 2-esfera ordinaria, y fue descubierto por Heinz Hopf , quien construyó una aplicación no trivial de S ³ a S ² , ahora conocida como la fibración de Hopf . ^{[ 15 ]} Esta aplicación genera el grupo de homotopía π ₃ ( S ² ) = Z . ^{[ 16 ]}

La siguiente tabla ofrece una idea de la complejidad de los grupos de homotopía superiores, incluso para esferas de dimensión 8 o inferior. En esta tabla, las entradas son: a) el grupo trivial 0, el grupo cíclico infinito Z , b) los grupos cíclicos finitos de orden n (escritos como Z _n ), o c) los productos directos de dichos grupos (escritos, por ejemplo, como Z ₂₄ × Z ₃ o Z ² ₂ = Z ₂ × Z ₂ ). Al final del artículo se incluyen tablas extendidas de grupos de homotopía de esferas .

La primera fila de esta tabla es sencilla. Los grupos de homotopía π _i ( S ¹ ) de la 1-esfera son triviales para i > 1 , porque el espacio de recubrimiento universal ,${\displaystyle \mathbb {R} }$, que tiene los mismos grupos de homotopía superiores, es contraíble. ^{[ 22 ]}

Más allá de la primera fila, los grupos de homotopía superiores ( i > n ) parecen caóticos, pero de hecho existen muchos patrones, algunos obvios y otros muy sutiles.

• Los grupos que se encuentran debajo de la línea negra irregular son constantes a lo largo de las diagonales (como lo indican los colores rojo, verde y azul).
• La mayoría de los grupos son finitos. Los únicos grupos infinitos se encuentran en la diagonal principal o justo encima de la línea dentada (resaltada en amarillo).
• La segunda y la tercera fila de la tabla son iguales a partir de la tercera columna (es decir, π _i ( S ² ) = π _i ( S ³ ) para i ≥ 3 ). Este isomorfismo es inducido por la fibración de Hopf S ³ → S ² .
• Para n = 2, 3, 4, 5 e i ≥ n los grupos de homotopía π _i ( S ⁿ ) no se anulan. Sin embargo, π _{n +4} ( S ⁿ ) = 0 para n ≥ 6 .

Estos patrones se derivan de muchos resultados teóricos diferentes.

El hecho de que los grupos debajo de la línea dentada en la tabla anterior sean constantes a lo largo de las diagonales se explica por el teorema de suspensión de Hans Freudenthal , que implica que el homomorfismo de suspensión de π _{n + k} ( S ⁿ ) a π _{n + k +1} ( S ^{n +1} ) es un isomorfismo para n > k + 1 . Los grupos π _{n + k} ( S ⁿ ) con n > k + 1 se llaman grupos de homotopía estables de esferas , y se denotan π ^S _k : son grupos abelianos finitos para k ≠ 0 , y se han calculado en numerosos casos, aunque el patrón general aún es esquivo. ^{[ 23 ]} Para n ≤ k +1 , los grupos se llaman grupos de homotopía inestables de esferas .

La fibración clásica de Hopf es un haz de fibras :

${\displaystyle S^{1}\hookrightarrow S^{3}\rightarrow S^{2}.}$

La teoría general de los haces de fibras F → E → B muestra que existe una larga secuencia exacta de grupos de homotopía.

${\displaystyle \cdots \to \pi _{i}(F)\to \pi _{i}(E)\to \pi _{i}(B)\to \pi _{i-1}(F)\to \cdots .}$

Para este fibrado específico, cada homomorfismo de grupo π _i ( S ¹ ) → π _i ( S ³ ) , inducido por la inclusión S ¹ → S ³ , mapea todos los π _i ( S ¹ ) a cero, ya que la esfera de menor dimensión S ¹ puede deformarse a un punto dentro de la de mayor dimensión S ³ . Esto corresponde a la anulación de π ₁ ( S ³ ) . Por lo tanto, la secuencia exacta larga se rompe en secuencias exactas cortas ,

${\displaystyle 0\rightarrow \pi _{i}(S^{3})\rightarrow \pi _{i}(S^{2})\rightarrow \pi _{i-1}(S^{1})\rightarrow 0.}$

Dado que S ^{n +1} es una suspensión de S ⁿ , estas secuencias se dividen por el homomorfismo de suspensión π _{i −1} ( S ¹ ) → π _i ( S ² ) , dando isomorfismos

${\displaystyle \pi _{i}(S^{2})=\pi _{i}(S^{3})\oplus \pi _{i-1}(S^{1}).}$

Dado que π _{i −1} ( S ¹ ) se anula para i al menos 3, la primera fila muestra que π _i ( S ² ) y π _i ( S ³ ) son isomorfos siempre que i sea al menos 3, como se observó anteriormente.

La fibración de Hopf se puede construir de la siguiente manera: pares de números complejos (z₀, z₁) con | _z₀ | _² + | z₁ | _² ⁼ 1 forman una ₃ - esfera , y sus razones z₀ / z₁ cubren el plano complejo _más ^el infinito , una 2-esfera. La aplicación de Hopf ^S₃ → S₂ envía cualquier _par ^de este tipo a su razón. ^{[ 24 ]}

De manera similar (además de la fibración de Hopf)${\displaystyle S^{0}\hookrightarrow S^{1}\rightarrow S^{1}}$, donde la proyección del haz es un recubrimiento doble), existen fibraciones de Hopf generalizadas

${\displaystyle S^{3}\hookrightarrow S^{7}\rightarrow S^{4}}$

${\displaystyle S^{7}\hookrightarrow S^{15}\rightarrow S^{8}}$

construidas usando pares de cuaterniones u octoniones en lugar de números complejos. ^{[ 25 ]} Aquí también, π ₃ ( S ⁷ ) y π ₇ ( S ¹⁵ ) son cero. Por lo tanto, las secuencias exactas largas se dividen nuevamente en familias de secuencias exactas cortas divididas, lo que implica dos familias de relaciones.

${\displaystyle \pi _{i}(S^{4})=\pi _{i}(S^{7})\oplus \pi _{i-1}(S^{3}),}$

${\displaystyle \pi _{i}(S^{8})=\pi _{i}(S^{15})\oplus \pi _{i-1}(S^{7}).}$

Las tres fibraciones tienen espacio base S ⁿ con n = 2 ^m , para m = 1, 2, 3 . Existe una fibración para S ¹ ( m = 0 ) como se mencionó anteriormente, pero no para S ¹⁶ ( m = 4 ) y más allá. Aunque las generalizaciones de las relaciones a S ¹⁶ suelen ser ciertas, a veces fallan; por ejemplo,

${\displaystyle \pi _{30}(S^{16})\neq \pi _{30}(S^{31})\oplus \pi _{29}(S^{15}).}$

Por lo tanto, no puede haber fibración.

${\displaystyle S^{15}\hookrightarrow S^{31}\rightarrow S^{16},}$

el primer caso no trivial del problema del invariante uno de Hopf, porque tal fibración implicaría que la relación fallida es verdadera.

Los grupos de homotopía de esferas están estrechamente relacionados con las clases de cobordismo de variedades. En 1938, Lev Pontryagin estableció un isomorfismo entre el grupo de homotopía π _{n + k} ( S ⁿ ) y el grupo Ω ^framed _k ( S ^{n + k} ) de clases de cobordismo de k- subvariedades diferenciables de S ^{n + k} que están "enmarcadas", es decir, tienen un fibrado normal trivializado . Toda aplicación f : S ^{n + k} → S ⁿ es homotópica a una aplicación diferenciable con M ^k = f ^{− 1} (1, 0, ..., 0) ⊂ S ^{n + k} una subvariedad k- dimensional enmarcada . Por ejemplo, π _n ( S ⁿ ) = Z es el grupo de cobordismo de subvariedades 0-dimensionales enmarcadas de S ⁿ , calculado por la suma algebraica de sus puntos, correspondiente al grado de las aplicaciones f : S ⁿ → S ⁿ . La proyección de la fibración de Hopf S ³ → S ² representa un generador de π ₃ ( S ² ) = Ω ^framed ₁ ( S ³ ) = Z que corresponde a la subvariedad 1-dimensional enmarcada de S ³ definida por la incrustación estándar S ¹ ⊂ S ³ con una trivialización no estándar del fibrado normal de 2 planos. Hasta el advenimiento de métodos algebraicos más sofisticados a principios de la década de 1950 (Serre), el isomorfismo de Pontrjagin era la principal herramienta para calcular los grupos de homotopía de esferas. En 1954, René Thom generalizó el isomorfismo de Pontrjagin a un isomorfismo que expresa otros grupos de clases de cobordismo (por ejemplo, de todas las variedades) como grupos de homotopía de espacios y espectros . En trabajos más recientes, el argumento suele invertirse, calculándose los grupos de cobordismo en términos de grupos de homotopía. ^{[ 26 ]}  

En 1951, Jean-Pierre Serre demostró que los grupos de homotopía de esferas son todos finitos excepto aquellos de la forma π _n ( S ⁿ ) o π _{4 n −1} ( S ^{2 n} ) (para n positivo ), cuando el grupo es el producto del grupo cíclico infinito con un grupo abeliano finito. ^{[ 27 ]} En particular, los grupos de homotopía están determinados por sus p -componentes para todos los primos p . Las 2-componentes son las más difíciles de calcular y, en varios aspectos, se comportan de manera diferente a las p -componentes para primos impares.

En el mismo artículo, Serre encontró el primer lugar donde ocurre la p -torsión en los grupos de homotopía de esferas n- dimensionales, al demostrar que π _{n + k} ( S ⁿ ) no tiene p - torsión si k < 2 p − 3 , y tiene un único subgrupo de orden p si n ≥ 3 y k = 2 p − 3 . El caso de esferas bidimensionales es ligeramente diferente: la primera p- torsión ocurre para k = 2 p − 3 + 1 . En el caso de torsión impar hay resultados más precisos; en este caso hay una gran diferencia entre esferas de dimensión impar y par. Si p es un primo impar y n = 2 i + 1 , entonces los elementos de la p - componente de π _{n + k} ( S ⁿ ) tienen orden como máximo p ⁱ . ^{[ 28 ]} Este es en cierto sentido el mejor resultado posible, ya que se sabe que estos grupos tienen elementos de este orden para algunos valores de k . ^{[ 29 ]} Además, el rango estable puede extenderse en este caso: si n es impar, entonces la doble suspensión de π _k ( S ⁿ ) a π _{k +2} ( S ^{n +2} ) es un isomorfismo de p- componentes si k < p ( n + 1) − 3 , y un epimorfismo si se cumple la igualdad. ^{[ 30 ]} La p -torsión del grupo intermedio π _{k +1} ( S ^{n +1} ) puede ser estrictamente mayor.

Los resultados anteriores sobre torsión impar solo son válidos para esferas de dimensión impar: para esferas de dimensión par, la fibración de James da la torsión en primos impares p en términos de la de esferas de dimensión impar,

${\displaystyle \pi _{2m+k}(S^{2m})(p)=\pi _{2m+k-1}(S^{2m-1})(p)\oplus \pi _{2m+k}(S^{4m-1})(p)}$

(donde ( p ) significa tomar el componente p ). ^{[ 31 ]} Esta secuencia exacta es similar a las que provienen de la fibración de Hopf; la diferencia es que funciona para todas las esferas de dimensión par, aunque a costa de ignorar la torsión 2. La combinación de los resultados para esferas de dimensión par e impar muestra que gran parte de la torsión impar de los grupos de homotopía inestables está determinada por la torsión impar de los grupos de homotopía estables.

Para grupos homotópicos estables existen resultados más precisos sobre la p -torsión. Por ejemplo, si k < 2 p ( p − 1) − 2 para un primo p, entonces el componente p -primario del grupo homotópico estable π ^S _k se anula a menos que k + 1 sea divisible por 2( p − 1) , en cuyo caso es cíclico de orden p . ^{[ 32 ]}

Un subgrupo importante de π _{n + k} ( S ⁿ ) , para k ≥ 2 , es la imagen del J-homomorfismo J  : π _k (SO( n )) → π _{n + k} ( S ⁿ ) , donde SO( n ) denota el grupo ortogonal especial . ^{[ 33 ]} En el rango estable n ≥ k + 2 , los grupos de homotopía π _k (SO( n )) solo dependen de k (mod 8) . Este patrón de periodo 8 se conoce como periodicidad de Bott , y se refleja en los grupos de homotopía estables de esferas a través de la imagen del J -homomorfismo que es:

• un grupo cíclico de orden 2 si k es congruente con 0 o 1 módulo 8;
• trivial si k es congruente con 2, 4, 5 o 6 módulo 8; y
• un grupo cíclico de orden igual al denominador de ⁠ B _{2 m} / 4 m ⁠ , donde B _{2 m} es un número de Bernoulli , si k = 4 m − 1 ≡ 3 (mod 4) .

Este último caso explica los elementos de orden finito inusualmente grande en π _{n + k} ( S ⁿ ) para tales valores de k . Por ejemplo, los grupos estables π _{n +11} ( S ⁿ ) tienen un subgrupo cíclico de orden 504, el denominador de ⁠ B ₆ / 12 ⁠ = ⁠ 1 / 504 ⁠ .

Los grupos de homotopía estables de esferas son la suma directa de la imagen del J -homomorfismo y el núcleo del e- invariante de Adams, un homomorfismo de estos grupos a${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$En términos generales, la imagen del J -homomorfismo es el subgrupo de elementos "bien comprendidos" o "fáciles" de los grupos de homotopía estables. Estos elementos bien comprendidos representan la mayoría de los elementos de los grupos de homotopía estables de esferas en dimensiones pequeñas. El cociente de π ^S _n por la imagen del J -homomorfismo se considera la parte "difícil" de los grupos de homotopía estables de esferas ( Adams 1966 ) . (Adams también introdujo ciertos elementos de orden 2 μ _n de π ^S _n para n ≡ 1 o 2 (mod 8) , y estos también se consideran "bien comprendidos"). Las tablas de grupos de homotopía de esferas a veces omiten la parte "fácil" im( J ) para ahorrar espacio.

La suma directa

${\displaystyle \pi _{\ast }^{S}=\bigoplus _{k\geq 0}\pi _{k}^{S}}$

de los grupos de homotopía estables de esferas es un anillo graduado superconmutativo , donde la multiplicación está dada por la composición de mapas representativos, y cualquier elemento de grado distinto de cero es nilpotente ; ^{[ 34 ]} el teorema de nilpotencia en el cobordismo complejo implica el teorema de Nishida.

Ejemplo: Si η es el generador de π ^S ₁ (de orden 2), entonces η ² es distinto de cero y genera π ^S ₂ , y η ³ es distinto de cero y 12 veces un generador de π ^S ₃ , mientras que η ⁴ es cero porque el grupo π ^S ₄ es trivial.

Si f , g y h son elementos de π ^S _* con f g = 0 y g ⋅ h = 0 , existe un corchete de Toda ⟨ f , g , h ⟩ de estos elementos. ^{[ 2 ]} El corchete de Toda no es propiamente un elemento de un grupo de homotopía estable, ya que solo se define hasta la suma de productos de ciertos otros elementos. Hiroshi Toda utilizó el producto de composición y los corchetes de Toda para etiquetar muchos de los elementos de los grupos de homotopía. También existen corchetes de Toda superiores de varios elementos, definidos cuando los corchetes de Toda inferiores adecuados se anulan. Esto es paralelo a la teoría de los productos de Massey en cohomología . Cada elemento de los grupos de homotopía estables de esferas puede expresarse utilizando productos de composición y corchetes de Toda superiores en términos de ciertos elementos bien conocidos, llamados elementos de Hopf. ^{[ 35 ]}

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