Grupo Coxeter

En matemáticas , un grupo de Coxeter , llamado así por HSM Coxeter , es un grupo abstracto que admite una descripción formal en términos de reflexiones (o espejos caleidoscópicos ). De hecho, los grupos de Coxeter finitos son precisamente los grupos de reflexión euclidianos finitos ; por ejemplo, el grupo de simetría de cada poliedro regular es un grupo de Coxeter finito. Sin embargo, no todos los grupos de Coxeter son finitos, y no todos pueden describirse en términos de simetrías y reflexiones euclidianas. Los grupos de Coxeter se introdujeron en 1934 como abstracciones de grupos de reflexión, ^{[ 1 ]} y los grupos de Coxeter finitos se clasificaron en 1935. ^{[ 2 ]}

Los grupos de Coxeter encuentran aplicaciones en muchas áreas de las matemáticas. Ejemplos de grupos de Coxeter finitos incluyen los grupos de simetría de politopos regulares y los grupos de Weyl de álgebras de Lie simples . Ejemplos de grupos de Coxeter infinitos incluyen los grupos triangulares correspondientes a teselaciones regulares del plano euclidiano y del plano hiperbólico , y los grupos de Weyl de álgebras de Kac-Moody de dimensión infinita . ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Formalmente, un grupo Coxeter puede definirse como un grupo con la presentación$${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle }$$ dónde${\displaystyle m_{ii}=1}$y${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}\geq 2}$es un número entero o${\displaystyle \infty }$para${\displaystyle i\neq j}$Aquí, la condición${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ significa que ninguna relación de la forma${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}=1}$para cualquier número entero${\displaystyle m\geq 2}$debería imponerse. ^{[ 6 ]}

La pareja${\displaystyle (W,S)}$dónde${\displaystyle W}$es un grupo Coxeter con generadores${\displaystyle S=\{r_{1},\dots ,r_{n}\}}$se denomina sistema Coxeter . Tenga en cuenta que en general${\displaystyle S}$no está determinado de forma única por${\displaystyle W}$. Por ejemplo, los grupos de Coxeter de tipo${\displaystyle B_{3}}$y${\displaystyle A_{1}\times A_{3}}$son isomorfos pero los sistemas de Coxeter no son equivalentes, ya que el primero tiene 3 generadores y el segundo tiene 1 + 3 = 4 generadores (ver más abajo para una explicación de esta notación).

De la definición anterior se pueden extraer inmediatamente varias conclusiones.

• La relación${\displaystyle m_{ii}=1}$significa que${\displaystyle (r_{i}r_{i})^{1}=(r_{i})^{2}=1}$a pesar de${\displaystyle i}$ ; como tales, los generadores son involuciones .
• Si${\displaystyle m_{ij}=2}$, luego los generadores${\displaystyle r_{i}}$y${\displaystyle r_{j}}$desplazamiento diario. Esto se deduce al observar que

${\displaystyle xx=yy=1}$,

junto con

${\displaystyle xyxy=1}$

implica que

${\displaystyle xy=x(xyxy)y=(xx)yx(yy)=yx}$.

Alternativamente, dado que los generadores son involuciones,${\displaystyle r_{i}=r_{i}^{-1}}$, entonces${\displaystyle 1=(r_{i}r_{j})^{2}=r_{i}r_{j}r_{i}r_{j}=r_{i}r_{j}r_{i}^{-1}r_{j}^{-1}}$. Es decir, el conmutador de${\displaystyle r_{i}}$y${\displaystyle r_{j}}$es igual a 1, o equivalentemente que${\displaystyle r_{i}}$y${\displaystyle r_{j}}$desplazarse.

La razón por la que ${\displaystyle m_{ij}=m_{ji}}$para${\displaystyle i\neq j}$lo estipulado en la definición es que

${\displaystyle yy=1}$,

junto con

${\displaystyle (xy)^{m}=1}$

ya implica que

${\displaystyle (yx)^{m}=(yx)^{m}yy=y(xy)^{m}y=yy=1}$.

Una prueba alternativa de esta implicación es la observación de que${\displaystyle (xy)^{k}}$y${\displaystyle (yx)^{k}}$son conjugados : en efecto${\displaystyle y(xy)^{k}y^{-1}=(yx)^{k}yy^{-1}=(yx)^{k}}$.

El gráfico${\displaystyle A_{n}}$en qué vértices${\displaystyle 1}$a través de${\displaystyle n}$se colocan en una fila con cada vértice unido por una arista sin etiquetar a sus vecinos inmediatos es el diagrama de Coxeter del grupo simétrico${\displaystyle S_{n+1}}$; los generadores corresponden a las transposiciones${\displaystyle (1~~2),(2~~3),\dots ,(n~~n+1)}$. Dos transposiciones no consecutivas cualesquiera conmutan, mientras que la multiplicación de dos transposiciones consecutivas da como resultado un ciclo de 3  :${\displaystyle (k~~k+1)\cdot (k+1~~k+2)=(k~~k+2~~k+1)}$. Por lo tanto${\displaystyle S_{n+1}}$es un cociente del grupo de Coxeter que tiene el diagrama de Coxeter${\displaystyle A_{n}}$. Otros argumentos demuestran que este mapa cociente es un isomorfismo.

Los grupos de Coxeter son una abstracción de los grupos de reflexión. Los grupos de Coxeter son grupos abstractos , en el sentido de que se dan mediante una presentación. Por otro lado, los grupos de reflexión son concretos , en el sentido de que cada uno de sus elementos es la composición de un número finito de reflexiones geométricas sobre hiperplanos lineales en algún espacio euclidiano. Técnicamente, un grupo de reflexión es un subgrupo de un grupo lineal (o varias generalizaciones) generado por matrices ortogonales de determinante -1. Cada generador de un grupo de Coxeter tiene orden 2, lo que abstrae el hecho geométrico de que realizar una reflexión dos veces es la identidad. Cada relación de la forma${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{k}}$, correspondiente al hecho geométrico de que, dados dos hiperplanos que se encuentran en un ángulo de${\displaystyle \pi /k}$, la composición de las dos reflexiones sobre estos hiperplanos es una rotación por${\displaystyle 2\pi /k}$, que tiene orden k .

De esta forma, todo grupo de reflexión puede representarse como un grupo de Coxeter. ^{[ 1 ]} Lo contrario es parcialmente cierto: todo grupo de Coxeter finito admite una representación fiel como un grupo de reflexión finito de algún espacio euclidiano. ^{[ 2 ]} Sin embargo, no todo grupo de Coxeter infinito admite una representación como un grupo de reflexión.

Se han clasificado los grupos finitos de Coxeter. ^{[ 2 ]}

Los grupos de Coxeter afines forman una segunda serie importante de grupos de Coxeter. Estos no son finitos en sí mismos, pero cada uno contiene un subgrupo abeliano normal tal que el grupo cociente correspondiente es finito. En cada caso, el grupo cociente es en sí mismo un grupo de Coxeter, y el grafo de Coxeter del grupo de Coxeter afín se obtiene a partir del grafo de Coxeter del grupo cociente añadiendo otro vértice y una o dos aristas adicionales. Por ejemplo, para n ≥ 2, el grafo que consta de n + 1 vértices en un círculo se obtiene de A _n de esta manera, y el grupo de Coxeter correspondiente es el grupo de Weyl afín de A _n (el grupo simétrico afín ). Para n = 2, esto puede representarse como un subgrupo del grupo de simetría del teselado estándar del plano por triángulos equiláteros.    

En general, dado un sistema de raíces, se puede construir el diagrama de Stiefel asociado , que consiste en los hiperplanos ortogonales a las raíces junto con ciertas traslaciones de estos hiperplanos. El grupo de Coxeter afín (o grupo de Weyl afín) es entonces el grupo generado por las reflexiones (afines) alrededor de todos los hiperplanos en el diagrama. ^{[ 10 ]} El diagrama de Stiefel divide el plano en infinitos componentes conexos llamados alcobas , y el grupo de Coxeter afín actúa libre y transitivamente sobre las alcobas, al igual que el grupo de Weyl ordinario actúa libre y transitivamente sobre las cámaras de Weyl. La figura de la derecha ilustra el diagrama de Stiefel para el${\displaystyle G_{2}}$sistema radicular.

Suponer${\displaystyle R}$es un sistema de raíces irreductible de rango${\displaystyle r>1}$y dejar${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$sea ​​una colección de raíces simples. Dejemos también que${\displaystyle \alpha _{r+1}}$denotemos la raíz más alta. Entonces, el grupo de Coxeter afín se genera mediante las reflexiones ordinarias (lineales) sobre los hiperplanos perpendiculares a${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{r}}$, junto con una reflexión afín sobre una traslación del hiperplano perpendicular a${\displaystyle \alpha _{r+1}}$. El gráfico de Coxeter para el grupo de Weyl afín es el diagrama de Coxeter-Dynkin para${\displaystyle R}$, junto con un nodo adicional asociado a${\displaystyle \alpha _{r+1}}$En este caso, se puede obtener un nicho del diagrama de Stiefel tomando la cámara de Weyl fundamental y cortándola mediante una traslación del hiperplano perpendicular a${\displaystyle \alpha _{r+1}}$. ^{[ 11 ]}

A continuación se presenta una lista de los grupos afines de Coxeter:

El subíndice del símbolo de grupo es uno menor que el número de nodos en cada caso, ya que cada uno de estos grupos se obtuvo agregando un nodo al gráfico de un grupo finito.

Existen infinitos grupos de Coxeter hiperbólicos que describen grupos de reflexión en el espacio hiperbólico , entre los que destacan los grupos triangulares hiperbólicos.

Se dice que un grupo de Coxeter es irreducible si su diagrama de Coxeter-Dynkin es conexo. Todo grupo de Coxeter es el producto directo de los grupos irreducibles que corresponden a los componentes de su diagrama de Coxeter-Dynkin.

Una elección de generadores de reflexión da lugar a una función de longitud ℓ en un grupo de Coxeter, concretamente el número mínimo de usos de generadores necesarios para expresar un elemento del grupo; esta es precisamente la longitud en la métrica de palabras en el grafo de Cayley . Una expresión para v usando generadores ℓ ( v ) es una palabra reducida . Por ejemplo, la permutación ( ₁₃ ) en S3 tiene dos palabras reducidas, (12)(23)(12) y (23)(12)(23). La función${\displaystyle v\to (-1)^{\ell (v)}}$define un mapa${\displaystyle G\to \{\pm 1\},}$generalizando el mapa de signos para el grupo simétrico.

Utilizando palabras reducidas, se pueden definir tres órdenes parciales en el grupo de Coxeter: el orden débil (derecho) , el orden absoluto y el orden de Bruhat (llamado así por François Bruhat ). Un elemento v supera a un elemento u en el orden de Bruhat si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como subcadena, donde se omiten algunas letras (en cualquier posición). En el orden débil, v  ≥ u si alguna palabra reducida para v contiene una palabra reducida para u como segmento inicial. De hecho, la longitud de la palabra convierte esto en un poset graduado . Los diagramas de Hasse correspondientes a estos órdenes son objeto de estudio y están relacionados con el grafo de Cayley determinado por los generadores. El orden absoluto se define de forma análoga al orden débil, pero con un conjunto generador/alfabeto que consiste en todos los conjugados de los generadores de Coxeter. 

Por ejemplo, la permutación (1 2 3) en S ₃ tiene solo una palabra reducida, (12)(23), por lo que cubre (12) y (23) en el orden de Bruhat pero solo cubre (12) en el orden débil.

Desde un grupo de Coxeter${\displaystyle W}$está generado por un número finito de elementos de orden 2, su abelianización es un 2-grupo abeliano elemental , es decir, es isomorfo a la suma directa de varias copias del grupo cíclico.${\displaystyle Z_{2}}$Esto puede reformularse en términos del primer grupo de homología de${\displaystyle W}$.

El multiplicador de Schur${\displaystyle M(W)}$, igual al segundo grupo de homología de${\displaystyle W}$, se calculó en ( Ihara y Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexión finitos y en ( Yokonuma 1965 ) para grupos de reflexión afines, con una explicación más unificada dada en ( Howlett 1988 ) . En todos los casos, el multiplicador de Schur es también un 2-grupo abeliano elemental. Para cada familia infinita${\displaystyle \{W_{n}\}}$de grupos de Weyl finitos o afines, el rango de${\displaystyle M(W_{n})}$se estabiliza como${\displaystyle n}$va hasta el infinito.

• Grupo Artin-Tits
• Teorema de Chevalley-Shephard-Todd
• Grupo de reflexión complejo
• elemento Coxeter
• Problema de isomorfismo de los grupos de Coxeter
• Álgebra de Iwahori-Hecke , una deformación cuántica del álgebra de grupo.
• Polinomio de Kazhdan-Lusztig
• Elemento más largo de un grupo de Coxeter
• Subgrupo parabólico de un grupo de reflexión
• Disposición supersoluble

• "Grupo Coxeter" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. , "Grupo Coxeter" , MathWorld
• Software Jenn para visualizar los gráficos de Cayley de grupos de Coxeter finitos en hasta cuatro generadores.