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Sistema integrable de Garnier

En física matemática , el sistema integrable de Garnier , también conocido como el modelo clásico de Gaudin , es un sistema mecánico clásico descubierto por René Garnier [ 1 ] e...

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En física matemática , el sistema integrable de Garnier , también conocido como el modelo clásico de Gaudin , es un sistema mecánico clásico descubierto por René Garnier [ 1 ] en 1917 y resuelto mediante integrales abelianas en superficies de Riemann compactas (curvas algebraicas) de género arbitrariamente alto. Se obtiene tomando la « simplificación de Painlevé » o «límite autónomo» de las ecuaciones de Schlesinger [ 2 ] . Puede interpretarse como el límite clásico del modelo cuántico de Gaudin debido a Michel Gaudin [ 3 ] . (De manera similar, las ecuaciones de Schlesinger son el límite clásico de las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov , expresadas en la representación de Heisenberg [ 4 ] [ 5 ] ).

Posteriormente se demostró que los sistemas de Garnier eran de tipo hamiltoniano [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] , definidos en un espacio de fases que consiste en el producto cartesiano denorte{\displaystyle N}copias del doblegramol(r)∗{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}del álgebra de Liegramol(r)∗{\displaystyle {\mathfrak {gl(r)}}^{*}}, paranorte{\displaystyle N}un entero positivo y completamente integrable en el sentido hamiltoniano.

También son un caso específico de sistemas integrables de Hitchin , cuando la curva algebraica sobre la que se define la teoría es la esfera de Riemann y el sistema está dócilmente ramificado .

Como límite de las ecuaciones de Schlesinger

Las ecuaciones de Schlesinger son un sistema de ecuaciones diferenciales paranorte+2{\displaystyle n+2}funciones con valores matricialesAi:donorte+2→METROat(metro,do){\displaystyle A_{i}:\mathbb {C} ^{n+2}\rightarrow \mathrm {Mat} (m,\mathbb {C} )}, dado por ∂Ai∂λj=[Ai,Aj]λi−λjj≠i{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑j∂Ai∂λj=0.{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}

El 'límite autónomo' se obtiene reemplazando elλi{\displaystyle \lambda _{i}}dependencia en el denominador por constantesαi{\displaystyle \alpha _{i}}conαnorte+1=0,αnorte+2=1{\displaystyle \alpha _{n+1}=0,\alpha _{n+2}=1}: ∂Ai∂λj=[Ai,Aj]αi−αjj≠i{\displaystyle {\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\alpha _{i}-\alpha _{j}}}\qquad \qquad j\neq i}∑j∂Ai∂λj=0.{\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.} Este es el sistema Garnier en la forma original desarrollada por Garnier.

Como el modelo clásico de Gaudin

Existe una formulación del sistema de Garnier como un sistema mecánico clásico, el modelo clásico de Gaudin, que se cuantiza al modelo cuántico de Gaudin y cuyas ecuaciones de movimiento son equivalentes al sistema de Garnier. Esta sección describe dicha formulación. [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]

Como en cualquier sistema clásico, el modelo de Gaudin se especifica mediante una variedad de Poisson.METRO{\displaystyle M}denominado espacio de fases , y una función suave en la variedad llamada hamiltoniano .

Espacio de fases

Dejargramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}sea ​​un álgebra de Lie cuadrática , es decir, un álgebra de Lie con una forma bilineal invariante no degenerada.κ{\displaystyle \kappa }. Sigramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}es complejo y simple , esto puede tomarse como la forma de matar .

El dual , denotadogramo∗{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}, se puede convertir en una estructura de Poisson lineal mediante el corchete de Kirillov-Kostant .

El espacio de fasesMETRO{\displaystyle M}del modelo clásico de Gaudin es entonces el producto cartesiano denorte{\displaystyle N}copias degramo∗{\displaystyle {\mathfrak {g}}^{*}}paranorte{\displaystyle N}un número entero positivo.

Sitios

A cada una de estas copias se le asocia un punto endo{\displaystyle \mathbb {C} }, denotadoλ1,⋯,λnorte{\displaystyle \lambda _{1},\cdots ,\lambda _{N}}y denominados sitios .

Matriz laxa

Fijación de una base del álgebra de Lie{Ia}{\displaystyle \{I^{a}\}}con constantes de estructuraFdoab{\displaystyle f_{c}^{ab}}, hay funcionesincógnita(r)a{\displaystyle X_{(r)}^{a}}conr=1,⋯,norte{\displaystyle r=1,\cdots ,N}en el espacio de fases que satisface el corchete de Poisson {incógnita(r)a,incógnita(s)b}=δrsFdoabincógnita(r)do.{\displaystyle \{X_{(r)}^{a},X_{(s)}^{b}\}=\delta _{rs}f_{c}^{ab}X_{(r)}^{c}.}

Estos a su vez se utilizan para definirgramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}funciones con valor incógnita(r)=κabIa⊗incógnita(r)b{\displaystyle X^{(r)}=\kappa _{ab}I^{a}\otimes X_{(r)}^{b}} con suma implícita .

A continuación, estos se utilizan para definir la matriz de Lax , que también es unagramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}función valorada en el espacio de fases que además depende meromorfamente de un parámetro espectralλ{\displaystyle \lambda }, L(λ)=∑r=1norteincógnita(r)λ−λr+Ω,{\displaystyle {\mathcal {L}}(\lambda )=\sum _{r=1}^{N}{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}}+\Omega ,} yΩ{\displaystyle \Omega }es un elemento constante engramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}, en el sentido de que conmuta de Poisson (tiene corchete de Poisson evanescente) con todas las funciones.

Hamiltoniano (cuadrático)

El hamiltoniano (cuadrático) es H(λ)=12κ(L(λ),L(λ)){\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )={\frac {1}{2}}\kappa ({\mathcal {L}}(\lambda ),{\mathcal {L}}(\lambda ))} que de hecho es una función en el espacio de fases, que además depende de un parámetro espectral.λ{\displaystyle \lambda }Esto se puede escribir como H(λ)=Δ∞+∑r=1norte(Δr(λ−λr)2+Hrλ−λr),{\displaystyle {\mathcal {H}}(\lambda )=\Delta _{\infty }+\sum _{r=1}^{N}\left({\frac {\Delta _{r}}{(\lambda -\lambda _{r})^{2}}}+{\frac {{\mathcal {H}}_{r}}{\lambda -\lambda _{r}}}\right),} con Δr=12κ(incógnita(r),incógnita(r)),Δ∞=12κ(Ω,Ω){\displaystyle \Delta _{r}={\frac {1}{2}}\kappa (X^{(r)},X^{(r)}),\Delta _{\infty }={\frac {1}{2}}\kappa (\Omega ,\Omega )} y Hr=∑s≠rκ(incógnita(r),incógnita(s))λr−λs+κ(incógnita(r),Ω).{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}=\sum _{s\neq r}{\frac {\kappa (X^{(r)},X^{(s)})}{\lambda _{r}-\lambda _{s}}}+\kappa (X^{(r)},\Omega ).}

De la relación de corchetes de Poisson {H(λ),H(μ)}=0,∀λ,μ∈do,{\displaystyle \{{\mathcal {H}}(\lambda ),{\mathcal {H}}(\mu )\}=0,\forall \lambda ,\mu \in \mathbb {C} ,} variandoλ{\displaystyle \lambda }yμ{\displaystyle \mu }Debe ser cierto que elHr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}'s, elΔr{\displaystyle \Delta _{r}}'arenaΔ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}están todos en involución. Se puede demostrar que elΔr{\displaystyle \Delta _{r}}'arenaΔ∞{\displaystyle \Delta _{\infty }}Las funciones de Poisson conmutan con todas las funciones en el espacio de fases, pero laHr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}En general, no lo hacen. Estas son las cargas conservadas en la involución a efectos de la integrabilidad de Arnol'd Liouville .

ecuación de Lax

Se puede demostrar {Hr,L(λ)}=[incógnita(r)λ−λr,L(λ)],{\displaystyle \{{\mathcal {H}}_{r},{\mathcal {L}}(\lambda )\}=\left[{\frac {X^{(r)}}{\lambda -\lambda _{r}}},{\mathcal {L}}(\lambda )\right],} Por lo tanto, la matriz de Lax satisface la ecuación de Lax cuando la evolución temporal viene dada por cualquiera de los hamiltonianos.Hr{\displaystyle {\mathcal {H}}_{r}}, así como cualquier combinación lineal de ellos.

Hamiltonianos superiores

El polinomio cuadrático de Casimir corresponde a un polinomio invariante de Weyl cuadrático para el álgebra de Lie.gramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}, pero de hecho se pueden generar muchos más cargos conservados de desplazamiento utilizandogramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}-polinomios invariantes. Estos polinomios invariantes se pueden encontrar utilizando el isomorfismo de Harish-Chandra en el casogramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}es complejo, simple y finito.

Teorías de campos integrables como modelos clásicos de Gaudin

Ciertas teorías de campos clásicas integrables pueden formularse como modelos de Gaudin afines clásicos, dondegramo{\displaystyle {\mathfrak {g}}}es un álgebra de Lie afín . Tales teorías de campo clásicas incluyen el modelo quiral principal , los modelos sigma de coset y la teoría de campo de Toda afín . [ 10 ] Como tal, los modelos de Gaudin afines pueden verse como una "teoría maestra" para sistemas integrables, pero se formulan de manera más natural en el formalismo hamiltoniano, a diferencia de otras teorías maestras como la teoría de Chern-Simons de cuatro dimensiones o la teoría de Yang-Mills anti-autodual .

Modelos cuánticos de Gaudin

Se sabe mucho sobre la estructura integrable de los modelos cuánticos de Gaudin . En particular, Feigin , Frenkel y Reshetikhin los estudiaron utilizando la teoría de las álgebras de operadores de vértice , mostrando la relación de los modelos de Gaudin con temas matemáticos como las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov y la correspondencia geométrica de Langlands . [ 11 ]

Referencias

  1. ^ Garnier, René (diciembre de 1919). "Sur una clase de sistemas diferentes abéliens déduits de la teoría de las ecuaciones lineales". Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo . 43 (1): 155– 191. doi : 10.1007/BF03014668 . S2CID 120557738 . 
  2. ^ Chudnovsky, DV (diciembre de 1979). "Sistemas de Schlesinger simplificados". Letra al Nuevo Cimento . 26 (14): 423– 427. doi : 10.1007/BF02817023 . S2CID 122196561 . 
  3. ^ Gaudín, Michel (1976). "Diagonalización de una clase de hamiltoniens de spin" . Revista de físico . 37 (10): 1087– 1098. doi : 10.1051/jphys:0197600370100108700 . Consultado el 26 de septiembre de 2022 .
  4. ^ Reshetikhin, N. (1992). "El sistema Knizhnik-Zamolodchikov como deformación del problema de isomonodromía". Letón. Matemáticas. Física . 26 : 166–177.doi : 10.1007 / BF00420750 .
  5. ↑ Harnad, J. (1996). "Deformaciones isomonodrómicas cuánticas y las ecuaciones de Knizhnik-Zamolodchikov". CRM Proceedings and Lecture Note Series 9, (eds. D. Levi, L. Vinet y P. Winternitz) . 9 : 155–161 .
  6. 1 2 Adams, M.; Harnad, J.; Previato, E. (1988). "Flujos hamiltonianos isoespectrales en dimensiones finitas e infinitas. I. Problema de Moser generalizado y mapas de momentos en álgebras de bucle". Commun. Math. Phys . 117 : 451–500 .
  7. 1 2 Adams, M.; Harnad, J.; Hurtubise, J. (1990). "Flujos hamiltonianos isoespectrales en dimensiones finitas e infinitas II. Integración de flujos". Commun. Math. Phys . 134 : 555–585 .
  8. 1 2 Adams, M.; Harnad, J.; Hurtubise, J. (1993). "Coordenadas de Darboux e integración de Liouville-Arnold en álgebras de bucle". Commun. Math. Phys . 155 : 385–413 .
  9. ^ Lacroix, Sylvain (2018). Modéles intégrables avec fonction twist et modèles de Gaudin affines (tesis doctoral). Universidad de Lyon .
  10. ↑ Vicedo, Benoit (2017). "Sobre teorías de campo integrables como modelos de Gaudin afines diedrales". arXiv : 1701.04856 [ hep-th ].
  11. ↑ Feigin, Boris; Frenkel, Eduardo; Reshetikhin, Nikolai (3 de abril de 1994). "Modelo Gaudin, Bethe Ansatz y nivel crítico". Comunitario. Matemáticas. Física . 166 (1): 27– 62. arXiv : hep-th/9402022 . Código Bib : 1994CMaPh.166...27F . doi : 10.1007/BF02099300 . S2CID 17099900 .