deformación isomonodrómica

Un sistema fuchsiano es el sistema de ecuaciones diferenciales lineales ^{[ 1 ].}

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=A(x)y=\sum _{i=1}^{n}{\frac {A_{i}}{x-\lambda _{i}}}y}$

donde x toma valores en la línea proyectiva compleja${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$, la y toma valores en${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$y las A _i son matrices constantes n × n . Las soluciones a esta ecuación tienen un crecimiento polinomial en el límite x = λ _i . Al colocar n soluciones de columna independientes en una matriz fundamental${\displaystyle Y=(y_{1},...,y_{n})}$ entonces${\displaystyle {\frac {dY}{dx}}=AY}$y uno puede considerar ${\displaystyle Y}$ como tomando valores en${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$. Para simplificar, supongamos que no hay ningún otro polo en el infinito, lo que equivale a la condición de que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}A_{i}=0.}$

Ahora, fijemos un punto base b en la esfera de Riemann, alejado de los polos . Continuación analítica de una solución fundamental.${\displaystyle Y_{1}}$Recorrer cualquier polo λ _i y regresar al punto base producirá una nueva solución.${\displaystyle Y_{2}}$definida cerca de b . Las soluciones nuevas y antiguas están vinculadas por la matriz de monodromía M _i de la siguiente manera:

${\displaystyle Y_{2}=Y_{1}M_{i}.}$

Por lo tanto, se tiene el homomorfismo de Riemann-Hilbert del grupo fundamental de la esfera perforada a la representación de la monodromía:

${\displaystyle \pi _{1}\left(\mathbb {CP} ^{1}-\{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\}\right)\to \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} ).}$

Un cambio de punto base simplemente resulta en una conjugación (simultánea) de todas las matrices de monodromía. Las matrices de monodromía módulo conjugación definen los datos de monodromía del sistema fuchsiano.

Ahora bien, con los datos de monodromía dados, ¿se puede encontrar un sistema fuchsiano que exhiba esta monodromía? Esta es una forma del problema veintiuno de Hilbert . No se distingue entre las coordenadas x y${\displaystyle {\hat {x}}}$que están relacionados por transformaciones de Möbius y tampoco distinguen entre sistemas fuchsianos equivalentes de gauge ; esto significa que A y

${\displaystyle g^{-1}(x)Ag(x)-g^{-1}(x){\frac {dg(x)}{dx}}}$

se consideran equivalentes para cualquier transformación de calibre holomorfa g ( x ). (Por lo tanto, es más natural considerar un sistema fuchsiano geométricamente, como una conexión con polos simples en un fibrado vectorial trivial de rango n sobre la esfera de Riemann).

Para datos de monodromía genéricos, la respuesta al problema veintiuno de Hilbert es «sí». La primera demostración la dio Josip Plemelj . ^{[ 2 ]} Sin embargo, la demostración solo es válida para datos genéricos, y en 1989 Andrei Bolibruk demostró que existen ciertos casos «degenerados» en los que la respuesta es «no». ^{[ 3 ]} Aquí, nos centramos exclusivamente en el caso genérico.

En general, existen muchos sistemas fuchsianos con los mismos datos de monodromía. Por lo tanto, dado cualquier sistema fuchsiano con datos de monodromía específicos, se pueden realizar deformaciones isomonodrómicas . Esto lleva al estudio de familias de sistemas fuchsianos, donde las matrices A _i dependen de las posiciones de los polos.

En 1912, Ludwig Schlesinger demostró que, en general, las deformaciones que preservan los datos de monodromía de un sistema fuchsiano genérico están regidas por el sistema holonómico integrable de ecuaciones diferenciales parciales que ahora lleva su nombre: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}&={\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}\qquad \qquad j\neq i\\{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{i}}}&=-\sum _{j\neq i}{\frac {[A_{i},A_{j}]}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}.\end{aligned}}}$

La última ecuación se suele escribir de forma equivalente como ${\displaystyle \sum _{j}{\frac {\partial A_{i}}{\partial \lambda _{j}}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía para sistemas fuchsianos genéricos. La interpretación natural de estas ecuaciones es la planitud de una conexión natural en un fibrado vectorial sobre el «espacio de parámetros de deformación», que consiste en las posibles posiciones de los polos. Para deformaciones isomonodrómicas no genéricas, seguirá existiendo una ecuación de isomonodromía integrable, pero ya no será la de Schlesinger.

Si uno limita la atención al caso en que los A _i toman valores en el álgebra de Lie${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$, se obtienen los sistemas integrables de Garnier . Si se especializa aún más al caso en que solo hay cuatro polos, entonces las ecuaciones de Schlesinger/Garnier se pueden reducir a la famosa sexta ecuación de Painlevé .

Además de la representación de monodromía descrita en el contexto fuchsiano, se requieren deformaciones de sistemas irregulares de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales para preservar datos de monodromía extendidos . En términos generales, los datos de monodromía se consideran ahora como datos que unen soluciones canónicas cerca de las singularidades. Si se toma${\displaystyle x_{i}=x-\lambda _{i}}$como una coordenada local cerca de un polo λ _i de orden${\displaystyle r_{i}+1}$, entonces se puede resolver término por término para una transformación de calibre holomorfa g tal que localmente, el sistema se vea como

${\displaystyle {\frac {d(g_{i}^{-1}Z_{i})}{dx_{i}}}=\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {(-j)T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j+1}}}+{\frac {M^{(i)}}{x_{i}}}\right)(g_{i}^{-1}Z_{i})}$

dónde${\displaystyle M^{(i)}}$y el${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$son matrices diagonales . Si esto fuera válido, sería extremadamente útil, porque entonces (al menos localmente), se habría desacoplado el sistema en n ecuaciones diferenciales escalares que se pueden resolver fácilmente para encontrar que (localmente):

${\displaystyle Z_{i}=g_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

Sin embargo, esto no funciona, porque la serie de potencias resuelta término a término para g no convergerá, en general.

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que este enfoque, sin embargo, proporciona soluciones canónicas cerca de las singularidades y, por lo tanto, puede utilizarse para definir datos de monodromía extendidos. Esto se debe a un teorema de George Birkhoff que establece que, dada una serie formal de este tipo, existe una única función convergente G _i tal que en cualquier sector suficientemente grande alrededor del polo, G _i es asintótica a g _i y

${\displaystyle Y=G_{i}\exp \left(M^{(i)}\log(x_{i})+\sum _{j=1}^{r_{i}}{\frac {T_{j}^{(i)}}{x_{i}^{j}}}\right).}$

es una solución verdadera de la ecuación diferencial. Por lo tanto, aparece una solución canónica en cada uno de esos sectores cerca de cada polo. Los datos de monodromía extendida consisten en:

• los datos de la representación de la monodromía como para el caso fuchsiano;
• Matrices de Stokes que conectan soluciones canónicas entre sectores adyacentes en el mismo polo;
• Matrices de conexión que unen soluciones canónicas entre sectores en polos diferentes.

Como antes, ahora se consideran familias de sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, todas con la misma estructura de singularidad (genérica). Por lo tanto, se permiten las matrices${\displaystyle A_{j}^{(i)}}$depender de parámetros. Se permite variar las posiciones de los polos λ _i , pero ahora, además, también se varían las entradas de las matrices diagonales.${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$que aparecen en la solución canónica cerca de cada polo.

Jimbo, Miwa y Ueno demostraron que si se define una 1-forma en el 'espacio de parámetros de deformación' por

${\displaystyle \Omega =\sum _{i=1}^{n}\left(Ad\lambda _{i}-g_{i}D\left(\sum _{j=1}^{r_{i}}T_{j}^{(i)}\right)g_{i}^{-1}\right)}$

(donde D denota la diferenciación exterior con respecto a los componentes de la${\displaystyle T_{j}^{(i)}}$solo)

entonces las deformaciones del sistema lineal meromorfo especificado por A son isomonodrómicas si y solo si

${\displaystyle dA+[\Omega ,A]+{\frac {d\Omega }{dx}}=0.}$

Estas son las ecuaciones de isomonodromía de Jimbo-Miwa-Ueno . Como antes, estas ecuaciones pueden interpretarse como la planitud de una conexión natural en el espacio de parámetros de deformación.

Esta es quizás la propiedad más importante de una solución a las ecuaciones de deformación isomonodrómica. Significa que todas las singularidades esenciales de las soluciones son fijas, aunque las posiciones de los polos puedan variar. Bernard Malgrange lo demostró para el caso de sistemas fuchsianos, y Tetsuji Miwa lo demostró en el contexto general.

En efecto, supongamos que se nos da una ecuación diferencial parcial (o un sistema de ellas). Entonces, "poseer una reducción a una ecuación de isomonodromía" es más o menos equivalente a la propiedad de Painlevé y, por lo tanto, puede usarse como una prueba de integrabilidad .

En general, las soluciones de las ecuaciones de isomonodromía no pueden expresarse en términos de funciones más simples, como las soluciones de ecuaciones diferenciales lineales. Sin embargo, para elecciones particulares (más precisamente, reducibles) de datos de monodromía extendida, las soluciones pueden expresarse en términos de dichas funciones (o al menos, en términos de trascendentes de isomonodromía más simples). El estudio del significado preciso de esta trascendencia se ha llevado a cabo en gran medida mediante la invención de la « teoría de Galois diferencial no lineal » por Hiroshi Umemura y Bernard Malgrange .

También existen soluciones muy especiales que son algebraicas . El estudio de dichas soluciones algebraicas implica examinar la topología del espacio de parámetros de deformación (y, en particular, su grupo de clases de mapeo ); para el caso de polos simples, esto equivale al estudio de la acción de grupos de trenzas . Para el caso particularmente importante de la sexta ecuación de Painlevé , Boris Dubrovin y Marta Mazzocco realizaron una contribución notable , que recientemente fue extendida a clases más amplias de datos de monodromía por Philip Boalch .

Las soluciones racionales suelen asociarse a polinomios especiales. A veces, como en el caso de la sexta ecuación de Painlevé, se trata de polinomios ortogonales bien conocidos , pero existen nuevas clases de polinomios con una distribución de ceros y propiedades de entrelazamiento sumamente interesantes. El estudio de estos polinomios ha sido realizado principalmente por Peter Clarkson y sus colaboradores.

Las ecuaciones de isomonodromía pueden reescribirse utilizando formulaciones hamiltonianas . Este punto de vista fue ampliamente desarrollado por Kazuo Okamoto en una serie de artículos sobre las ecuaciones de Painlevé en la década de 1980.

También pueden considerarse una extensión natural de la estructura simpléctica de Atiyah-Bott en espacios de conexiones planas sobre superficies de Riemann al mundo de la geometría meromorfa, una perspectiva que siguió Philip Boalch. De hecho, si se fijan las posiciones de los polos, incluso se pueden obtener variedades hiperkähler completas ; un resultado demostrado por Olivier Biquard y Philip Boalch. ^{[ 6 ]}

Existe otra descripción en términos de mapas de momentos a (extensiones centrales de) álgebras de bucles , un punto de vista introducido por John Harnad y extendido al caso de la estructura de singularidad general por Nick Woodhouse . Esta última perspectiva está íntimamente relacionada con una curiosa transformada de Laplace entre ecuaciones de isomonodromía con diferente estructura de polos y rango para las ecuaciones subyacentes.

Las ecuaciones de isomonodromía surgen como reducciones dimensionales completas (genéricas) de ecuaciones de Yang-Mills anti-autoduales (generalizadas) ^{[ 7 ]} . Mediante la transformada de Penrose-Ward, pueden interpretarse en términos de haces vectoriales holomorfos en variedades complejas llamadas espacios twistores . Esto permite el uso de técnicas potentes de la geometría algebraica para estudiar las propiedades de los trascendentes. Este enfoque ha sido desarrollado por Nigel Hitchin , Lionel Mason y Nick Woodhouse .

Al considerar los datos asociados a familias de superficies de Riemann ramificadas sobre las singularidades, se pueden interpretar las ecuaciones de isomonodromía como conexiones de Gauss-Manin no homogéneas . Esto conduce a descripciones alternativas de las ecuaciones de isomonodromía en términos de funciones abelianas , un enfoque conocido por Fuchs y Painlevé, pero que se perdió hasta su redescubrimiento por Yuri Manin en 1996.

Ciertos elementos trascendentes pueden caracterizarse por su comportamiento asintótico. El estudio de dicho comportamiento se remonta a los inicios de la isomonodromía, en los trabajos de Pierre Boutroux y otros.

• Its, Alexander R.; Novokshenov, Victor Yu. (1986), El método de deformación isomonodrómica en la teoría de las ecuaciones de Painlevé , Lecture Notes in Mathematics, vol.  1191, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-16483-8, MR 0851569 
• Sabbah, Claude (2007), Deformaciones isomonodrómicas y variedades de Frobenius , Universitext, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-1-84800-053-7, ISBN 978-2-7598-0047-6Sr. 1933784