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Articulo de referencia

Aproximación lineal

Línea tangente en ( a , f ( a )) En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general mediante una función lineal (más precisamente, una función a...

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Línea tangente en ( a , f ( a ))

En matemáticas , una aproximación lineal es una aproximación de una función general mediante una función lineal (más precisamente, una función afín ). Se utilizan ampliamente en el método de diferencias finitas para obtener métodos de primer orden que permiten resolver o aproximar soluciones de ecuaciones.

Definición

Dada una función dos veces continuamente diferenciableF{\displaystyle f}de una variable real , el teorema de Taylor para el casonorte=1{\displaystyle n=1}afirma que F(incógnita)=F(a)+F′(a)(incógnita−a)+R2{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(xa)+R_{2}} dóndeR2{\displaystyle R_{2}}es el término restante. La aproximación lineal se obtiene eliminando el resto: F(incógnita)≈F(a)+F′(a)(incógnita−a).{\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(xa).}

Esta es una buena aproximación cuandoincógnita{\displaystyle x}está lo suficientemente cerca dea{\displaystyle a}; puesto que una curva, cuando se observa de cerca, comenzará a parecerse a una línea recta. Por lo tanto, la expresión del lado derecho es simplemente la ecuación de la línea tangente a la gráfica deF{\displaystyle f}en(a,F(a)){\displaystyle (a,f(a))}. Por esta razón, este proceso también se denomina aproximación de la línea tangente . Las aproximaciones lineales en este caso se mejoran aún más cuando la segunda derivada de a,F″(a){\displaystyle f''(a)}, es suficientemente pequeño (cercano a cero) (es decir, en o cerca de un punto de inflexión ).

SiF{\displaystyle f}es cóncava hacia abajo en el intervalo entreincógnita{\displaystyle x}ya{\displaystyle a}, la aproximación será una sobreestimación (ya que la derivada es decreciente en ese intervalo). SiF{\displaystyle f}es cóncava hacia arriba , la aproximación será una subestimación. [ 1 ]

Las aproximaciones lineales para funciones vectoriales de una variable vectorial se obtienen de la misma manera, reemplazando la derivada en un punto por la matriz jacobiana . Por ejemplo, dada una función diferenciableF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}con valores reales, se puede aproximarF(incógnita,y){\displaystyle f(x,y)}para(incógnita,y){\displaystyle (x,y)}cerca de(a,b){\displaystyle (a,b)}por la fórmula F(incógnita,y)≈F(a,b)+∂F∂incógnita(a,b)(incógnita−a)+∂F∂y(a,b)(y−b).{\displaystyle f\left(x,y\right)\approx f\left(a,b\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}\left(a,b\right)\left(xa\right)+{\frac {\partial f}{\partial y}}\left(a,b\right)\left(yb\right).}

El lado derecho es la ecuación del plano tangente a la gráfica dez=F(incógnita,y){\displaystyle z=f(x,y)}en(a,b).{\displaystyle (a,b).}

En el caso más general de espacios de Banach , se tiene F(incógnita)≈F(a)+DF(a)(incógnita−a){\displaystyle f(x)\approx f(a)+Df(a)(xa)} dóndeDF(a){\displaystyle Df(a)}es el derivado de Fréchet deF{\displaystyle f}ena{\displaystyle a}.

Aplicaciones

Óptica

La óptica gaussiana es una técnica de óptica geométrica que describe el comportamiento de los rayos de luz en sistemas ópticos mediante la aproximación paraxial , en la que solo se consideran los rayos que forman ángulos pequeños con el eje óptico del sistema. [ 2 ] En esta aproximación, las funciones trigonométricas pueden expresarse como funciones lineales de los ángulos. La óptica gaussiana se aplica a sistemas en los que todas las superficies ópticas son planas o porciones de una esfera . En este caso, se pueden dar fórmulas explícitas sencillas para parámetros de un sistema de imagen, como la distancia focal, el aumento y el brillo, en función de las formas geométricas y las propiedades del material de los elementos constituyentes.

Periodo de oscilación

El período de oscilación de un péndulo de gravedad simple depende de su longitud , de la intensidad local de la gravedad y, en menor medida, del ángulo máximo que el péndulo oscila con respecto a la vertical, θ₀ , llamado amplitud . [ 3 ] Es independiente de la masa de la masa. El período verdadero T de un péndulo simple, el tiempo que tarda en completarse un ciclo de un péndulo de gravedad simple ideal, puede escribirse de varias formas diferentes (véase péndulo ), un ejemplo de ello es la serie infinita : [ 4 ] [ 5 ]T=2πLgramo(1+116θ02+113072θ04+⋯){\displaystyle T=2\pi {\sqrt {L \over g}}\left(1+{\frac {1}{16}}\theta _{0}^{2}+{\frac {11}{3072}}\theta _{0}^{4}+\cdots \right)}

donde L es la longitud del péndulo y g es la aceleración local de la gravedad .

Sin embargo, si se toma la aproximación lineal (es decir, si la amplitud se limita a pequeñas oscilaciones, [ Nota 1 ] ) el período es: [ 6 ]

En la aproximación lineal, el período de oscilación es aproximadamente el mismo para oscilaciones de diferente amplitud; es decir, el período es independiente de la amplitud . Esta propiedad, denominada isocronismo , es la razón por la que los péndulos son tan útiles para la medición del tiempo. [ 7 ] Las oscilaciones sucesivas del péndulo, incluso si varían en amplitud, tardan el mismo tiempo.

resistividad eléctrica

La resistividad eléctrica de la mayoría de los materiales cambia con la temperatura. Si la temperatura T no varía demasiado, normalmente se utiliza una aproximación lineal: ρ(T)=ρ0[1+α(T−T0)]{\displaystyle \rho (T)=\rho _{0}[1+\alpha (T-T_{0})]} dóndeα{\displaystyle \alpha }se denomina coeficiente de temperatura de resistividad ,T0{\displaystyle T_{0}}es una temperatura de referencia fija (generalmente la temperatura ambiente), yρ0{\displaystyle \rho _{0}}es la resistividad a temperaturaT0{\displaystyle T_{0}}. El parámetroα{\displaystyle \alpha }es un parámetro empírico ajustado a partir de datos de medición. Debido a que la aproximación lineal es solo una aproximación,α{\displaystyle \alpha }es diferente para diferentes temperaturas de referencia. Por esta razón es habitual especificar la temperatura queα{\displaystyle \alpha }se midió con un sufijo, comoα15{\displaystyle \alpha _{15}}y la relación solo se cumple en un rango de temperaturas alrededor de la referencia. [ 8 ] Cuando la temperatura varía en un amplio rango de temperaturas, la aproximación lineal es inadecuada y se debe utilizar un análisis y una comprensión más detallados.

Ejemplo

Encuentra la linealización de la funciónF(incógnita)=incógnita+3 {\displaystyle f(x)={\sqrt {x+3}}\ }ena=1{\displaystyle a=1}y usarlo para aproximar los números3,98{\displaystyle {\sqrt {3.98}}}y4.05{\displaystyle {\sqrt {4.05}}}¿Estas aproximaciones son sobreestimaciones o subestimaciones? [ 9 ]

SOLUCIÓN

El derivado deF(incógnita)=(incógnita+3)12{\displaystyle f(x)=(x+3)^{1 \over {2}}}esF′(incógnita)=12 (incógnita+3)−12 =12incógnita+3 {\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}\ (x+3)^{\frac {-1}{2}}\ ={\frac {1}{2{\sqrt {x+3}}}}\ }y así tenemosF(1)=2{\displaystyle f(1)=2}yF′(1)=14 {\displaystyle f'(1)={\frac {1}{4}}\ }. Poniendo estos valores enL(incógnita)=F(a)+F′(a)(incógnita−a){\displaystyle L(x)=f(a)+f'(a)(xa)}, vemos que la linealización esL(incógnita)=F(1)+F′(1)(incógnita−1)=2+14 (incógnita−1)=74 +incógnita4 {\displaystyle L(x)=f(1)+f'(1)(x-1)=2+{\frac {1}{4}}\ (x-1)={\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }La aproximación lineal correspondiente esincógnita+3 ≈74 +incógnita4 {\displaystyle {\sqrt {x+3}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {x}{4}}\ }

En particular, tenemos3,98 ≈74 +0,984 =1.995{\displaystyle {\sqrt {3.98}}\ \approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {0.98}{4}}\ =1.995}y4.05≈74 +1.054 =2.0125{\displaystyle {\sqrt {4.05}}\approx {\frac {7}{4}}\ +{\frac {1.05}{4}}\ =2.0125}.

Véase también

Notas

  1. ↑ Un "pequeño" balanceo es aquel en el que el ángulo θ es lo suficientemente pequeño como para que sen(θ) pueda aproximarse mediante θ cuando θ se mide en radianes.

Referencias

  1. ↑ "12.1 Estimación del valor de una función mediante la aproximación lineal" . Archivado del original el 3 de marzo de 2013. Consultado el 3 de junio de 2012 .
  2. ↑ Lipson, A.; Lipson, SG; Lipson, H. (2010). Física óptica (4.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. pág. 51. ISBN   978-0-521-49345-1.
  3. ↑ Milham, Willis I. (1945). El tiempo y los cronometradores . MacMillan. págs. 188–194 . OCLC 1744137 .  
  4. ↑ Nelson, Robert; MG Olsson (febrero de 1987). "El péndulo: física rica a partir de un sistema simple" (PDF) . American Journal of Physics . 54 (2): 112– 121. Bibcode : 1986AmJPh..54..112N . doi : 10.1119/1.14703 . S2CID 121907349. Consultado el 29 de octubre de 2008 . 
  5. ↑ Beckett, Edmund; y tres más (1911). «Reloj» . En Chisholm, Hugh (ed.). Encyclopædia Britannica . Vol. 06 (11.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 534–553 , véase la página 538, segundo párrafo. Péndulo.—    incluye una derivación
  6. ↑ Halliday, David; Robert Resnick; Jearl Walker (1997). Fundamentos de Física, 5.ª ed . Nueva York: John Wiley & Sons. pág . 381. ISBN  0-471-14854-7.
  7. ↑ Cooper, Herbert J. (2007). Instrumentos científicos . Nueva York: Hutchinson's. pág. 162. ISBN  978-1-4067-6879-4.
  8. ↑ Ward, MR (1971). Ciencia de la ingeniería eléctrica . McGraw-Hill. págs. 36–40 . ISBN  0-07-094255-2.
  9. ↑ Stewart, James. Cálculo de James Stewart .

Lecturas adicionales

  • Weinstein, Alan; Marsden, Jerrold E. (1984). Cálculo III . Berlín: Springer-Verlag. pág.  775. ISBN 0-387-90985-0.
  • Strang, Gilbert (1991). Cálculo . Wellesley College. pág.  94. ISBN 0-9614088-2-0.
  • Bock, David; Hockett, Shirley O. (2005). Cómo prepararse para el cálculo AP . Hauppauge, NY: Barrons Educational Series. pág . 118. ISBN  0-7641-2382-3.