grupo afín

En matemáticas , el grupo afín o grupo afín general de cualquier espacio afín es el grupo de todas las transformaciones afines invertibles del espacio en sí mismo. En el caso de un espacio euclidiano (donde el cuerpo de escalares asociado son los números reales ), el grupo afín consta de aquellas funciones del espacio en sí mismo tales que la imagen de cada línea es una línea.

Sobre cualquier cuerpo, el grupo afín puede considerarse de forma natural como un grupo matricial. Si el cuerpo de escalares asociado es el cuerpo real o complejo, entonces el grupo afín es un grupo de Lie .

Representando el grupo afín como un producto semidirecto de V por GL( V ) , entonces por construcción del producto semidirecto , los elementos son pares ( v , M ) , donde v es un vector en V y M es una transformación lineal en GL( V ) , y la multiplicación viene dada por

${\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.}$

Esto se puede representar como la matriz de bloques ( n + 1) × ( n + 1)

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

donde M es una matriz n × n sobre K , v es un vector columna n × 1 , 0 es una fila de ceros de 1 × n , y 1 es la matriz de bloques identidad de 1 × 1 .

Formalmente, Aff( V ) es naturalmente isomorfo a un subgrupo de GL( V ⊕ K ) , con V incrustado como el plano afín {( v , 1) | v ∈ V } , es decir, el estabilizador de este plano afín; la formulación matricial anterior es la (transpuesta de la) realización de esto, con los bloques n × n y 1 × 1 correspondientes a la descomposición de suma directa V ⊕ K .

Una representación similar es cualquier matriz ( n + 1) × ( n + 1) en la que las entradas de cada columna suman 1. ^{[ 1 ]} La similitud P para pasar del tipo anterior a este tipo es la matriz identidad ( n + 1) × ( n + 1) con la fila inferior reemplazada por una fila de todos unos.

Cada una de estas dos clases de matrices es cerrada bajo la multiplicación de matrices.

El paradigma más simple bien podría ser el caso n = 1 , es decir, las matrices triangulares superiores de 2 × 2 que representan el grupo afín en una dimensión. Es un grupo de Lie no abeliano de dos parámetros , por lo que con tan solo dos generadores (elementos del álgebra de Lie), A y B , tales que [ A , B ] = B , donde

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}$

de modo que

${\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}$

Aff( F _p ) tiene orden p ( p − 1) . Dado que

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

Sabemos que Aff( F _p ) tiene p clases de conjugación , a saber:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}$

Entonces sabemos que Aff( F _p ) tiene p representaciones irreducibles . Por el párrafo anterior ( §  Representación matricial ), existen p − 1 representaciones unidimensionales, determinadas por el homomorfismo

${\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}$

para k = 1, 2,… p − 1 , donde

${\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}$

y i ² = −1 , a = g ^j , g es un generador del grupo F ^∗ _p . Entonces, comparando con el orden de F _p , tenemos

${\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}$

Por lo tanto, χ _p = p − 1 es la dimensión de la última representación irreducible. Finalmente, utilizando la ortogonalidad de las representaciones irreducibles, podemos completar la tabla de caracteres de Aff( F _p ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}$

Los elementos de${\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}$puede adoptar una forma simple en un sistema de coordenadas afines bien elegido . Más precisamente, dada una transformación afín de un plano afín sobre los números reales , existe un sistema de coordenadas afines en el que tiene una de las siguientes formas, donde a , b y t son números reales (las condiciones dadas aseguran que las transformaciones sean invertibles, pero no que las clases sean distintas; por ejemplo, la identidad pertenece a todas las clases).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}}$

El caso 1 corresponde a las traducciones .

El caso 2 corresponde a escalas que pueden diferir en dos direcciones distintas. Al trabajar con un plano euclidiano, estas direcciones no tienen por qué ser perpendiculares , puesto que los ejes de coordenadas no tienen por qué serlo.

El caso 3 corresponde a un escalado en una dirección y una traslación en otra.

El caso 4 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 5 corresponde a un mapeo de cizallamiento combinado con una dilatación.

El caso 6 corresponde a similitudes cuando los ejes de coordenadas son perpendiculares.

Las transformaciones afines sin ningún punto fijo pertenecen a los casos 1, 3 y 5. Las transformaciones que no preservan la orientación del plano pertenecen a los casos 2 (con ab < 0 ) o 3 (con a < 0 ).

La demostración se puede realizar observando primero que si una transformación afín no tiene un punto fijo, entonces la matriz del mapeo lineal asociado tiene un valor propio igual a uno, y luego utilizando el teorema de la forma normal de Jordan para matrices reales .

• Grupo de Coxeter afín : ciertos subgrupos discretos del grupo afín en un espacio euclidiano que preservan una red.
• Holomorfo