Geometría algebraica

En la geometría algebraica clásica, los principales objetos de interés son los conjuntos evanescentes de colecciones de polinomios , es decir, el conjunto de todos los puntos que satisfacen simultáneamente una o más ecuaciones polinómicas . Por ejemplo, la esfera bidimensional de radio 1 en el espacio euclidiano tridimensional R ³ podría definirse como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle (x,y,z)}$con

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0.\,}$

Un círculo "inclinado" en R ³ se puede definir como el conjunto de todos los puntos${\displaystyle (x,y,z)}$ que satisfacen las dos ecuaciones polinómicas

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}-1=0,\,}$

${\displaystyle x+y+z=0.\,}$

Primero partimos de un cuerpo k . En geometría algebraica clásica, este cuerpo siempre fue el de los números complejos C , pero muchos de los mismos resultados son válidos si solo suponemos que k es algebraicamente cerrado . Consideramos el espacio afín de dimensión n sobre k , denotado A ⁿ ( k ) (o simplemente A ⁿ , cuando k es evidente por el contexto). Al fijar un sistema de coordenadas, se puede identificar A ⁿ ( k ) con k ⁿ . El propósito de no trabajar con k ⁿ es enfatizar que se "olvida" la estructura de espacio vectorial que posee k ^{n .}

Se dice que una función f  : A ⁿ → A ¹ es polinómica (o regular ) si se puede escribir como un polinomio, es decir, si existe un polinomio p en k [ x ₁ ,..., x _n ] tal que f ( M ) = p ( t ₁ ,..., t _n ) para cada punto M con coordenadas ( t ₁ ,..., t _n ) en A ⁿ . La propiedad de que una función sea polinómica (o regular) no depende de la elección de un sistema de coordenadas en A ⁿ .

Cuando se elige un sistema de coordenadas, las funciones regulares en el espacio afín n pueden identificarse con el anillo de funciones polinómicas en n variables sobre k . Por lo tanto, el conjunto de funciones regulares en A ⁿ es un anillo, que se denota k [ A ⁿ ].

Decimos que un polinomio se anula en un punto si su evaluación en ese punto da como resultado cero. Sea S un conjunto de polinomios en k [ A ⁿ ]. El conjunto de anulación de S (o lugar geométrico de anulación o conjunto cero ) es el conjunto V ( S ) de todos los puntos en A ⁿ donde cada polinomio en S se anula. Simbólicamente,

${\displaystyle V(S)=\{(t_{1},\dots ,t_{n})\mid p(t_{1},\dots ,t_{n})=0{\text{ para todo }}p\in S\}.\,}$

Un subconjunto de A ⁿ que es V ( S ), para algún S , se llama conjunto algebraico . La V representa variedad (un tipo específico de conjunto algebraico que se definirá más adelante).

Dado un subconjunto U de A ⁿ , ¿se puede recuperar el conjunto de polinomios que lo generan? Si U es cualquier subconjunto de A ⁿ , definimos I ( U ) como el conjunto de todos los polinomios cuyo conjunto de anulación contiene U . La I significa ideal : si dos polinomios f y g se anulan en U , entonces f + g se anula en U , y si h es cualquier polinomio , entonces hf se anula en U , por lo que I ( U ) es siempre un ideal del anillo de polinomios k [ A ⁿ ].

Dos preguntas naturales que cabe plantearse son:

• Dado un subconjunto U de A ⁿ , ¿cuándo es U = V ( I ( U ))?
• Dado un conjunto S de polinomios, ¿cuándo se cumple que S = I ( V ( S ))?

La respuesta a la primera pregunta se obtiene introduciendo la topología de Zariski , una topología en A ⁿ cuyos conjuntos cerrados son los conjuntos algebraicos, y que refleja directamente la estructura algebraica de k [ A ⁿ ]. Entonces U = V ( I ( U )) si y solo si U es un conjunto algebraico o, equivalentemente, un conjunto cerrado de Zariski. La respuesta a la segunda pregunta la proporciona el teorema de los ceros de Hilbert . En una de sus formas, dice que I ( V ( S )) es el radical del ideal generado por S . En un lenguaje más abstracto, existe una conexión de Galois , que da lugar a dos operadores de cierre ; estos pueden identificarse y, naturalmente, desempeñan un papel fundamental en la teoría; el ejemplo se desarrolla en Conexión de Galois.

Por diversas razones , es posible que no siempre queramos trabajar con el ideal completo correspondiente a un conjunto algebraico U. El teorema de la base de Hilbert implica que los ideales en k [ A ⁿ ] son ​​siempre finitamente generados.

Un conjunto algebraico se denomina irreducible si no puede escribirse como la unión de dos conjuntos algebraicos más pequeños. Cualquier conjunto algebraico es una unión finita de conjuntos algebraicos irreducibles, y esta descomposición es única. Por lo tanto, sus elementos se denominan componentes irreducibles del conjunto algebraico. Un conjunto algebraico irreducible también se denomina variedad . Resulta que un conjunto algebraico es una variedad si y solo si puede definirse como el conjunto de evanescencia de un ideal primo del anillo de polinomios .

Algunos autores no distinguen claramente entre conjuntos algebraicos y variedades, y utilizan el concepto de variedad irreducible para establecer dicha distinción cuando es necesario.

Así como las funciones continuas son las aplicaciones naturales en espacios topológicos y las funciones suaves son las aplicaciones naturales en variedades diferenciables , existe una clase natural de funciones en un conjunto algebraico, llamadas funciones regulares o funciones polinómicas . Una función regular en un conjunto algebraico V contenido en A ⁿ es la restricción a V de una función regular en A ⁿ . Para un conjunto algebraico definido en el cuerpo de los números complejos, las funciones regulares son suaves e incluso analíticas .

Puede parecer excesivamente restrictivo exigir que una función regular siempre se extienda al espacio ambiente, pero es muy similar a la situación en un espacio topológico normal , donde el teorema de extensión de Tietze garantiza que una función continua en un subconjunto cerrado siempre se extiende al espacio topológico ambiente.

Al igual que con las funciones regulares en el espacio afín, las funciones regulares en V forman un anillo, que denotamos por k [ V ]. Este anillo se llama anillo de coordenadas de V .

Dado que las funciones regulares en V provienen de funciones regulares en A ⁿ , existe una relación entre los anillos de coordenadas. Específicamente, si una función regular en V es la restricción de dos funciones f y g en k [ A ⁿ ], entonces f − g es una función polinómica que es nula en V y, por lo tanto, pertenece a I ( V ). Así, k [ V ] puede identificarse con k [ A ⁿ ]/ I ( V ).  

Utilizando funciones regulares de una variedad afín a A ¹ , podemos definir aplicaciones regulares de una variedad afín a otra. Primero definiremos una aplicación regular de una variedad al espacio afín: Sea V una variedad contenida en A ⁿ . Elija m funciones regulares en V y llámelas f ₁ , . . ., f _m . Definimos una aplicación regular f de V a A ^m haciendo f = ( f ₁ , ..., f _m ) . En otras palabras, cada f _i determina una coordenada del rango de f .

Si V ′ es una variedad contenida en Am , decimos que f es una aplicación regular de V a V ^′ si el rango de f está contenido en V ′.

La definición de las aplicaciones regulares también se aplica a los conjuntos algebraicos. Las aplicaciones regulares también se denominan morfismos , ya que convierten la colección de todos los conjuntos algebraicos afines en una categoría , donde los objetos son los conjuntos algebraicos afines y los morfismos son las aplicaciones regulares. Las variedades afines son una subcategoría de la categoría de los conjuntos algebraicos.

Dada una aplicación regular g de V a V ′ y una función regular f de k [ V ′], entonces f ∘ g ∈ k [ V ] . La aplicación f → f ∘ g es un homomorfismo de anillos de k [ V ′] a k [ V ]. Recíprocamente, todo homomorfismo de anillos de k [ V ′] a k [ V ] define una aplicación regular de V a V ′. Esto define una equivalencia de categorías entre la categoría de conjuntos algebraicos y la categoría opuesta de las k- álgebras reducidas finitamente generadas . Esta equivalencia es uno de los puntos de partida de la teoría de esquemas .

A diferencia de las secciones anteriores, esta sección se centra únicamente en variedades y no en conjuntos algebraicos. Por otro lado, las definiciones se extienden naturalmente a las variedades proyectivas (sección siguiente), ya que una variedad afín y su completación proyectiva comparten el mismo cuerpo de funciones.

Si V es una variedad afín, su anillo de coordenadas es un dominio de integridad y, por lo tanto, posee un cuerpo de fracciones que se denota por k ( V ) y se denomina cuerpo de las funciones racionales en V o, simplemente, cuerpo de funciones de V. Sus elementos son las restricciones a V de las funciones racionales sobre el espacio afín que contiene a V. El dominio de una función racional f no es V , sino el complemento de la subvariedad (una hipersuperficie) donde el denominador de f se anula.

Al igual que con las aplicaciones regulares, se puede definir una aplicación racional de una variedad V a una variedad V ' . Al igual que con las aplicaciones regulares, las aplicaciones racionales de V a V ' se pueden identificar con los homomorfismos de cuerpos de k ( V ' ) a k ( V ).

Dos variedades afines son birracionalmente equivalentes si existen dos funciones racionales entre ellas que son inversas entre sí en las regiones donde ambas están definidas. De forma equivalente, son birracionalmente equivalentes si sus cuerpos de funciones son isomorfos.

Una variedad afín es una variedad racional si es birracionalmente equivalente a un espacio afín. Esto significa que la variedad admite una parametrización racional , es decir, una parametrización con funciones racionales . Por ejemplo, el círculo de ecuación${\displaystyle x^{2}+y^{2}-1=0}$es una curva racional, ya que tiene la ecuación paramétrica

${\displaystyle x={\frac {2\,t}{1+t^{2}}}}$

${\displaystyle y={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\,,}$

que también puede considerarse como un mapa racional de la línea al círculo.

El problema de la resolución de singularidades consiste en determinar si toda variedad algebraica es birracionalmente equivalente a una variedad cuya completación proyectiva no es singular (véase también completación suave ). Fue resuelto afirmativamente en característica 0 por Heisuke Hironaka en 1964 y aún permanece sin resolver en característica finita.

Así como las fórmulas para las raíces de polinomios de segundo, tercer y cuarto grado sugieren extender los números reales al entorno algebraicamente más completo de los números complejos, muchas propiedades de las variedades algebraicas sugieren extender el espacio afín a un espacio proyectivo geométricamente más completo. Mientras que los números complejos se obtienen sumando el número ⁱ , una raíz del polinomio x² + 1 , el espacio proyectivo se obtiene sumando puntos apropiados "en el infinito", puntos donde pueden encontrarse líneas paralelas.

Para ver cómo podría ocurrir esto, consideremos la variedad V ( y − x ² ) . Si la dibujamos, obtenemos una parábola . Cuando x tiende a infinito positivo, la pendiente de la recta desde el origen hasta el punto ( x , x ² ) también tiende a infinito positivo. Cuando x tiende a infinito negativo, la pendiente de la misma recta tiende a infinito negativo. 

Compárese esto con la variedad V ( y − x ³ ). Esta es una curva cúbica . Cuando x tiende a infinito positivo, la pendiente de la recta desde el origen hasta el punto ( x , x ³ ) tiende a infinito positivo, al igual que antes. Pero a diferencia de antes, cuando x tiende a infinito negativo, la pendiente de la misma recta también tiende a infinito positivo; exactamente lo contrario de la parábola. Por lo tanto, el comportamiento "en el infinito" de V ( y − x ³ ) es diferente del comportamiento "en el infinito" de V ( y − x ² ).       

La consideración de la completación proyectiva de ambas curvas, que es su prolongación "en el infinito" en el plano proyectivo , nos permite cuantificar esta diferencia: el punto en el infinito de la parábola es un punto regular , cuya tangente es la recta en el infinito , mientras que el punto en el infinito de la curva cúbica es una cúspide . Además, ambas curvas son racionales, ya que están parametrizadas por x , y el teorema de Riemann-Roch implica que la curva cúbica debe tener una singularidad, que debe estar en el infinito, puesto que todos sus puntos en el espacio afín son regulares.

Así, muchas de las propiedades de las variedades algebraicas, incluyendo la equivalencia birracional y todas las propiedades topológicas, dependen del comportamiento en el infinito, por lo que resulta natural estudiarlas en el espacio proyectivo. Además, la introducción de técnicas proyectivas simplificó y precisó muchos teoremas de la geometría algebraica: por ejemplo, el teorema de Bézout sobre el número de puntos de intersección entre dos variedades solo puede enunciarse en su forma más precisa en el espacio proyectivo. Por estas razones, el espacio proyectivo desempeña un papel fundamental en la geometría algebraica.

Actualmente, el espacio proyectivo P ⁿ de dimensión n se define generalmente como el conjunto de rectas que pasan por un punto, considerado como el origen, en el espacio afín de dimensión n + 1 , o equivalentemente como el conjunto de rectas vectoriales en un espacio vectorial de dimensión n + 1. Cuando se ha elegido un sistema de coordenadas en el espacio de dimensión n + 1 , todos los puntos de una recta tienen el mismo conjunto de coordenadas, salvo la multiplicación por un elemento de k . Esto define las coordenadas homogéneas de un punto de P ⁿ como una sucesión de n + 1 elementos del cuerpo base k , definidos salvo la multiplicación por un elemento distinto de cero de k (lo mismo para toda la sucesión).

Un polinomio en n + 1 variables se anula en todos los puntos de una recta que pasa por el origen si y solo si es homogéneo . En este caso, se dice que el polinomio se anula en el punto correspondiente de P ⁿ . Esto nos permite definir un conjunto algebraico proyectivo en P ⁿ como el conjunto V ( f ₁ , ..., f _k ) , donde un conjunto finito de polinomios homogéneos { f ₁ , ..., f _k } se anula. Al igual que para los conjuntos algebraicos afines, existe una biyección entre los conjuntos algebraicos proyectivos y los ideales homogéneos reducidos que los definen. Las variedades proyectivas son los conjuntos algebraicos proyectivos cuyo ideal definitorio es primo. En otras palabras, una variedad proyectiva es un conjunto algebraico proyectivo cuyo anillo de coordenadas homogéneas es un dominio de integridad . Dicho anillo se define como el cociente del anillo graduado o de los polinomios en n + 1 variables por el ideal homogéneo (reducido) que define la variedad. Todo conjunto algebraico proyectivo puede descomponerse de forma única en una unión finita de variedades proyectivas.

Las únicas funciones regulares que pueden definirse correctamente en una variedad proyectiva son las funciones constantes. Por lo tanto, esta noción no se utiliza en situaciones proyectivas. Por otro lado, el cuerpo de las funciones racionales o cuerpo de funciones es una noción útil que, de forma similar al caso afín, se define como el conjunto de los cocientes de dos elementos homogéneos del mismo grado en el anillo de coordenadas homogéneas.

Una base de Gröbner es un sistema de generadores de un ideal polinomial cuyo cálculo permite deducir muchas propiedades de la variedad algebraica afín definida por el ideal.

Dado un ideal I que define un conjunto algebraico V :

• V es vacío (sobre una extensión algebraicamente cerrada del cuerpo base) si y solo si la base de Gröbner para cualquier ordenación monomial se reduce a {1}.
• Mediante la serie de Hilbert , se puede calcular la dimensión y el grado de V a partir de cualquier base de Gröbner de I para un ordenamiento monomial que refina el grado total.
• Si la dimensión de V es 0, entonces se pueden calcular los puntos (en número finito) de V a partir de cualquier base de Gröbner de I (véase Sistemas de ecuaciones polinómicas ).
• Un cálculo de base de Gröbner permite eliminar de V todos los componentes irreducibles que están contenidos en una hipersuperficie dada.
• Un cálculo de base de Gröbner permite calcular el cierre de Zariski de la imagen de V mediante la proyección sobre las k primeras coordenadas, y el subconjunto de la imagen donde la proyección no es propia .
• En términos más generales, los cálculos de la base de Gröbner permiten calcular el cierre de Zariski de la imagen y los puntos críticos de una función racional de V en otra variedad afín.

Los cálculos con bases de Gröbner no permiten calcular directamente la descomposición primaria de I ni los ideales primos que definen las componentes irreducibles de V , pero la mayoría de los algoritmos para ello implican el cálculo con bases de Gröbner. Los algoritmos que no se basan en bases de Gröbner utilizan cadenas regulares , pero pueden necesitarlas en algunas situaciones excepcionales.

Se considera que las bases de Gröbner son difíciles de calcular. De hecho, en el peor de los casos, pueden contener polinomios cuyo grado es doblemente exponencial en el número de variables y una cantidad de polinomios que también es doblemente exponencial. Sin embargo, esta es solo la complejidad del peor caso, y el límite de complejidad del algoritmo de Lazard de 1979 puede aplicarse con frecuencia. El algoritmo F5 de Faugère logra esta complejidad, ya que puede considerarse una mejora del algoritmo de Lazard de 1979. De ello se deduce que las mejores implementaciones permiten calcular casi rutinariamente con conjuntos algebraicos de grado superior a 100. Esto significa que, actualmente, la dificultad de calcular una base de Gröbner está fuertemente relacionada con la dificultad intrínseca del problema.

CAD es un algoritmo introducido en 1973 por G. Collins para implementar con una complejidad aceptable el teorema de Tarski-Seidenberg sobre la eliminación de cuantificadores en los números reales.

Este teorema se refiere a las fórmulas de la lógica de primer orden cuyas fórmulas atómicas son igualdades o desigualdades polinómicas entre polinomios con coeficientes reales. Estas fórmulas son, por lo tanto, las que pueden construirse a partir de las fórmulas atómicas mediante los operadores lógicos y (∧), o (∨), no (¬), para todo (∀), y existe (∃). El teorema de Tarski afirma que, a partir de una fórmula de este tipo, se puede calcular una fórmula equivalente sin cuantificadores (∀, ∃).

La complejidad del CAD es doblemente exponencial con respecto al número de variables. Esto significa que, en teoría, el CAD permite resolver cualquier problema de geometría algebraica real que pueda expresarse mediante una fórmula de este tipo; es decir, prácticamente cualquier problema relacionado con variedades y conjuntos semialgebraicos dados explícitamente.

Si bien el cálculo de bases de Gröbner presenta una complejidad doblemente exponencial solo en casos excepcionales, el CAD casi siempre tiene esta alta complejidad. Esto implica que, a menos que la mayoría de los polinomios presentes en la entrada sean lineales, es posible que no pueda resolver problemas con más de cuatro variables.

Desde 1973, la mayor parte de la investigación sobre este tema se ha dedicado a mejorar el diseño asistido por ordenador (CAD) o a encontrar algoritmos alternativos en casos especiales de interés general.

Como ejemplo del estado del arte, existen algoritmos eficientes para encontrar al menos un punto en cada componente conexa de un conjunto semialgebraico y, por lo tanto, para comprobar si un conjunto semialgebraico está vacío. Por otro lado, el algoritmo CAD sigue siendo, en la práctica, el mejor para contar el número de componentes conexas.

Los algoritmos generales básicos de geometría computacional tienen una complejidad exponencial doble en el peor de los casos ^{. Más precisamente, si d es el grado máximo de los polinomios de entrada y n el número de variables, entonces su complejidad es como máximo d²cⁿ} para alguna constante ^c , ^y , para ^algunas entradas , la complejidad es al menos ^d²c′n para otra constante c ^′ .

Durante los últimos 20 años del siglo XX, se introdujeron varios algoritmos para resolver subproblemas específicos con una mejor complejidad. La mayoría de estos algoritmos tienen una complejidad${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$. ^{[ 1 ]}

Entre los algoritmos que resuelven un subproblema de los problemas resueltos por las bases de Gröbner, cabe mencionar la comprobación de si una variedad afín es vacía y la resolución de sistemas polinomiales no homogéneos con un número finito de soluciones. Estos algoritmos rara vez se implementan porque, en la mayoría de los casos, los algoritmos F4 y F5 de Faugère presentan una mayor eficiencia práctica y probablemente una complejidad similar o incluso mejor ( probablemente porque la evaluación de la complejidad de los algoritmos de bases de Gröbner en una clase particular de entradas es una tarea difícil que solo se ha realizado en unos pocos casos especiales).

Los principales algoritmos de geometría algebraica real que resuelven un problema resuelto por CAD están relacionados con la topología de conjuntos semialgebraicos. Se puede citar el conteo del número de componentes conexas , la comprobación de si dos puntos están en las mismas componentes y el cálculo de una estratificación de Whitney de un conjunto algebraico real . Tienen una complejidad de${\displaystyle d^{O(n^{2})}}$Sin embargo, la constante implicada en la notación O es tan elevada que su uso para resolver cualquier problema no trivial que se resuelva eficazmente con CAD resulta imposible, incluso con toda la capacidad de cálculo del mundo. Por lo tanto, estos algoritmos nunca se han implementado y la búsqueda de algoritmos que combinen una buena complejidad asintótica con una buena eficiencia práctica constituye un área de investigación activa.

Algunas de las raíces de la geometría algebraica se remontan a la obra de los griegos helenísticos del siglo V a. C. El problema de Delos , por ejemplo, consistía en construir una longitud x tal que el cubo de lado x contuviera el mismo volumen que la caja rectangular a²b para lados a y b dados . Menaechmus ( c. 350 a. C. ) consideró el problema geométricamente intersectando el par de cónicas planas ay = x² y xy = ab . ^{[ 2 ]} En el siglo III a. C., ^Arquímedes y Apolonio estudiaron sistemáticamente problemas adicionales sobre secciones cónicas utilizando coordenadas. ^{[ 2 ] [ 3 ]} Apolonio, ^en las Cónicas, desarrolló aún más un método tan similar a la geometría analítica que a veces se piensa que su obra anticipó la de Descartes en unos 1800 años. ^{[ 4 ]} Su aplicación de líneas de referencia, un diámetro y una tangente no es esencialmente diferente de nuestro uso moderno de un marco de coordenadas, donde las distancias medidas a lo largo del diámetro desde el punto de tangencia son las abscisas, y los segmentos paralelos a la tangente e interceptados entre el eje y la curva son las ordenadas. Desarrolló además relaciones entre las abscisas y las coordenadas correspondientes utilizando métodos geométricos como el uso de parábolas y curvas. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} Los matemáticos medievales, incluidos Omar Khayyam , Leonardo de Pisa , Gersonides y Nicole Oresme en el período medieval , ^{[ 8 ]} resolvieron ciertas ecuaciones cúbicas y cuadráticas por medios puramente algebraicos y luego interpretaron los resultados geométricamente. El matemático persa Omar Khayyam (nacido en 1048 d. C.) creía que existía una relación entre la aritmética , el álgebra y la geometría . ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}    Esto fue criticado por Jeffrey Oaks, quien afirma que el estudio de las curvas mediante ecuaciones se originó con Descartes en el siglo XVII. ^{[ 12 ]}

Tales técnicas de aplicación de construcciones geométricas a problemas algebraicos también fueron adoptadas por varios matemáticos del Renacimiento , como Gerolamo Cardano y Niccolò Fontana "Tartaglia" en sus estudios de la ecuación cúbica. El enfoque geométrico de los problemas de construcción, en lugar del algebraico, fue favorecido por la mayoría de los matemáticos de los siglos XVI y XVII, en particular Blaise Pascal , quien argumentó en contra del uso de métodos algebraicos y analíticos en geometría. ^{[ 13 ]} Los matemáticos franceses Franciscus Vieta y, posteriormente, René Descartes y Pierre de Fermat revolucionaron la forma convencional de pensar sobre los problemas de construcción mediante la introducción de la geometría de coordenadas . Estaban interesados ​​principalmente en las propiedades de las curvas algebraicas , como las definidas por ecuaciones diofánticas (en el caso de Fermat), y la reformulación algebraica de las obras griegas clásicas sobre cónicas y cúbicas (en el caso de Descartes).

Durante ese mismo período, Blaise Pascal y Gérard Desargues abordaron la geometría desde una perspectiva diferente, desarrollando las nociones sintéticas de la geometría proyectiva . Pascal y Desargues también estudiaron curvas, pero desde un punto de vista puramente geométrico: el análogo de la construcción griega con regla y compás . Finalmente, la geometría analítica de Descartes y Fermat se impuso, pues proporcionó a los matemáticos del siglo XVIII las herramientas cuantitativas concretas necesarias para estudiar problemas físicos utilizando el nuevo cálculo de Newton y Leibniz . Sin embargo, hacia finales del siglo XVIII, la mayor parte del carácter algebraico de la geometría de coordenadas quedó subsumido por el cálculo de infinitesimales de Lagrange y Euler .

Fueron necesarios los desarrollos simultáneos del siglo XIX de la geometría no euclidiana y las integrales abelianas para reincorporar las antiguas ideas algebraicas al ámbito geométrico. El primero de estos nuevos desarrollos fue abordado por Edmond Laguerre y Arthur Cayley , quienes intentaron determinar las propiedades métricas generalizadas del espacio proyectivo. Cayley introdujo la idea de las formas polinómicas homogéneas , y más específicamente las formas cuadráticas , en el espacio proyectivo. Posteriormente, Felix Klein estudió la geometría proyectiva (junto con otros tipos de geometría) desde la perspectiva de que la geometría en un espacio está codificada en una cierta clase de transformaciones en dicho espacio. A finales del siglo XIX, los geómetras proyectivos estudiaban tipos más generales de transformaciones en figuras en el espacio proyectivo. En lugar de las transformaciones lineales proyectivas , que normalmente se consideraban como las que proporcionaban la geometría kleiniana fundamental en el espacio proyectivo, también se ocuparon de las transformaciones birracionales de grado superior . Esta noción más débil de congruencia llevaría más tarde a los miembros de la escuela italiana de geometría algebraica del siglo XX a clasificar las superficies algebraicas hasta el isomorfismo birracional .

El segundo avance de principios del siglo XIX, el de las integrales abelianas, llevaría a Bernhard Riemann al desarrollo de las superficies de Riemann .

En ese mismo período comenzó la algebrización de la geometría algebraica a través del álgebra conmutativa . Los resultados más destacados en esta dirección son el teorema de la base de Hilbert y el teorema de la nulidad de Hilbert , que constituyen la base de la conexión entre la geometría algebraica y el álgebra conmutativa, y el resultante multivariado de Macaulay , que es la base de la teoría de la eliminación . Probablemente debido al tamaño del cálculo que implican los resultantes multivariados, la teoría de la eliminación cayó en el olvido a mediados del siglo XX hasta que fue revitalizada por la teoría de la singularidad y la geometría algebraica computacional. ^{[ a ]}

BL van der Waerden , Oscar Zariski y André Weil desarrollaron una base para la geometría algebraica a partir del álgebra conmutativa contemporánea , incluyendo la teoría de la valuación y la teoría de los ideales . Uno de sus objetivos era proporcionar un marco riguroso para demostrar los resultados de la escuela italiana de geometría algebraica . En particular, esta escuela utilizó sistemáticamente la noción de punto genérico sin una definición precisa, concepto que estos autores introdujeron por primera vez durante la década de 1930.

En las décadas de 1950 y 1960, Jean-Pierre Serre y Alexander Grothendieck reformularon los fundamentos utilizando la teoría de haces . Posteriormente, a partir de 1960, y bajo el liderazgo de Grothendieck, se desarrolló la idea de esquemas , junto con un aparato muy refinado de técnicas homológicas . Tras una década de rápido desarrollo, el campo se estabilizó en la década de 1970, y se realizaron nuevas aplicaciones, tanto a la teoría de números como a cuestiones geométricas más clásicas sobre variedades algebraicas, singularidades , módulos y módulos formales .

Una clase importante de variedades, que no se comprende fácilmente a partir de sus ecuaciones definitorias, son las variedades abelianas , que son variedades proyectivas cuyos puntos forman un grupo abeliano . Los ejemplos prototípicos son las curvas elípticas , que cuentan con una rica teoría. Fueron fundamentales en la demostración del Último Teorema de Fermat y también se utilizan en criptografía de curvas elípticas .

Paralelamente a la tendencia abstracta de la geometría algebraica, que se ocupa de enunciados generales sobre variedades, también se han desarrollado métodos para la computación efectiva con variedades concretas, lo que ha dado lugar al nuevo campo de la geometría algebraica computacional. Uno de los métodos fundamentales de este campo es la teoría de las bases de Gröbner , introducida por Bruno Buchberger en 1965. Otro método fundamental, más específicamente dedicado a la geometría algebraica real, es la descomposición algebraica cilíndrica , introducida por George E. Collins en 1973.

Véase también: geometría algebraica derivada .

• Kline, M. (1972). El pensamiento matemático desde la antigüedad hasta la época moderna . Vol.  1. Oxford University Press. ISBN 0195061357.